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文档简介

矩阵乘法AB=BA成立两个充要条件与一个充分条件第一页，共8页。

我们知道，矩阵的乘法不满足交换律，即在一般的情况下，AB≠BA,这就是说矩阵乘法AB=BA成立是有条件的。比如，对于n阶矩阵A,B中任意一个为n阶单位矩E时，矩阵乘法AＩ=ＩA总是成立的。当A,B为一般的n阶矩阵时，矩阵乘法AB=BA成立的条件时什么呢？为此，我做了一些探讨，得到矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件和一个充分条件。第二页，共8页。一两个充要条件定理1若A,B都是n阶可逆矩阵，则矩阵乘法AB=BA成立的充要条件是证必要性由已知条件AB=BA，两端分别取逆矩阵，得

第三页，共8页。

充分性由已知条件，得存在且唯一。

由矩阵运算性质，有

于是

又两端取逆矩阵，即得AB=BA.第四页，共8页。定理2设A,B都是n阶矩阵，则矩阵乘法AB=BA成立的充要条件是证必要性由已知条件AB=BA，两端分别取它们的转置，得(2)

又

故

充分性又矩阵运算性质

第五页，共8页。及已知条件

即得两端分别取它们的转置，得AB=BA二一个充分条件定理3若A,B都是n阶可逆矩阵，并且满足关系式（3）其中I为n阶单位矩阵，为任意实数，则AB=BA.第六页，共8页。

证当=0时，（3）式变为A=AB，从而有

结论显然成立。当为任意非零实数时，因为已知A,B可逆，所以A-I也是可逆的，由（3）式，得.(4)根据矩阵运

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