工程力学-第7章modify

第二篇材料力学工程力学第7章梁的强度计算第二篇材料力学工程力学

杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线。

这种受力与变形形式称为弯曲。主要承受弯曲的杆件称为梁。第7章梁的强度计算第7章梁的强度计算

根据内力分析的结果，梁弯曲时，将在弯矩最大的横截面处发生失效。这种最容易发生失效的截面称为“危险截面”。但是，危险截面的哪一点最先发生失效？怎样才能保证梁不发生失效？这些就是本章所要讨论的问题。第7章梁的强度计算

要知道横截面上哪一点最先发生失效，必须知道横截面上的应力是怎样分布的。

第5章中已经分析了梁承受弯曲时横截面上将有剪力和弯矩两个内力分量。第7章梁的强度计算

与这两个内力分量相对应，横截面上将有连续分布的剪应力和正应力。

第5章中所介绍的是应用平衡原理与平衡方法，确定梁的横截面上的剪力和弯矩。

但是，剪力和弯矩只是横截面上分布剪应力与正应力的简化结果。

怎样确定梁的横截面上的应力分布？

第7章梁的强度计算

应力是不可见的，而变形却是可见的，而且应力与应变存在一定的关系。因此，为了确定应力分布，必须分析和研究梁的变形，必须研究材料应力与应变之间的关系，即必须涉及变形协调与应力－应变关系两个重要方面。二者与平衡原理一起组成分析弹性杆件应力分布的基本方法。

第7章梁的强度计算

绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关，剪应力的影响是次要的。本章将主要确定梁横截面上正应力以及与正应力有关的强度问题。7.1工程中的弯曲构件7.2与应力分析相关的截面图形几何性质7.3平面弯曲时梁横截面上的正应力7.4平面弯曲正应力公式应用举例7.8结论与讨论7.5梁的强度计算7.6斜弯曲7.7弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力第7章梁的强度计算返回总目录A:与应力分析相关的截面图形几何性质B:平面弯曲时梁横截面上的正应力C:梁的强度计算D:弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力第7章梁的强度计算返回总目录重点内容返回7.1工程中的弯曲构件第7章梁的强度计算返回总目录7.1工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的:

桥式吊车的大梁可以简化为两端铰支的简支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布载荷q)的作用下,大梁将发生弯曲。

7.1工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的:

石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。

7.1工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的:

火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可以简化为两端外伸梁。由于轴自身重量与车厢以及车厢内装载的人货物的重量相比要小得多，可以忽略不计，因此，火车轮轴将发生弯曲变形。返回7.2与应力分析相关的截面图形几何性质第7章梁的强度计算返回总目录

讨论拉伸和压缩杆件横截面上应力时，根据拉伸和压缩时均匀变形的特点，推知杆件横截面上的正应力均匀分布，从而得到正应力表达式

:其中A为杆件的横截面面积。

7.2与应力分析相关的截面图形几何性质FP1FP2yxz正应力与轴力、弯矩之间的关系dAσxMyFNxMz4.4.2正应力、剪应力与内力分量之间的关系4.4杆件横截面上的应力

FP1FP2yxzdAτxyτxzMxFQyFQz剪应力与扭矩、剪力之间的关系4.4.2正应力、剪应力与内力分量之间的关系4.4杆件横截面上的应力

静力方程提供信息:内力和哪些应力关联相依关系的量化

当杆件横截面上，除了轴力以外还存在弯矩时，其上之应力不再是均匀分布的，这时得到的应力表达式，仍然与横截面上的内力分量以及横截面的几何量有关。但是，这时的几何量将不再是横截面的面积，而是其它形式。

7.2

与应力分析相关的截面图形几何性质

不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。FNMz7.2与应力分析相关的截面图形几何性质惯性矩

研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量。

包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。7.2与应力分析相关的截面图形几何性质重心--形心--质心重心是物体重力的合力作用点。形心是物体几何形状的中心。质心是反映质点系质量分布情况的一个几何点。均质物体的重心与几何中心――形心重合。非均质物体的重心与形心一般是不重合的。均质刚体的质心和形心的位置是重合的三心质心和重心是两个不同的概念

重心是地球对物体作用的平行引力的合力（物体重力）的作用点，它只在重力场中才有意义，一旦物体离开重力场，重心就没有任何意义；而质心是反映质点系质量分布情况的一个几何点，它与作用力无关，无论质点系是否在重力场中，质心总是存在的。在重力场中，物体的重心和质心的位置是重合的7.2与应力分析相关的截面图形几何性质7.2.1静矩、形心及其相互关系7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径7.2.3惯性矩与惯性积的移轴定理7.2.4惯性矩与惯性积的转轴定理7.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩7.2.1静矩、形心及其相互关系7.2与应力分析相关的截面图形几何性质zyOdAyz图形对于y轴的静矩(一次矩)图形对于z轴的静矩7.2.1静矩、形心及其相互关系7.2与应力分析相关的截面图形几何性质定义:(一次矩)静矩的单位:m3

对于任意平面几何图形，在其上面取面积微元dA,建立坐标系：图形几何形状的中心:形心.若将面积看做垂直于图形平面的力,则形心为合力的作用点.zyOdAyz分力之矩之和合力之矩定理7.2.1静矩、形心及其相互关系7.2与应力分析相关的截面图形几何性质如果dA视为垂直于图形面积的力,则ydA和zdA分别为dA对于z和y轴的力矩,分别为A对z轴和y轴之矩.AzyOzCCyC形心形心坐标静矩与形心坐标之间的关系已知静矩可以确定图形的形心坐标已知图形的形心坐标可以确定静矩7.2.1静矩、形心及其相互关系7.2与应力分析相关的截面图形几何性质形心坐标7.2.1静矩、形心及其相互关系7.2与应力分析相关的截面图形几何性质

静矩与坐标轴有关，

同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为正；对另外一些坐标轴静矩则可能为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。若图形对某坐标轴的静矩等于零,则该轴必须通过形心。

如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。

7.2.1静矩、形心及其相互关系7.2与应力分析相关的截面图形几何性质

实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断，例如：矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。

对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形（可以直接确定形心位置的图形）；

然后分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和。对于组合图形7.2.1静矩、形心及其相互关系7.2与应力分析相关的截面图形几何性质图形各组成部分对某一轴的静矩的代数和,等于整个图形对同一轴的静矩.组合图形形心位置例1

试确定下图的形心。解：组合图形，用正负面积法解之。1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图(a)801201010xyC2图(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积C1xy7011012080

例3求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。

OCrxydAyCydy解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条，

所以由于对称知：xC=0

解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则例4求图示图形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10由于对称知：xC=07.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径7.2与应力分析相关的截面图形几何性质－图形对y轴的惯性矩(二次轴矩)－图形对z轴的惯性矩(二次轴矩)－图形对yz轴的惯性积－图形对O点的极惯性矩zyOdAyzrA7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径7.2与应力分析相关的截面图形几何性质定义(二次极矩)－图形对y轴的惯性半径zyOdAyz7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径7.2与应力分析相关的截面图形几何性质定义－图形对z

轴的惯性半径＞0＞0＞0＞0,＜0zyOdAyz7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径7.2与应力分析相关的截面图形几何性质当整个图形在第一象限内：y>0,z>0当整个图形在第二象限内：y>0,z<0

惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为负。三者的单位均为m4。zyOdAyzrA7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径7.2与应力分析相关的截面图形几何性质惯性矩、极惯性矩之间的关系

图形对任意一对互相垂直的轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩y,z轴如何取,可使Iyz=0轴对称图形y轴为对称轴z轴为与对称轴垂直的任一轴yzIyz=0Iyz>0Iyz<0Iyz<0Iyz>0已知：圆截面直径d求：Iy，Iz，IPCyz7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径drdrdA例题1解：取圆环微元面积7.2与应力分析相关的截面图形几何性质重点掌握已知：矩形截面b×h求：Iy，IzbhzdzdAydydA7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径解：取平行于x轴和y轴的微元面积例题27.2与应力分析相关的截面图形几何性质重点掌握Cyz

证明坐标系的两个坐标轴中只要有一个为图形的对称轴，则图形对这一坐标系的惯性积为零zyCdAdAyyz-z对称轴Iyz>0Iyz<0例题3

对于由简单几何图形组合而成的图形,一般不采用积分的方法计算它们的惯性矩.

而是利用简单图形的惯性矩计算结果以及图形对于不同坐标轴（互相平行的坐标轴，不同方向的坐标轴）惯性矩之间的关系,由求和的方法求得.先计算每一个简单图形对同一轴的惯性矩，然后求其总和。7.2与应力分析相关的截面图形几何性质圆环截面例题4负面积方法例题5bHhzy负面积方法简单总结

形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积等。主惯性矩,形心主惯性矩移轴定理转轴定理主轴形心主轴dyzhzbyIxy=0Ixy=0Ixy=07.2.3惯性矩与惯性积的移轴定理7.2与应力分析相关的截面图形几何性质

为什么有移轴定理（parallel-axistheorem）?思考:同一图形在不同坐标系中惯性矩与惯性积是不同的,存在某种关系zyOdAyz－图形对y轴的惯性矩(二次轴矩)－图形对z轴的惯性矩(二次轴矩)－图形对yz轴的惯性积－图形对O点的极惯性矩zyOdAyzrA7.2与应力分析相关的截面图形几何性质定义(二次极矩)

移轴定理（parallel-axistheorem）:是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对与上述坐标轴平行的坐标轴的惯性矩与惯性积。7.2.3惯性矩与惯性积的移轴定理7.2与应力分析相关的截面图形几何性质AzyOdAyzz1y1O´

y1=y＋az1=z＋b

已知：Iy、Iz、Iyz求：

Iy1、Iz1、Iy1z1y1z1ab7.2.3惯性矩与惯性积的移轴定理7.2与应力分析相关的截面图形几何性质

y1=y＋az1=z＋b

zyOdAz1y1O´yzy1z1ab7.2.2惯性矩与惯性积的移轴定理7.2与应力分析相关的截面图形几何性质如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0，7.2.3惯性矩与惯性积的移轴定理7.2与应力分析相关的截面图形几何性质y、z轴必须通过图形形心y、z轴未必通过图形形心7.2.3惯性矩与惯性积的移轴定理7.2与应力分析相关的截面图形几何性质y、z轴必须通过图形形心*图形对任意轴的惯性矩,等于图形对于该轴平行的通过形心轴的惯性矩,加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积*图形对任意一对直角坐标轴的惯性积,等于图形对于平行于该坐标轴的一对通过形心的直角坐标轴的惯性积,加上图形面积与两对平行轴间距离的乘积●

因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。●

a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。7.2.3惯性矩与惯性积的移轴定理7.2与应力分析相关的截面图形几何性质例6求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：求解此题有两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。B

建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。AdxyO圆例I-7已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平行的x2轴的惯性矩。bx1hx2xCh/3

解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以不能直接使用平行移轴公式，需先求出三角形对形心轴xC的惯性矩，再求对x2轴的惯性矩，即进行两次平行移轴：7.2.4惯性矩与惯性积的转轴定理7.2与应力分析相关的截面图形几何性质

所谓转轴定理（rotation-axistheorem）是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。

7.2.4惯性矩与惯性积的转轴定理7.2与应力分析相关的截面图形几何性质zyOz1y1dAyzy1z1已知：Iy、Iz、Iyz、求：

Iy1、Iz1、Iy1z17.2.4惯性矩与惯性积的转轴定理7.2与应力分析相关的截面图形几何性质zyOz1y1dAyzy1z17.2.4惯性矩与惯性积的转轴定理7.2与应力分析相关的截面图形几何性质

图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角度无关，即在轴转动时，其惯性矩之和保持不变。7.2.4惯性矩与惯性积的转轴定理7.2与应力分析相关的截面图形几何性质

例I-8

求图示正方形对过形心的x1、y1轴的惯性矩和惯性积。xyaaCx1y1a解：由于：，则同理

，注意7.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩7.2与应力分析相关的截面图形几何性质zyOz0y000dAyzy0z0y0、z0－通过O点的主轴（主惯性轴）7.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩7.2与应力分析相关的截面图形几何性质

对于确定的坐标原点,当坐标轴旋转时,惯性积将发生变化;可正,可负,因此总可以找到一个角度以及相应的坐标轴

(y0、z0),图形对这一对坐标轴的惯性积等于零.

当

改变时，Iyl、Izl的数值也发生变化，而当=0时，二者分别为极大值和极小值。Iy0、Iz0－主惯性矩zyOz0y000dAyzy0z07.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩7.2与应力分析相关的截面图形几何性质(与求惯性主轴Iy0z0=0的0角相同)主惯性矩：7.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩7.2与应力分析相关的截面图形几何性质定义：

过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性积等于零，这样一对坐标轴---主轴。图形对与主轴的惯性矩为主轴惯性矩（主惯性矩）当惯性矩取极值时一对坐标轴一定是惯性主轴

对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩IyIx称为形心主惯性矩，简称形心主矩。

工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。7.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩7.2与应力分析相关的截面图形几何性质

这里所说的平面图形是杆件的横截面，则截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面，称为形心主惯性平面(主轴平面)。

截面对于对称轴的惯性积等于零，截面形心又必然在对称轴上，所以截面的对称轴就是形心主惯性轴。7.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩7.2与应力分析相关的截面图形几何性质关于形心,主轴和形心主轴

怎样判断主轴和形心主轴

？

坐标系的两个坐标轴中只要有一个为图形的对称轴，则图形对这一坐标系的惯性积为零

过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性积等于零，这样一对坐标轴---主轴aa

过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性积等于零，这样一对坐标轴---主轴怎样判断主轴？怎样判断主轴？求截面形心主惯性矩的方法①建立坐标系②计算面积和静矩③求形心位置④建立形心坐标系；求：IyC

，

IxC

，

IxCyC⑤求形心主轴方向—0

⑥求形心主惯性矩有对称轴截面的惯性主轴zyCdAdAyyz-zIyz=(yizidA-yizidA)=07.2.4主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩7.2与应力分析相关的截面图形几何性质对称轴Iyz>0Iyz<0

当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴.

又因为C为形心,所以y,z轴为形心主轴。注意特别例题10

已知：图形尺寸如图所示。求：图形的形心主矩50270303007.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩7.2与应力分析相关的截面图形几何性质解：1．将所给图形分解为简单图形的组合

C1ⅠⅡC250270303007.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩－例题3

7.2与应力分析相关的截面图形几何性质C1C2ⅠⅡ2.建立初始坐标，确定形心位置

yzyC1505027030300C7.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩－例题3

7.2与应力分析相关的截面图形几何性质

Iy0=Iy0(Ⅰ)+Iy0(II)

90C1C2CyzⅠⅡ150603.确定形心主惯性矩

y0z07.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩－例题3

7.2与应力分析相关的截面图形几何性质主轴（惯性积等