工程弹塑性力学教学课件第三章应变状态理论

第三章应变状态理论

3.1位移分量和应变分量两者的关系

3.2相对位移张量转动分量

3.3转轴时应变分量的变换

3.4主应变应变张量不变量＊3.5应变二次曲面

3.6体应变

3.7应变协调方程＊3.8有限变形的几何浅析第三章应变状态理论由于我们只是从几何学观点出发分析研究物体的变形本身，而并不涉及到产生变形的原因和物体的物理性能，所以本章所得的结果对一切连续介质都是适用的。任务(1)分析一点的应变状态(2)建立几何方程和应变协调方程§3-1位移分量和应变分量两者的关系设原来占据空间某一位置D的物体，在外力或温度变化的作用下占据空间另一位置D1（如图）。在这过程中，物体可能同时发生两种变化：一种是位置的变化（这部分相当于刚体运动），另一种是形状的变化。

由物体的连续性假设，要求在变形前连续的物体变形以后仍保持为连续体。这一物理的要求，反映在数学上，则要求区域D内每一点，连续变化到区域D1内的相应点，而且两者成一一对应的关系。具体地说，如果P点为D内的任意一点，在物体变形后，它经过一个位移而变到D1中的一点P1；若分别用（x,y,z）和（x1,y1,z1）表示P点和P1点的坐标，则根据上述要求，这里的x1,y1,z1必须是x,y,z的单值连续函数。

称为位移矢量投影于坐标轴位移分量位移分量棱边的相对伸长和缩短为称正应变用来表示棱边间所夹直角的改变量称为剪应变用来表示应变分量3.2相对位移张量转转动分量3.3转轴时应变分量的的变换应变变张量1.转轴时应变分量的的变换老坐标系应变分量新坐标系应变分量设为3个新坐标对老坐标轴的方向余弦（1）转轴时位移分量的的变换新坐标轴单位矢量（2）转轴时应变分量的的变换利用方向导数公式式于是新坐标系中的的应变分量为代入几何方程，可得应变分量的变换公式：上式可以写成2.应变张量物体内某一点沿任任意方向微分线段段的相对伸长率l,m,为该微分线段的方方向余弦3.4主应变应变张张量不变量对任一确定点M，可找到一个坐标标系，在这个坐标标系下，只有正应应变分量，而所有有的切应变分量为为零。即过点可找找到这样3个相互垂直的方向向，使沿这3个方向的微分线段段在物体变形后只只是各自地改变了了长度，而其夹角角仍保持为直角。。但要注意的是在在变形以后，主方方向的微分线段由由于单元体的刚性性转动而转动了一一个角度。1、应变主方向与主应应变同样，主应变方向余弦有非零解的条件为展开后得以上称为应变张量不变量（依次称为第一、、第二和第三不变变量）。不变含义义同应力张量其中三次方程有3个实根，，代入入方程，并利用，，可以求求出3个主应变，并当总之，过物体内内的一点至少可以以找到3个互相垂直的方向向，沿这3个方向的微分线段段在物体变形后仍仍保持垂直（1）3个主应变互相垂直（2），同时垂直，而方向任意（3）则任意方向均为主方向3.6体应变3.7应变协调方程AB从数学的角度看看：几何方程中的6个应变分量是通过3个位移分量表示的，显然6个应变分量之间应满足一定的关系从几何的角度看看：Ac1.应变协调方程几何方程左列第一式和第二式分别对和求二阶偏导数，相加，再利用右列第三式把几何方程的右列第一、第二、和第三式分别对和求一阶偏导数，得把后两式相加再再减去它们的前前一式，则有应变协调方程又称圣维南方程轮换这样总共得到6个关系式，现综合如下：2.讨论（1）应变分量满足足应变协调方程程，是保证物体体连续的一个必必要条件。（2）如果物体是单单连通的，应变变分量满足应变变协调方程是物物体连续的充分分条件。如位移分量可以以通过对其一阶阶偏导数积分求求解：其中

不能直接应用应变分量表示出来，它们对求一阶偏导数，便可以用应变分量表示出来