平面的基本性质及空间直线位置关系

-.z.平面的基本性质与空间直线位置关系适用学科数学适用年级高一适用区域课时时长（分钟）60知识点平面的基本性质点共线、线过同一点、点线共面问题教学目标理解、熟记平面的性质公理理解并掌握点共线、线过同一点、点线共面问题的处理方法教学重点能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题教学难点能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题教学过程一、复习预习思考：1、直线的性质，平面的性质2、直线在一个平面内的判定？3、直线与直线相交与两个平面相交的区别4、三角形的稳定性指的是什么？二、知识讲解考点1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．考点2公理2：如果两个平面有一个公共点，则它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．考点3公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理的用途公理1：①证明点在平面内；②证明直线在平面内．公理2：①确定两个平面的交线；②证明三点共线或三线共点．公理3：①确定一个平面的条件；②证明有关的点线共面问题．考点4公理4平行于同一条直线的两条直线平行.它给出了平面中直线平行的传递性在空间也成立.考点5异面直线的判定异面直线所成的角三、例题精析【例题1】如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD上，且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD=AH∶HD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.求证：EH、FG、BD三线共点.证明∵AE∶EB=CF∶FB=2∶1∴EFAC；又∵CG∶GD=AH∶HD=3∶1，∴GHAC；则且EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH平面ABD，P∈FG，FG平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.【例题2】如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1,过E、F、G的平面交AD于H.(1)求AH:HD；(2)证明：EH、FG、BD三线共点.【答案】（1）3:1（2）略【解析】(1)EF//ACEF//面ACD.而EF面EFGH,而面EFGH∩面ACD=GH，∴EF//GH而EF//AC，∴AC//GH，∴3，即AH:HD=3:1.(2)∵EF//GH且，，∴EF≠GH，∴EFGH为梯形.令EH∩FG=P,则P∈EH而EH面ABD.P∈EG,FG面BCD,面ABD∩面BCD=BD，∴P∈BD，∴EF、FG、BD三线共点.【例题3】已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且直线EF和GH交于点P.求证：B、D、P在同一直线上.【证明】如图，∵EF∩GH=P，∴P∈EF、GH.∵E∈AB，F∈AD，∴EF面ABD，∴P∈面ABD.∵G∈BC，H∈CD，∴GH面BCD，∴P∈面BCD.∵面ABD∩面BCD=BD，∴P∈BD，∴B、D、P三点在同一直线上.【例题4】已知直线与三条平行线a、b、c都相交．求证：与a、b、c共面．【证明】设由a、b确定平面，因为A∈a,B∈bb、c确定平面β，因为C∈c,B∈b同理可证β所以α、β均过相交直线b、α、β重合cαa、b、c、共面【例题5】如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点，==，AB=CD=3，EF=，求AB、CD所成角的大小.【答案】60°【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使=.连接GF、GE、EF.===，GE∥AB，且GE=AB=2，同理，GF∥CD，且GF=CD=1，在△EGF中，cos∠EGF==-,∴∠EGF=120°.由GF∥CD,GE∥AB可知,AB与CD所成的角应是∠EGF的补角为60°.【例题6】如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA=1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.【答案】【解析】取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为异面直线BE与CD所成的角或其补角.在Rt△EAB中，AB=AC=1，AE=AD=，∴BE=，在Rt△EAF中，AF=AC=，AE=，∴EF=，在Rt△BAF中，AB=1，AF=，∴BF=，在等腰三角形EBF中，，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.四、课堂运用【基础】1.空间四点中,如果任意三点都不共线,则由这四点可确定______个平面"【答案】１或４【解析】若共面的四点则可以确定一个平面；若四点不共面，则可以确定4个平面.2.若,,则与关系为___________.【答案】相等或互补.【解析】当与方向相同时,两角相等；当与方向相反时,两角互补.3.正方体中，与棱成异面直线的棱共有_____条，它们分别是______．【答案】4；【巩固】1.画一个正方体，再画出平面与平面的交线，并且说明理由．【解析】、、、E∈BD、E∈平面、、F∈平面，则EF为所求．2.如图，E、F、G、H分别是四面体的棱SA、SC、BA、BC上的点．若EF与GH相交时，证明：EF与GH交点在AC上；【证明】(1)当EF和GH相交时，交点为平面ASC和平面ABC的一个公共点，而平面ASC和平面ABC的交线是AC，所以EF和GH的交点在AC上．3.在长方体ABCDA1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一只小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，求其路程的最小值．【解析】把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形：利用勾股定理可得AC1的长分别为eq\r(90)、eq\r(74)、eq\r(80)，(12分)由此可见图②是最短线路，其路程的最小值为eq\r(74).(14分)【拔高】1.过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,,所成的角都相等，这样的直线L可以作条.【答案】4【解析】第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有1条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条.2.直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角的大小为_________。【答案】60度【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，3.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．【解析】(1)连结EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点．课程小结1．利用平面基本性质证明"线共点”或"点共线”问题：(1)证明共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上，有时也可将问题转化为证明三点共线．(2)要证明"点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知这些点在交线上，因此共线．课后作业【基础】1.用符号表示"点A在直线l上，l在平面α外”为____________________．【答案】A∈l，lα【解析】注意集合符号的使用，点在线上，点在面内用"∈”，线在面内用"”．2.有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是________．(填序号)【答案】②③【解析】易知①只须四点共面，任何三点不必共线；②③正确；④错误．3.有以下三个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号"l∈α”表示；③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．其中正确的命题是________．(填序号)【答案】①③【解析】表示线与面的关系用"”或"”表示，故②错误．【巩固】1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是____________________．【答案】平行、异面或相交【解析】可通过正方体观察．2.已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．【答案】eq\f(2,3)【解析】取A1B1的中点F，则∠AEF为所求角或其补角．设正方体棱长为2，则AE＝3，AF＝eq\r(5)，EF＝2，所以cos∠AEF＝eq\f(AE2＋EF2－AF2,2AE×EF)＝eq\f(2,3).3.如图，在正方体ABCDeq\a\vs4\al()A1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1、CC1的中点，则过点B、P、Q的截面是________．【答案】菱形【解析】设正方体棱长为1，连结D1P、D1Q，则易得PB＝BQ＝D1P＝D1Q＝eq\f(\r(5),2)，取D1D的中点M，则D1P∥AM∥BQ，故截面为四边形PBQD1，它是一个菱形．【拔高】1.已知a，b是异面直线，直线c∥直线a,则c与b的位置关系.①一定是异面直线 ②一定是相交直线③不可能是平行直线 ④不可能是相交直线【答案】③.【解析】c与b的位置关系相交或异面.2.给出下列命题：①若平面内的直线a与平面内的直线b为异面直线，直线c是与的交线，则直线c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面；③一定存在平面和异面直线a、b同时平行.其中正确命题的序号是.【答案】③.【解析】①中直线c可以与a、b中的两条都相交；②直线a与c异面或相交.3.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则说法错误的有（填序号）.①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交④