解答数学“大问题”证明费马大定理的故事

第页解答数学“大问题〞——证明费马大定理的故事为了寻求费马大定理的解答,三个多世纪以来,一代又一代的数学家们前赴后继,却壮志未酬。2019年,美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战,用130页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。费马大定理提出的问题非常简单,它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理——来表达的。2019多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X^2＋Y^2=Z^2。大约在公元1637年前后,当费马在研究毕达哥拉斯方程时,他写下一个方程,非常类似于毕达哥拉斯方程：X^n＋Y^n=Z^n,当n大于2时,这个方程没有任何整数解。费马在?算术?这本书的靠近问题8的页边处记下这个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此,我确信已发现一个美妙的证法,这里的空白太小,写不下。〞这就是数学史上著名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了一个数学史上最深奥的谜。大问题在物理学、化学或生物学中,还没有任何问题可以表达得如此简单和清晰,却长久不解。E·T·贝尔(EricTempleBell)在他的?大问题?(TheLastProblem)一书中写到,文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成为数论中最值得为之奋斗的事。安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥,父亲是一位工程学教授。少年时代的怀尔斯已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目,我把它们带回家,编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。〞一天,小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书,这本书只有一个问题而没有解答,怀尔斯被吸引住了。这就是E·T·贝尔写的?大问题?。它表达了费马大定理的历史,这个定理让一个又一个的数学家望而生畏,在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆起被引向费马大定理时的感觉：“它看上去如此简单,但历史上所有的大数学家都未能解决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题,从那个时刻起,我知道我永远不会放弃它。我必须解决它。〞怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位,之后进入剑桥大学Clare学院做博士。在研究生阶段,怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能带来的问题是：你花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(JohnCoates)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论,我开始跟随他工作。〞科茨说：“我记得一位同事告诉我,他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学生,他催促我收其为学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看,他也有很深刻的思想,非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然,任何研究生在那个阶段直接开始研究费马大定理是不可能的,即使对资历很深的数学家来说,它也太困难了。〞科茨的责任是为怀尔斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然,不能保证它一定是一个富有成果的研究方向,但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事是使用他的常识、他对好领域的直觉。然后,学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。〞科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的一个转折点,椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。孤独的战士1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学,并成为这所大学的教授。在科茨的指导下,怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程,他已经成为一个著名的数论学家,但他清楚地意识到,即使以他广博的根底知识和数学修养,证明费马大定理的任务也是极为艰巨的。在怀尔斯的费马大定理的证明中,核心是证明“谷山－志村猜测〞,该猜测在两个非常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个黄昏,我正在一个朋友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我,肯·里贝特已经证明了谷山－志村猜测与费马大定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻,那个改变我生命历程的时刻,因为这意味着为了证明费马大定理,我必须做的一切就是证明谷山－志村猜测……我十分清楚我应该回家去研究谷山－志村猜测。〞怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。20世纪初,有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理,他答复说：“在开始着手之前,我必须用3年的时间作深入的研究,而我没有那么多的时间浪费在一件可能会失败的事情上。〞怀尔斯知道,为了找到证明,他必须全身心地投入到这个问题中,但是与希尔伯特不一样,他愿意冒这个风险。怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中,除非你的专心不被他人分散,而这一点会因旁观者太多而做不到。〞怀尔斯放弃了所有与证明费马大定理无直接关系的工作,任何时候只要可能他就回到家里工作,在家里的顶楼书房里他开始了通过谷山－志村猜测来证明费马大定理的战斗。这是一场长达7年的持久战,这期间只有他的妻子知道他在证明费马大定理。欢呼与等待经过7年的努力,怀尔斯完成了谷山－志村猜测的证明。作为一个结果,他也证明了费马大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底,有一个重要的会议要在剑桥大学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定利用这个时机向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡,他曾经是那里的一名研究生。1993年6月23日,牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆听了这一演讲,但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风声,很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头,研究所所长肯定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时,会场上保持着特别庄重的寂静,当我写完费马大定理的证明时,我说：‘我想我就在这里结束’,会场上爆发出一阵持久的鼓掌声。〞?纽约时报?在头版以?终于欢呼“我发现了!〞,久远的数学之谜获解?为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之间,怀尔斯成为世界上最著名的数学家,也是唯一的数学家。?人物?杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者〞。最有创意的赞美来自一家国际制衣大公司,他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模特。当怀尔斯成为媒体报道的中心时,认真核对这个证明的工作也在进行。科学的程序要求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物,然后这个刊物的编辑将它送交一组审稿人,审稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到?数学创造?,整整一个夏天他焦急地等待审稿人的意见,并祈求能得到他们的祝福。可是,证明的一个缺陷被发现了。我的心灵归于平静由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法,编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定2－3个审稿人,而是6个审稿人。200页的证明被分成6章,每位审稿人负责其中一章。怀尔斯在此期间中断了他的工作,以处理审稿人在电子邮件中提出的问题,他自信这些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章,1993年8月23日,他发现了证明中的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可疑心地证明他的方法中的每一步都行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题,补救的方法可能就在近旁,可是6个多月过去了,错误仍未改正,怀尔斯面临绝境,他准备成认失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情况,萨克向他暗示困难的一局部在于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的人。经过长时间的考虑后,怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作.泰勒1994年1月份到普林斯顿,可是到了9月,依然没有结果,他们准备放弃了。泰勒鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日,一个星期一的早晨,怀尔斯发现了问题的答案,他表达了这一时刻：“突然间,不可思议地,我有了一个难以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻,我不会再有这样的经历……它的美是如此地难以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我到系里转了一圈,又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。〞这是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极,怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世界不再疑心这一次的证明了。这两篇论文总共有130页,是历史上核查得最彻底的数学稿件,它们发表在2019年5月的?数学年刊?上。怀尔斯再一次出现在?纽约时报?的头版上,标题是?数学家称经典之谜已解决?。约翰·科茨说：“用数学的术语来说,这个最终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比,对费马大定理的证明是人类智力活动的一曲凯歌,同时,不能无视的事实是它一下子就使数学发