秘书问题与计算机模拟课件

秘书问题与计算机模拟问题设想一个经理要从若干个应聘者中雇用一名秘书.按照某种标准,可用1,2,···,N分别表示这些应聘者的优劣的绝对名次.1表示最优者,N表示最劣者.假设这些应聘者是逐个到来接受经理面试的，并且应聘者到来的优劣次序是随机的.经理每次会见一名应聘者，面试后决定录用与否.如果录用到当时面试的应聘者，则停止下面的会见，否则面试下一位.问题我们还假定,每个当时不被录用的应聘者是不能事后再招回录用的,在经理每一次面试后,他只知道当时的应聘者与先前已面试者比较的相对名次,而不知道当时应聘者的绝对名次.现在要问经理要怎样决定他的录用策略,或者说经理在何时停止他的会见(录用当时的应聘者)是最优的.当然这里最优要有一个标准,通常采用下面两种标准:第一标准:使录用到最优应聘者的概率最大;第二标准:使录用的应聘者的绝对名次尽量的小.第一标准下录用策略的研究我们yi(i=1,2,···,N)用表示第k个应聘者的绝对名次.设经理录用的是第k个应聘者，为了要录用到最好的应聘者，显然应有即有如下的录用准则：录用到的应聘者必须是已面试者中相对名次第一.显然,仅有此准则是不够的.比如,面试第一人时,此人的相对名次是第一,但是此时录用到第一名的概率仅为1/N,此概率很小,不宜采用.第一标准录用策略在面试过程中,可能会遇到多个相对第一,越往后的第一越可靠.但是我们不可能无限制地往后等待,因为一旦第一名已经面试过而未录用,则再也无法录用到相对第一.因此,录用策略就是:确定一个数G，先面试G个应聘者,这G个人仅用来作为参考标准,在这G个人之后,一旦有比他们名次均高者就予以录用.录用策略用前面所说的两个变量可以描述为:相对名次第一,k≥G(G待定).数学模型在上面的录用策略下,显然不能肯定录用到第一名.我们的目的是使录用到第一名的概率最大.即:算法step2,若y=1，则录用失败，否则转下一步；然后即可对给定的G模拟出录用到第一名的概率，算法如下：step1,取前G个数作为参考数，令按上述算法模拟多次,记录成功的次数,则成功的概率为近似地等于成功次数除以总次数.step3,从第G+1个数开始，一但有某个应聘者的绝对名次yi<y（第i个应聘者被录用），则判断yi是否等于1.若是，则表示录用成功；若不是，则录用失败.求解结果对于给定的N,将G从0取到N-1,用上面的算法可以求出成功概率P(G),再进行比较,即可求出最优的G.实际求解时,可以先取大的步长,确定最优的G的大致范围,再用小步长进行搜索.N=100,m=5000(模拟次数)时得到的部分结果G303132333435P0.36820.37480.36940.36900.37780.3772G3637383940P0.36860.38260.37580.37900.3738Matemataca(ms2)第一标准的理论求解秘书问题用理论的方法求解比计算机模拟方法求解较为复杂,但是可以得到一般性的结论.根据数学模型,我们首先要求出P(G)的表达式.第一标准的理论求解设G*满足且则此时的G*是最优的G.因此,要求得G*,只需要其满足上面的两个不等式,这用计算机是容易求得的.Matemataca(ms3)G*(N)/N的极限根据有上式左端为的积分和此积分等于-ln(G*/N)令其为1,得到G*/N≈1/e事实上,有G*(N)/N的极限因此即而不等式的左边是大于1的,所以有即在区间上,考虑函数f(x)=1/x,显然有G*(N)的近似值由上面的分析,我们可以得到这一区间的长度为2-1/e,其中最多有两个整数值.在寻找G*时,只要考察这个区间里的整数点就可以了.这一区间的的中点为(N-0.5)/e,我们可以取最接近于这个数的整数[(N-0.5)/e+0.5]作为G*(N)的近似值.事实上,这一结果在N≤107时,仅有两个数是不正确的.第二标准:使录用的应聘者的绝对名次尽量的小.第二标准下录用策略的研究在第二标准下,未必要录用第一名,而是要录用尽量好的名次.录用策略可以直观的描述为:如果现在的应聘者的绝对名次(期望值)比后面的应聘者的绝对名次(期望值)小,就予以录用.第二标准下录用策略的研究我们先对N=5的情形加以讨论.如果按照录用策略，前4个应聘者都未被招聘，那么必须招聘第5个应聘者.该应聘者的绝对名次的期望值为(1+5)/2=3.因此，若前三位应聘者均未被录用，经理在面试第4个应聘者时，如果发现他的绝对名次的期望值不大于3，就应该录用.录用策略类似地，存在数b1,b2,b3，使得第k(k=1,2,3)个应聘者的录用标准为：lk≤bk.显然b1=0，即第一个应聘者绝对不会被录用.录用策略：给出数组{b1,b2,···,bN}.若前k-1个应聘者都未被录用，则第k个应聘者的录用标准为lk≤bk.策略数组策略数组{b1,b2,···,bN}显然以下性质:(1)b1=0,bN=N;(2)bk≤k/2(k<N);(3)bk-1≤bk.对N=5,由于b1=0,b4=2,b5=5,根据上面的性质,所有可能的策略数组为{0,0,0,2,5},{0,0,1,2,5},{0,1,1,2,5}计算机模拟求解在N=5时,我们对上面三个策略数组进行模拟,求出录用者的期望名次.其Mathematica程序为:n=5;b={0,0,0,2,5};m=10000;s=0;Do[u=Table[Random[],{i,1,n}];uu=Sort[u];y=Table[Position[u,uu[[i]]][[1,1]],{i,1,n}];k=1;While[Position[Sort[Table[y[[j]],{j,1,k}]],y[[k]]][[1,1]]>b[[k]],k=k+1];s=s+y[[k]],{u,1,m}];N[s/m]Matemataca(ms4)理论求解上面的计算机模拟方法对于N比较的的情况不太适用,因为N比较大时,可能的策略数组相当多.下面我们用理论的方法求解.设vk表示前k-1个应聘者未被录用,从第k个应聘者才开始录用时录用到的应聘者的绝对名次的期望值.显然有vN=(N+1)/2.理论求解fk(l)为第k个应聘者在前k个应聘者中相对名次为l时，他的绝对名次的期望值.因此,若fk(l)≤vk+1,则这个应聘者应被录用.令bk=max{l|fk(l)≤vk+1},则l≤bk时,第k个应聘者予以录用.只要求出fk(l)和vk的表达式,即可求出bk.bk的表达式根据vk+1的结果,即可求得bk.由于vN=(N+1)/2,得到bN-1=[N/2].。N=5的结果b5=5,v5=3b4=[3*5/6]=2b3=[2.4*4/6]=1b2=[2.1*3/6]=1b1=[2.05*2/6]=0最优策略数组为{0,1,1,2,5},录取者的绝对名次的期望值为2.05.N=100的结果最优策略数组:{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,7,7,8,8,9,9,10,11,11,12,14,15,17,19,21,25,30,37,50