教学内容圆的有关性质

教学内容：圆的有关性质【重点难点提示】重点：圆的有关概念，垂径定理及其推论；圆心角，圆周角、弦切角的概念与性质，圆内接四边形的性质及其应用．难点：综合性较强，给解题造成一定的困难是难点．考点：垂径定理及其推论和与圆有关的角的性质的综合运用．这部分知识约占考量的 2.5％～8％.【经典范例引路】例1（2001年陕西省中考题）已知△ABC内接于⊙O．（1）当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角；（2）有满足（1）的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD；（3）画出符合（1）（2）题意的两种图形，使图形中的 CD＝2cm．解：（1）当点O在AB上时，∠ACB是直角；2）∵∠ACB是直角，∴当CD⊥AB时，△ABC∽△CBD∽△ACD．3）符合条件（1），（2）的两种图形分别如图（1），（2）所示．【解题技巧点拨】综合运用直角三角形被斜边上的高所分得的两个直角三角形与原三角形相似的性质，和与圆有关的角的性质是解答本题的关键．例2如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E．（1）求证：IE=BE；（2）若IE＝4，AE＝8，求DE的长．（2001年陕西省中考题）1（1）证明：连结 BI。∵∠BIE＝∠BAI＋∠ABI＝ 2（∠BAC＋∠ABC），111∠IBE＝∠IBC+∠EBC=2∠ABC+2∠BAC=2（∠ABC＋∠BAC），∴∠BIE=∠IBE，∴IE＝BE．AEBEIE242（2）易证△ABE∽△BDE，∴BE=DE，∴BE2＝AE·DE，∴DE=AE＝8=2．【解题技巧点拨】（1）中必须注意综合运用圆周角的性质和等腰三角形的判定；（ 2）中必须对基本图形关注，由此得到△ABE∽△BDE而求解．【综合能力训练】一、填空题⌒1.如图，已知AB是⊙O的直径，∠BAC=40°，D是AC上的任意一点，那么∠D的度数是 ．2.圆内接四边形 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶5∶4，则∠A= ，∠D＝ 。3.若a是半径为1的圆内接四边形的最短边，则a的变化范围是．4．如图，若AB是⊙O的直径，且AB=10cm，OD＝4cm，则过点D的弦中，最长的弦等于cm，最短的弦等于cm．已知⊙O的直径＝2，过点有两条弦＝，2，那么劣弧⌒的度数为5.ACDAB2cmAC2cmAD=cm。6.顶角A等于40°的等腰△ABC内接于⊙O，D是圆周上一点，则∠ADB＝。7.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB、CD的距离是。若一个梯形内接于圆，有如下四个结论：①它是等腰梯形；②它是直角梯形；③它的对角线互相垂直；④它的对角互补请写出正确结论的序号 。（2001年天津市中考题）二、选择题9.下列命题中，正确的是（ ）A．三点确定一个圆 B．等弦对等弧C．垂直于弦的直线平分这条弦 D．平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦10.如图，⊙O的直径AB＝10cm，弦CD=6cm，那么A、B两点到CD的距离的和是（）A．8cmB．4cmC．10cmD．6cm11.如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．13O°12.（2001年江西中考题）如图，⊙ A、⊙B、⊙两两不相交，且半径都是 0.5cm，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ）A.22C.2212cmB.8cm6cmD.4cm13.（广西2001年中考题）如图，圆内接四边形ABCD中，∠A＝105°，那么∠DCE等于（）A．75°B．105°C．80°D．150°14.（2001年四川中考题）如图，ABCD是⊙0的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD=3∶2，那么∠BOD等于（）A．120° B．136° C．144° D．150°三、解答下列各题：（2001年河南省中考题）如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，⊙O过点A且与BC相切于点D，与AB、AC分别相交于E、F，AD与EF相交于G，求证：AF·FC＝GF·DG．16.（2001年河南省中考题）如图，⊙O 的两条割线 AB、AC分别交⊙O于D、B、E、C，弦DF∥AC交BC于G。1）求证：AC·FG＝BC·CG；2）若CF＝AE，求证：△ABC为等腰三角形．（2001年甘肃省中考题）如图⊙O与⊙A相交于C、D两点，A点在⊙O上，过A点的直线与CD、⊙A、⊙O分别交于F、E、B．求证：AE2＝AF·AB．（2001年大连市中考题）如图AD、BC是⊙O的两条弦，AD＝BC．求证：AB＝CD．（2001年四川省中考题）已知，如图AB为⊙O的直径，AC为弦，CD⊥AB于D，若AE＝AC，BE交⊙O于点F，连结CF、DE．2求证：（1）AE＝AD·AB；（2）∠ACF=∠AED。（2001年南昌市中考题）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连结AE、EF。（1）求证：AE是∠BAC的平分线；（2）若∠ABD＝60°，问 AB与EF是否平行？【创新思维训练】21.（2001年扬州市中考题）如图在⊙O 中，圆心角∠AOB＝120°，弦 AB＝2 3cm．（1）求⊙O半径r；⌒（2）求劣弧 AB的长.（结果保留π。）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AB＝2，AC=2，在图中画出弦AD，使AD=1，并求出∠CAD的度数．⌒23.（2001年南通市中考题）如图，已知△

ABC

内接于⊙O，点

E在BC

上，AE交BC于D，EB2＝ED·EA，经过B、C两点的圆弧交 AE于点（1）求证：△ABE～△BDE；

I。AB AE2）如果BI平分∠ABC，求证：BD＝EI；3）设⊙O的半径为5，BC＝8，∠BDE＝45°，求AD的长．参考答案【综合能力训练】一、1.130°2.60°,30°3.0<a≤24.10cm,6cm5.30°或150°6.110°或70°7.7cm或1cm8.①④二、9.D10.A11.D12.B13.B14.C三、15.连结DF，证△AFG∽△DCF16.连结CF，证△ABC∽△CFG（2）连DE。⌒⌒17.证△ACF∽△ABC连