新教材2021-2022学年高一数学北师大版必修第一册学案第6章331从频数到频率32频率分布直方图word版含解析

§3用样本估计总体分布3.1从频数到频率3.2频率分布直方图学习目标核心素养1．掌握利用频数和频率估计样本和总体的特征．(重点)2．理解频数与频率的区别和联系．(难点、易混点)3．学会用频率分布表，画频率分布直方图表示样本数据．(重点)4．能通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计．(难点、易混点)1．通过对统计图表的识图和读图，培养直观想象素养．2．通过对频率分布直方图画法的学习，培养数据分析素养．3．通过与频率分布直方图有关的计算，培养数学运算素养.1．频率与频数有什么关系？2．绘制频率分布直方图的步骤是什么？3．频率分布直方图有哪些特征？4．如何绘制频率折线图？知识点1从频数到频率1．频率的定义频率表示频数与总数的比值，能更好地反映样本和总体的相应特征．2．频率的意义频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数．在实际问题中，如果总体容量比较小，频数也可以较客观地反映总体分布；当总体容量较大时，频率就更能客观地反映总体分布．3．频率的作用在统计中，经常要用样本数据的频率，去估计总体中相应的频率，即对总体分布进行估计．知识点2频率分布直方图1．频率分布直方图频率分布直方图中每个矩形的底边长是该组的组距，矩形的高是该组的频率与组距的比，从而矩形的面积等于这个组的频率，即矩形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率．我们把这样的图叫作频率分布直方图．频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小．2．频率分布直方图的应用当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用相应矩形面积之和来表示．3．画频率分布直方图的步骤(1)计算极差：即一组数据中最大值和最小值的差；(2)确定组距与组数：当数据在120个以内时，通常按照数据的多少分成5～12组，在实际操作中，一般要求各组的组距相等．(3)分组：按组距将数据分组，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间．(4)列表：一般分四列：宽度分组、频数、频率、eq\f(频率,组距).其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.(5)画频率分布直方图：画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示eq\f(频率,组距)，其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积．即每个小长方形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率．4．频率折线图在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．有时也用它来估计总体的分布情况．随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线．(1)为什么需要用频率分布直方图对原始数据进行整理？(2)为什么要对样本数据进行分组？[提示](1)因为通过抽样获得的原始数据多而且杂乱，无法直接从中理解它们的含义，并提取信息，也不便于我们用它来传递信息．正因为如此我们才用频率分布直方图来整理数据．(2)不分组很难看出样本中的数字所包含的信息，分组后，计算出频率，从而估计总体的分布特征．1.在某次数学考试中，高一(1)班的50名同学中有4名同学的成绩不及格，那么该班的及格率为()A．0.08 B．0.04C．0.92 D．0.46C[由题意，该班的及格率为eq\f(50－4,50)＝0.92.]2.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15,20]内的频数为()A．20 B．30C．40 D．50B[样本数据落在[15,20]内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.]类型1统计图表中的频率的计算【例1】某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．下图是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题：(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？[解](1)由题图知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)．即该校对50名学生进行了抽样调查．(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，eq\f(18,50)×100%＝36%.即最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%.条形图和扇形统计图的视图方法(1)条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的矩形条，然后把这些矩形条按照一定的顺序排列起来．其特点是便于看出和比较各种数量的多少，即条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．(2)扇形统计图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各部分所占总数的百分数．总之，用统计图来表示数量关系更生动形象、具体，使人一目了然．eq\a\vs4\al([跟进训练])1.如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为()A．250 B．150C．400 D．300A[甲组人数是120，占30%，则总人数是eq\f(120,30%)＝400.则乙组人数是400×7.5%＝30，则丙、丁两组人数和为400－120－30＝250.]类型2画频率分布直方图和频率折线图【例2】为了了解某片经济林的生长情况，随机测量其中的100棵树的底部周长，得到如下数据(单位：cm)：135981021109912111096100103125971171131109210210910411210912487131971021231041041281051231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图及频率折线图；(3)估计该片经济林中底部周长小于100cm的树占多少，底部周长不小于120cm的树占多少．[解](1)这组数据的最大的数为135，最小的数为80，最大的数与最小的数的差为55，可将该组数据分为11组，组距为5.频率分布表如下：底部周长分组频数频率eq\f(频率,组距)[80,85)10.010.002[85,90)20.020.004[90,95)40.040.008[95,100)140.140.028[100,105)240.240.048[105,110)150.150.030[110,115)120.120.024[115,120)90.090.018[120,125)110.110.022[125,130)60.060.012[130,135]20.020.004(2)频率分布直方图和频率折线图如下图所示．(3)从频率分布表得，样本中底部周长小于100cm的频率为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，样本中底部周长不小于120cm的频率为0.11＋0.06＋0.02＝0.19.所以估计该片经济林中底部周长小于100cm的树占21%，底部周长不小于120cm的树占19%.绘制频率分布直方图应注意的2个问题(1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高．一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“频率/组距”所占的比例来定高．如我们预先设定以“”为一个单位长度，代表“0.1”，则若一个组的eq\f(频率,组距)为0.2，则该小矩形的高就是“”(占两个单位长度)，如此类推．(2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～100个左右时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1.eq\a\vs4\al([跟进训练])2．为考察某校高二年级男生的身高，随机抽取40名高二男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170160168174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161(1)作出频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图．[解](1)最低身高151，最高身高180，它们的极差为180－151＝29.确定组距为3，组数为10，列表如下：分组频数频率[150.5,153.5)10.025[153.5,156.5)10.025[156.5,159.5)40.1[159.5,162.5)50.125[162.5,165.5)80.2[165.5,168.5)110.275[168.5,171.5)60.15[171.5,174.5)20.05[174.5,177.5)10.025[177.5,180.5]10.025合计401(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．类型3频率分布直方图的应用【例3】为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？[解](1)第二小组的频率为eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.又因为第二小组的频率＝eq\f(第二小组的频数,样本容量)，所以样本容量＝eq\f(第二小组的频数,第二小组的频率)＝eq\f(12,0.08)＝150.(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.频率分布直方图的性质(1)因为小矩形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.(3)样本容量＝eq\f(频数,相应的频率).eq\a\vs4\al([跟进训练])3．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A．56 B．60C．120 D．140D[由频率分布直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.故选D.]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．()(2)频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数．()(3)频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1.()[提示](1)正确．(2)错误．频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的频率．(3)正确．[答案](1)√(2)×(3)√2．把过期的药品随意丢弃，会造成对土壤和水体的污染，危害人们的健康．如何处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图，其中对过期药品处理不正确的家庭达到()A．79% B．80%C．18% D．82%D[79%＋1%＋2%＝82%.]3．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A．6 B．8C．12 D．18C[志愿者的总人数为eq\f(20,0.24＋0.16×1)＝50，所以第三组人数为50×0.36×1＝18，所以有疗效的人数为18－6＝12.]4．某学校对本校同学阅读过的中国古典名著做了调查，利用所得数据制作了如图所示的条形图，则阅读过《三国演义》的人数的频率是________．