中考总复习数学竞赛辅导讲义习题解答第19讲转化灵活圆中角

第十九讲转变灵巧的圆中角角是几何图形中最重要的元素，证明两直线地点关系、运用全等三角形法、相像三角形法都要波及角，而圆的特点，给予角极强的活性，使得角能灵巧地相互转变．依据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转变；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的状况下，改变极点在圆上的地点进行研究；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角相互联系起．熟习以下基本图形、基本结论．注：依据极点、角的两边与圆的地点关系，我们定义了圆心角与圆周角，近似地，当角的极点在圆外或圆内，我们能够定义圆外角与圆内角，这两类角分别与它们的所夹弧度数有如何的关系?读者可自行作一番商讨．【例题求解】【例1】如图，直线AB与⊙O订交于A，B再点，点O在AB上，点C在⊙O上，且∠AOC＝40°，点E是直线AB上一个动点(与点O不重合)，直线EC交⊙O于另一点D，则使DE=DO的点正共有个．思路点拨在直线AB上使DE=DO的动点E与⊙O有如何的地点关系?分点E在AB上(E在⊙O内)、在BA或AB的延伸线上(E点在⊙O外)三种状况考虑，经过角度的计算，确立E点地点、存在的个数．注：弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促进与圆有关的角相互转变的基本方法．1【例2】如图，已知△ABC为等腰直角三形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别订交于点E、F、M，对于以下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF＝AB；③EDBA；④2BM2=BF×BA；⑤四边形AEMF为矩形．此中正确结论的个数是EFBC()A．2个B．3个C．4个D．5个思路点拨充分运用与圆有关的角，找寻特别三角形、特别四边形、相像三角形，逐个考证．注：多重选择单项选择化是最近几年出现的一种新题型，解这种问题，需把条件重组与整合，发掘隐合条件，作深入的研究，方能作出小正确的选择．【例3】如图，已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE×AC，BD＝8，求△ABD的面积．思路点拨由条件出发，利用相像三角形、圆中角可推得A为弧BD中点，这是解本例的重点．【例4】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CDAB于D(AD<DB)，点E是AB上随意一点(点D、B除外)，直线CE交⊙O于点F，连接AF与直线CD交于点G．2(1)求证：AC2=AG×AF；(2)若点E是AD(点A除外)上随意一点，上述结论能否仍旧建立?若建立．请画出图形并赐予证明；若不建立，请说明原因．思路点拨(1)作出圆中常用协助线证明△ACG∽△AFC；（2）判断上述结论在E点运动的状况下能否建立，依题意正确画出图形是重点．注：结构直径上90°的圆周角，是解与圆有关问题的常用协助线，这样就为勾股定理的运用、相像三角形的判断创建了条件．【例5】如图，圆内接六边形ABCDEF知足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF订交于一点Q，设AD与CF的交点为P．求证：（1）QDAC；(2)CPAC2EDECPECE2．思路点拨解本例的重点在于运用与圆有关的角，能发现多对相像三角形．(1)证明△QDE∽△ACF；(2)易证CPQC，经过其余三角形相像并联合(1)把特别规问PEDE题的证明转变为惯例问题的证明．注：有些几何问题固然表面与圆没关，可是若能发现隐含的圆，特别是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务，确立四点共圆的主要方法有：(1)利用圆的定义判断；3(2)利用圆内接四边形性质的抗命题判断．学历训练1．一条弦把圆分红2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为．2．如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的一点，则∠1+∠2=．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CG的中点，延伸AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，则EF的长为．4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD＝3，设⊙O的半径为y，AB的长为x，用x的代数式表示y，y=．5．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延伸BC到E，已知∠BCD：∠ECD＝3：2，那么∠BOD等于()A．120°B．136°C．144°D．150°6．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BOC等于()A．20°B．30°C．40°D．50°7．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆O上两点，AB=3，BC=2，则∠D的度数为()4A．60°B．120°C．135°D．150°8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，点P是弧AC上一点(点P不与A、C两点重合)，连接PC、PD、PA、AD，点E在AP的延伸线上，PD与AB交于点F．给出以下四个结⌒⌒论：①CH2=AH×BH；②AD=AC；③AD2=DF×DP；④∠EPC=∠APD，此中正确的个数是()A．1B．2C．3D．49．如图，已知B正是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．(1)求证：AC·BC=BE·CD；(2)已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．10．如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的均分线，交BC的延伸线于点D，延伸DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．(1)求证：FB=FC；(2)求证：FB2=FAFD；(3)若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．11．如图，B、C是线段AD的两个三均分点，P是以BC为直径的圆周上的随意一点(B、C点除外)，则tan∠APB·tan∠CPD=．12．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，则四边形ABCD的面积为．513．如图，圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AD=3，CD=2，则BC=．⌒14．如图，AB是半圆的直径，D是AC的中点，∠B=40°，则∠A等于()A．60°B．50°C．80°D．70°15．如图，已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB=5，PC=4，分别延伸AB和DC，它们订交于P，若∠APD=60°，则⊙O的面积为()A．25πB．16πC．15πD．13π(2001年绍兴市比赛题)16．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，AB=AC，过A、D两点的圆与AB、AC分别订交于点E、F，弦EF与AD订交于点G，则图中与△GDE相像的三角形的个数为()A．5B．4C．3D．217．如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE=EC，AB=2AE，且BD=23，求四边形ABCD的面积．18．如图，已知ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点，且有∠BAE=∠DAC．求证：(1)△ABE∽△ACD；(2)ABDC+AD·BC＝AC·BD．619．如图，已知P是⊙O直径AB延伸线上的一点，直线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E．(1)求证：PA·PB=PO·PE；(2)若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长．20．如图，△ABC内接于⊙