理论力学04三空间力系

1理论力学第三章空间力系2静力学第三章空间力系第三章空间力系

实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用线往往是不在同一平面内的，即空间力系，空间力系是最一般的力系。本章将研究空间力系的简化和平衡问题。与平面力系一样，先研究空间力系的特殊情况—

即空间汇交力系和空间力偶系，然后研究空间力系的一般情况—

空间任意力系。3静力学第三章空间力系§3-1空间汇交力系1.力在直角坐标轴上的投影直接投影法4静力学第三章空间力系若已知力与正交坐标系Oxyz三轴正向间的夹角q、b、g。则由空间力在轴上的投影定义，可直接将力F投影在正交坐标系Oxyz三轴上5静力学第三章空间力系间接投影法6静力学第三章空间力系

当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定时，可先将F投影到坐标平面xy上，然后再投影到x、y轴上，即这里要强调指出，空间力在轴上的投影是代数量，而在平面上的投影则是矢量。7静力学第三章空间力系与平面力类似，空间力的解析表达式为如果已知力F在x、

y、z轴上的投影，则可求得力F的大小和方向余弦为8例题3-1静力学第三章空间力系解：力F的大小力F的方向余弦及与坐标轴的夹角为xyqβγzFFxFyFzA已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受的力F的三个正交分量Fx，Fy，Fz的大小各为4.5kN，6.3kN，18kN，试求力F的大小和方向。9力F的方向余弦以及与坐标轴的夹角为已知力沿直角坐标轴的解析式为试求这个力的大小和方向，并作图表示。解：由已知条件得所以力F的大小为例题3-2静力学第三章空间力系10

三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求力F在三个坐标轴上的投影。

例题3-3静力学第三章空间力系

利用二次投影法，先将力F投影到Oxy平面上，然后再分别向x，y，z轴投影。解：11

如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。已知斜齿轮的啮合角(螺旋角)

β和压力角q，试求力Fn沿x，y和z轴的分力。例题3-4静力学第三章空间力系12将力Fn向z轴和Oxy平面投影解：例题3-4静力学第三章空间力系将力Fxy向x，y轴投影13沿各轴的分力为例题3-4静力学第三章空间力系14静力学第三章空间力系合力在x、y、z轴的投影为2.空间汇交力系的合力与平面汇交力系类似，空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。即15静力学第三章空间力系方向余弦合力矢FR的大小和方向余弦为

大小16

在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影如下表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。由上表得解：F1F2F3F4单位Fx1202kNFy1015－510kNFz341－2kN例题3-2静力学第三章空间力系17所以合力的大小为合力的方向余弦为合力FR

与x，y，z

轴间夹角例题3-2静力学第三章空间力系18静力学第三章空间力系3.空间汇交力系的平衡条件和平衡方程

由于一般空间汇交力系的最终简化结果为一合力，因此，空间汇交力系平衡的必要与充分条件为：该合力等于零，即由FR的大小可得平衡方程19例题3-5静力学第三章空间力系空间铰接结构形如正角锥，各棱边与底面都成倾角θ。B，C处是活动球铰链支座，D处是固定球铰链支座。顶点A的球铰链承受载荷F，不计各杆自重，试求各支座的约束力和各杆的内力。20解：例题3-5静力学第三章空间力系

为求各力在轴x，y上的投影，可先向坐标面Oxy上投影，然后再向轴上投影。1.取球铰链A为研究对象,受力分析如图。力F在坐标面Oxy上投影为零

建立如图坐标系Bxyz，其中y轴平分∠CBD。由于ABCD是正交锥，所以AB与y轴的夹角为θ。21力FAC和

FAD在轴

x，y上的投影：例题3-5静力学第三章空间力系俯视图立体图222.列平衡方程。3.联立求解。负号表示三杆都受压力。例题3-5静力学第三章空间力系234.取球铰链B为研究对象,列平衡方程。联立求解得例题3-5静力学第三章空间力系因由结构和荷载的对称性可得24CA5mBDEG

桅杆式起重机可简化为如图所示结构。AC为立柱，BC，CD和CE均为钢索，AB为起重杆。A端可简化为球铰链约束。设B点滑轮上起吊重物的重量P=20kN，AD=AE=6m，其余尺寸如图。起重杆所在平面ABC与对称面ACG重合。不计立柱和起重杆的自重，求起重杆AB、立柱AC和钢索CD，CE所受的力。例题3-6静力学第三章空间力系25CA5mBDEG1.先取滑轮B为研究对象。注意，起重杆AB为桁架构件，两端铰接，不计自重，它是一个二力构件，把滑轮B简化为一点，它的受力图如图所示。xyBPFABFBC解：

这是一平面汇交力系，列平衡方程解得例题3-6静力学第三章空间力系262.再选取C点为研究对象，它的受力图如图所示。

此力系在Axy平面上投影为一平面汇交力系，其中：先列出对Az轴的投影方程

这是一空间汇交力系，作直角坐标系Axy，把力系中各力投影到Axy平面和Az轴上。例题3-6静力学第三章空间力系xzAyCFACFCEFCD27列平衡方程由此解得所求结果如下：xzAyCFACFCEFCD例题3-6静力学第三章空间力系28例题3-7静力学第三章空间力系如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂节点O，其上作用有铅直载荷F。钢丝OA和OB所构成的平面垂直于铅直平面Oyz,并与该平面相交于OD，而钢丝OC则沿水平轴y。已知OD与轴z间的夹角为β，又∠AOD=∠BOD=q，试求各钢丝中的拉力。29

取O点为研究对象，受力分析如图所示，这些力构成了空间共点力系。解：例题3-7静力学第三章空间力系

力F2，F3的方向通过q角和β角来表示，q是这两力各自对坐标平面Oyz的倾角，β是这两力在坐标平面Oyz上的投影对z轴的偏角。

故求这两力在y轴和z轴上的投影时，须先将它们投影到Oyz平面上。

30例题3-7静力学第三章空间力系力F2

在平面Oyz上的投影为：并与z轴成β角。故力F2在y，z轴上的投影分别为:

力F3的投影可用同样方法求出。

力F2与x轴之间的夹角为90o－q，故它在该轴上的投影为：31联立求解可得列平衡方程例题3-7静力学第三章空间力系32静力学第三章空间力系§3-2力对点的矩与力对轴的矩1.力对点的矩以矢量表示——力矩矢

对平面力系，由于各力与矩心均位于同一平面内，因此用代数量表示力对点的矩就可以包含它的全部要素。但对于空间力系而言，由于各力与矩心所构成的平面（力矩作用面）的方位不同，用代数量就不足以概括其全部要素。为此引入力矩矢MO(F)来描述空间力对点的矩。33静力学第三章空间力系

如图所示,以r表示力作用点的矢径，则力F对点O的矩可以定义为即：力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。显然，上式的模等于三角形OAB面积的两倍，正好是力对点矩的大小，方位垂直于力矩作用面，指向按右手螺旋法则来确定。这样空间力对点的矩的作用效果完全可以用上面定义的力矩矢MO（F）来表示。力矩矢MO（F）是定位矢，矢端必须位于矩心O。不可随意挪动。34静力学第三章空间力系由矢径和力的解析表达式可得力矩矢的解析形式上式在x、y、z轴上的投影分别为35静力学第三章空间力系2.力对轴的矩

工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力使刚体绕定轴转动的效果，有必要了解力对轴的矩的概念。36静力学第三章空间力系

现有一力F作用在可以绕z轴转动的圆盘上，如下图所示。将力F分解为Fxy和Fz，由于Fz与转轴z平行，不能使圆盘绕z轴转动,故它对

z轴的矩为零；只有垂直z轴的分力Fxy对

z轴有矩，且等于分力Fxy对z轴与xy平面的交点O的矩。这样，空间力F

对z轴的矩为37静力学第三章空间力系

力对轴的矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩。这样，空间力对轴的矩就转化成了平面问题中力对点的矩。因而它是一个代数量，其正负号可按右手螺旋法则确定，如图所示。空间力对轴的矩与平面力对点的矩类似，也可以用解析式表示如下z38静力学第三章空间力系

上式正是平面问题中力对点的矩的解析表达式。于是，平面问题中力对点的矩即是力对垂直于力与矩心所构成的平面且通过矩心的轴的矩。同理可得其余二式。合在一起有以上即是计算力对轴之矩的解析表达式。393.力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系静力学第三章空间力系

比较力对点的矩的解析表达式和力对通过该点的轴的矩的解析表达式可得40静力学第三章空间力系

即力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。

利用这个关系来计算力对点的矩和力对轴的矩往往较为方便。41例题3-8静力学第三章空间力系

手柄ABCE在平面Axy内,在D处作用一个力F，如图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为q。如果CD=b，杆BC平行于x轴,杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F对x，y和z三轴的矩。42解:应用合力矩定理求解。力F

沿坐标轴的投影分别为：

由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有解：例题3-8静力学第三章空间力系43

在直角弯杆的C端作用着力F，试求这力对坐标轴以及坐标原点O的矩。已知OA=a=6m，AB=b=4m，BC=c=3m，q=30º,β=60º。

例题3-9静力学第三章空间力系44

由图示可以求出力F

在各坐标轴上的投影和力F

作用点C的坐标分别为：

解：x=a=4my=b=6mz=c=－3m例题3-9静力学第三章空间力系45

则可求得力F

对坐标轴之矩以及对原点O之矩的大小和方向。

力F

对坐标轴之矩为：例题3-9静力学第三章空间力系46力F

对原点O之矩方向余弦：例题3-9静力学第三章空间力系力F

对原点O之矩大小：47静力学第三章空间力系§3-3空间力偶

由于空间力偶的作用面的方位不同，因此除力偶的大小、转向外，还必须确定力偶的作用面的方位，所以空间力偶矩必须用矢量表示。因力偶是由一对大小相等，方向相反作用线平行的力组成，故力偶矩可以用力偶中的两个力对点之矩的矢量和来表示。1.力偶矩用矢量表示，力偶矩矢由于48

由上式可以得出，力偶对空间任意点的矩矢相同，与矩心无关。因此空间力偶是一个自由矢量，以M（F,F′)或M表示。力偶的转向为右手螺旋法则。从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。决定空间力偶对刚体的作用效果的三要素为力偶矩大小，作用面方位和转向。静力学第三章空间力系49静力学第三章空间力系2.空间力偶的等效定理

作用在同一刚体两个力偶，若它们的力偶矩矢相等，则两个力偶等效。证明：先证明空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上，然后再由平面力偶的等效性即可证得。50静力学第三章空间力系3.空间力偶系的合成与平衡条件

任意个空间分布的力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。51静力学第三章空间力系即其合力偶矢的大小和方向的计算与空间汇交力系的合力的大小和方向的计算完全相同。合力偶矢的大小方向余弦为52静力学第三章空间力系平衡方程是显然空间力偶系平衡的必要与充分条件是合力矩偶矢为零，即53

工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。例题3-10静力学第三章空间力系54将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。可得所以合力偶矩矢的大小合力偶矩矢的方向余弦解：A例题3-10静力学第三章空间力系55xzyOF1F2F3图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1

，F1）的矩M1=20N·m；力偶（F2，F2

）的矩M2=20N·m；力偶（F3

，F3）的矩M3=20N·m。试求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。例题3-11静力学第三章空间力系561.画出各力偶矩矢。2.合力偶矩矢M的投影。解：例题3-11静力学第三章空间力系573.合力偶矩矢M的大小和方向。4.为使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为M4=－M

。xzy45°OM145°M2M3例题3-11静力学第三章空间力系58静力学第三章空间力系§3-4空间任意力系向一点的简化•主矢和主矩1.空间任意力系向一点的简化

与平面任意力系向一点的简化相同，空间任意力系向一点的简化的理论根据也是力线平移定理。59静力学第三章空间力系刚体上作用空间任意力系F1，F2，…，Fn.。用力线平移定理，将所有力向任意选定的简化中心O平移，同时附加一个力偶。这样，原空间任意力系就被空间汇交力系和空间力偶系等效代替。60静力学第三章空间力系并有关系然后，再分别将汇交力系和力偶系合成，得到一力FR‘和一力偶MO。该力的大小和方向称为原力系的主矢，作用线过简化中心O；该力偶称为原力系对简化中心O的主矩。主矢和主矩的计算与空间汇交力系的合力和空间力偶系的合力偶相同。61静力学第三章空间力系从上可得主矢与简化中心O的选择无关，主矩与简化中心O的选择有关。关于主矢与主矩的大小和方向的计算同前的空间汇交力系和力偶系。62静力学第三章空间力系1.空间任意力系的简化结果分析力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心O的位置无关。力系可合成为一个合力，合力的作用线过简化中心O，大小和方向与主矢相同。此时分三种情况讨论。可进一步简化成一合力63静力学第三章空间力系合力的大小和方向与主矢相等，作用线距简化中心O的距离OMOFR'（a)OO'd(c)OO'd(b)64静力学第三章空间力系原力系简化成力螺旋，即力与力偶作用面垂直。例如力螺旋不能进一步的合成为一个力或力偶。65静力学第三章空间力系这是最一般的情况，可进一步简化成力螺旋。因此，在一般的情况下空间任意力系可合成为力螺旋。这就是下节要讨论的空间任意力系的平衡66静力学第三章空间力系§3–5空间任意力系的平衡方程1.空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的必要与充分条件是：该力系的主矢和对任意点的主矩都为零。即平衡方程是与平面任意力系类似，空间任意力系的平衡方程除了上面的一般形式外，还有四矩式，五矩式和六矩式。67静力学第三章空间力系

例如对空间平行力系，不失一般性，假定取z轴与各力平行，如右图所示，则空间任意力系的6个平衡方程中有3个衡为零，即因而空间平行力系的平衡方程只有下面的3个xyzOF1F2F3Fn由空间任意力系的平衡方程还可导出其它特殊类型的力系的平衡方程。68静力学第三章空间力系2.空间约束的类型举例69静力学第三章空间力系止推轴承70静力学第三章空间力系空间固定端约束71静力学第三章空间力系3.空间力系平衡问题举例例题3-12铅直桅杆AB受彼此互相垂直的两个水平力F1和F2的作用，并由张索CD维持平衡。已知尺寸l，力F1和F2，向D点简化的结果是力螺旋，试求D点的位置。72

令BD=s,将力F1和F2向D点简化得主矢F'R和主矩MD在坐标轴x1，y1上的投影：解：静力学第三章空间力系例题3-12

因为向D点简化是力螺旋，即有F'R//MD,故从而解得所求距离73

涡轮发动机的涡轮叶片上受到的燃气压力可简化成作用在涡轮盘上的一个轴向力和一个力偶。图示中FO

，

MO,斜齿轮的压力角为q，螺旋角为β，节圆半径r及l1,l2尺寸均已知。发动机的自重不计，试求输出端斜齿轮上所受的反作用力F以及径向推力轴承O1和径向轴承O2处的约束力。

静力学第三章空间力系例题3-1374

取整个系统为研究对象，建立如图坐标系O1xyz，画出系统的受力图。

其中在径向推力轴承O1处的约束力有三个分量。在径向轴承O2处的约束力只有两个分量。

在斜齿轮上所受的压力F可分解成三个分力。周向力Fy，径向力Fx和轴向力Fz

。其中：解：静力学第三章空间力系例题3-1375由以上方程可以求出所有未知量。系统受空间任意力系的作用，可写出六个平衡方程。静力学第三章空间力系例题3-1376

水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4m，r2=0.2m.套在C轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力F1=3400N，F2=2000N，套在D轮上的胶带与铅垂线成夹角q=30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，拉力F3和F4以及两个径向轴承处约束力的大小。

静力学第三章空间力系例题3-1477

以整个系统为研究对象，建立如图坐标系Oxyz，画出系统的受力图。

解：

为了看清胶带轮C和D的受力情况，作出右视图。

静力学第三章空间力系例题3-14

下面以对x轴之矩分析为例说明力系中各力对轴之矩的求法。力FAx和FBx平行于轴

x，力F2和F1通过轴

x。它们对轴x的矩均等于零。78

力FAz和FBz对轴x的矩分别为－0.25Faz和1.25FBz

。

力F3和F4可分解为沿轴x和沿轴z的两个分量，其中沿轴x的分量对轴x的矩为零。所以力F3和F4对轴x的矩为静力学第三章空间力系例题3-14－0.75（F3+F4）cos30o

系统受空间力系的作用，可写出五个平衡方程。79又已知F3=2F4，故利用以上方程可以解出所有未知量。静力学第三章空间力系例题3-1480

如图所示三轮小车，自重Ｐ=8kN，作用于E点，载荷F1=10kN，作用于C点。求小车静止时地面对车轮的约束力。静力学第三章空间力系例题3-1581

以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行力系，受力分析如图。列平衡方程解方程