教材版数学人教B版必修第二册课件43指数函数与对数函数的关系

4.3指数函数与对数函数的关系1.了解反函数的概念.2.知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们的图像间的对称关系.3.能利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题.1|反函数一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中①任意一个

y的值,只有唯一的x与之

对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的②反函数

.此时,称y=f(x)存在反

函数.而且,如果函数的自变量仍用x表示,因变量仍用y表示,则函数y=f(x)的反函数

的表达式,可以通过对调y=f(x)中的x与y,然后从③

x=f(y)

中求出y得到.一般地,函数y=f(x)的反函数记作④

y=f-1(x)

.值得注意的是,y=f(x)的定义域与y

=f

-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f

-1(x)的定义域相同,y=f(x)与y=f

-1(x)的图像关

于直线⑤

y=x

对称.(1)指数函数y=ax与对数函数y=logax⑥互为反函数

.(2)指数函数y=ax与对数函数y=logax的图像关于直线⑦

y=x

对称.2|指数函数与对数函数的关系(a>0且a≠1)判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”。y=

的反函数是y=logx

.

(

✕)y=log3x的反函数的值域为R.

(

✕)y=ex的图像与y=lgx的图像关于直线y=x对称.(

✕)4.任何一个函数都有反函数.

(

✕)5.存在一个函数,原函数与其反函数是同一函数.

(√)提示:如函数y=

.y=x上.(

✕)提示:如函数y=

与其反函数有无数交点,但交点中只有两个在直线y=x上.1|互为反函数的两个函数之间的关系互为反函数的两个函数的定义间的关系(1)反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域.(2)并不是任意一个函数y=f(x)都存在反函数,只有当函数定义域与值域中的值是

一一对应的关系时,这个函数才存在反函数.(3)反函数也是函数,因为它符合函数的定义.互为反函数的两个函数的图像间的关系(1)互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称;图像关于直线y=x对称的两个

函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.(3)奇函数不一定存在反函数,若存在,它的反函数也是奇函数;偶函数一定不存在

反函数.(★★☆)(1)函数y=2x与y=log2x的图像只能是

(

C)

(2)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=

log2x

.思路点拨:(1)根据互为反函数的两函数间的关系以及函数的单调性分析图像.(2)根据互为反函数的两函数间的关系解决问题.解析(1)函数y=2x与y=log2x互为相反数,二者在相应区间上的单调性一致,故排除

y=x对称,故排除D,故C正确.(2)由已知得f(x)=logax(a>0,a≠1),∵f(2)=1,∴loga2=1,∴a=2,∴f(x)=log2x.方法指导解决反函数问题要注意:(1)原函数的定义域与值域分别是反函数的

值域与定义域;(2)若f

-1(x)是f(x)的反函数,则f(a)=b⇔f

-1(b)=a.2|反函数的性质的应用若函数y=f(x)存在反函数,且y=f(x)的图像过点(a,b),则点(b,a)必在其反函数的图像

上;反之,若点(b,a)在其反函数的图像上,则点(a,b)必在原函数的图像上.因此,互为

反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称.(★★☆)已知x1是方程x+lgx=3的根,x2是方程x+10x=3的根,则x1+x2的值是

(

B)解析将已知的两个方程变形得lgx=3-x,10x=3-x.令f(x)=lgx,g(x)=10x,h(x)=3-x.画出它们的图像,如图所示.

记f(x)与h(x)的图像的交点为A(x1,y1),g(x)与h(x)的图像的交点为B(x2,y2),利用函数

的性质易知A、B两点关于直线y=x对称,则