奥数：火车过桥

火车过桥/一、火车过桥四大类问题1、火车+树（电线杆）：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，:解法：火车车长（总路程）=火车速度X通过时间；I2、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，；解法：火车车长+桥（隧道）长度（总路程）=火车速度X通过的时间；I3、火车+人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，（1）、火车+迎面行走的人：相当于相遇问题，!解法：火车车长（总路程）二（火车速度+人的速度）X迎面错过的时间；1（2）火车+同向行走的人：相当于追及问题，I解法：火车车长（总路程）二（火车速度-人的速度）X追及的时间；I（3）火车+坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题:解法：火车车长（总路程）=（火车速度人的速度）X迎面错过的时间（追及的时间）;4、火车+火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，!（1）错车问题：相当于相遇问题，1解法：快车车长+慢车车长（总路程）二（快车速度+慢车速度）X错车时间；I（2）超车问题：相当于追及问题，；解法：快车车长+慢车车长（总路程）二（快车速度-慢车速度）X错车时间；二、火车过桥四类问题图示长度速度火车车长车速队伍队伍长（间隔，植树问题）队速长度速度方向长度速度火车车长车速队伍队伍长（间隔，植树问题）队速长度速度方向树无无无桥桥长无无人无人速同向反向车车长车速同向反向【分析】火车穿越隧道经过的路程为300+150=450（米），已知火车的速度，那么火车穿越隧道所需时间为450+18=25（秒）.【精英】小胖用两个秒表测一列火车的车速.他发现这列火车通过一座660米的大桥需要40秒，以同样速度从他身边开过需要10秒，请你根据小胖提供的数据算出火车的车身长是米.【分析】火车40秒走过的路程是660米+车身长，火车10秒走过一个车身长，则火车30秒走660米，所以火车车长为660+3=220（米）.例题2例题2【提高】四、五、六3个年级各有100名学生去春游，都分成2列（竖排）并列行进.四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别是1米、2米、3米，年级之间相距5米.他们每分钟都行走90米，整个队伍通过某座桥用4分钟，那么这座桥长米.【分析】100名学生分成2列，每列50人，应该产生49个间距，所以队伍长为49x1+49x2+49x3+5x2=304（米），那么桥长为90x4-304=56（米）.【精英】一个车队以5米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用145秒.已知每辆车长5米，两车间隔8米.问：这个车队共有多少辆车？【分析】由“路程=时间X速度”可求出车队145秒行的路程为5X145=725（米），故车队长度为725-200=525（米）.再由植树问题可得车队共有车（525-5）《（5+8）+1=41（辆）.【提高】一列火车通过一座长540米的大桥需要35秒.以同样的速度通过一座846米的大桥需要53秒.这列火车的速度是多少？车身长多少米？【分析】火车用35秒走了——540米+车长；53秒走了——846米+车长，根据差不变的原则火车速度是：（846-540）+（53-35）=17（米/秒），车身长是：17x35-540=55（米）.【精英】一列火车通过长320米的隧道，用了52秒，当它通过长864米的大桥时，速度比通过隧道时提高0.25倍，结果用了1分36秒.求通过大桥时的速度及车身的长度.【分析】速度提高0.25倍用时96秒，如果以原速行驶，则用时96X（1+0.25）=120秒，（864-320）小（120-52）=8米/秒，车身长：52X8-320=96米.

【拓展1】已知某铁路桥长960米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用100秒，整列火车完全在桥上的时间为60秒，求火车的速度和长度？【分析】完全在桥上，60秒钟火车所走的路程=桥长一车长；通过桥，100秒火车走的路程=桥长+车长，由和差关系可得：火车速度为960x2J100+60）=12（米/秒），火车长：960-12x60=240（米）.【拓展2】一列火车的长度是800米，行驶速度为每小时60千米，铁路上有两座隧洞.火车通过第一个隧洞用2分钟；通过第二个隧洞用3分钟；通过这两座隧洞共用6分钟，求两座隧洞之间相距多少米？【分析】注意单位换算.火车速度60X1000^60=1000（米/分钟）.第一个隧洞长1000X2-800=1200（米），第二个隧洞长1000X3-800=2200（米）,两个隧洞相距1000X6-1200-2200-800=1800（米）.【拓展3】小明坐在火车的窗口位置，火车从大桥的南端驶向北端，小明测得共用时间80秒.爸爸问小明这座桥有多长，于是小明马上从铁路旁的某一根电线杆计时，到第10根电线杆用时25秒.根据路旁每两根电线杆的间隔为50米，小明算出了大桥的长度.请你算一算，大桥的长为多少米？【分析】从第1根电线杆到第10根电线杆的距离为：50x（10-1）=450（米），火车速度为：450:25=18（米/秒），大桥的长为：18x80=1440（米）.例题4例题4【提高】两列火车相向而行，甲车每时行48千米，乙车每时行60千米，两车错车时，甲车上一乘客从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗共用13秒.问：乙车全长多少米？【分析】390米.提示：乙车的全长等于甲、乙两车13秒走的路程之和.【精英】一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米.坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？【分析】8秒.提示:快车上的人看见慢车的速度与慢车上的人看见快车的速度相同，所以两车的车长比等280于两车经过对方的时间比，故所求时间为11x法=8（秒）385例题5例题5【提高】铁路旁边有一条小路，一列长为110米的火车以30千米/时的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民.问军人与农民何时相遇？【分析】8点30分.火车每分行30x1000-60=500（米）一.一，1、1军人每分行500x--110;-V4J14=60（米），农民每分行［110-500一.一，1、1军人每分行500x--110;-V4J8点时军人与农民相距（500+50）X6=3300（米），两人相遇还需3300^（60+50）=30（分）,即8点30分两人相遇.【精英】铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？【分析】行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒.火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差.如果设火车的速度为x米/秒，

那么火车的车身长度可表示为（x-1）X22或（x-3）X26，由此不难列出方程.法一：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得（x-1）X22=（x-3）X26.解得x=14.所以火车的车身长为：（14-1）X22=286（米）.法二：直接设火车的车长是x,那么等量关系就在于火车的速度上.可得：x/26+3=x/22+1，这样直接也可以x=286米法三：既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决.两次的追及时间比是：22：26=11:13,所以可得：（V车-1）：（V车-3）=13：11,可得V车=14米/秒，所以火车的车长是（14-1）X22=286（米），这列火车的车身总长为286米.【拓展4】甲、乙两辆汽车在与铁路并行的道路上相向而行，一列长180米的火车以60千米/时的速度与甲车同向前进，火车从追上甲车到遇到乙车，相隔5分钟，若火车从追上到超过甲车用时30秒.从与乙车相遇到离开用时6秒，求乙车遇到火车后再过多少分钟与甲车相遇？【分析】由火车与甲、乙两车的错车时间可知，甲车速度为60-180+30x3.6=38.4千米/时.乙车速度为180+6x3.6-60=48千米/时，火车追上甲车时，甲、乙两车相距（60+48）^5=9千米.经过609^（38.4+48）x60=6.2分钟相遇，那么乙车遇到火车后1.25分钟与甲车相遇【拓展5】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分步行60米，队尾的王老师以每分行150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分.求队伍的长度.x一一一一一-【分析】630米.设队伍长为x米.从队尾到排头是追及问题，需胃基分；从排头返回队尾是相遇问题，150-60x150+60分.由xx1150-x150+60分.由xx1150-60150+60=10，解得x=630米【拓展6】甲、乙两人在铁路旁边以同样的速度沿铁路方向相向而行，恰好有一列火车开来，整个火车经过甲身边用了18秒，2分后又用15秒从乙身边开过.问：（1）火车速度是甲的速度的几倍？（2）火车经过乙身边后，甲、乙二人还需要多少时间才能相遇？【分析】（1）11倍；（2）11分15秒.（1）设火车速度为a米/秒，行人速度为b米/秒，则由火车的长度可列方程18（a-b）=15（a+b），求出?=11，即火车的速度是行人速度的11倍；从车尾经过甲b到车尾经过乙，火车走了135秒，此段路程一人走需1350X11=1485（秒），因为甲已经走了135秒，所以剩下的路程两人走还需（1485-135）《2=675（秒）.牛例题6【提高】快车A车长120米，车速是20米/秒，慢车B车长140米，车速是16米/秒.慢车B在前面行驶，快车A从后面追上到完全超过需要多少时间？【分析】从“追上”到“超过”就是一个“追及”过程，比较两个车头,“追上”时A落后B的车身长，“超过”时A领先B（领先A车身长），也就是说从“追上”到“超过”，A的车头比B的车头多走的路程是：B的车长+A的车长，因此追及所需时间是：（A的车长+B的车长）；（A的车速-B的车速）.由此可得到，追及时间为:（A车长+B车长）-（A车速-B车速）=（120+140）+（20-16）=65（秒）.【精英】快车长106米，慢车长74米，两车同向而行，快车追上慢车后，又经过1分钟才超过慢车；如果相向而行，车头相接后经过12秒两车完全离开.求两列火车的速度.【分析】根据题目的条件，可求出快车与慢车的速度差和速度和，再利用和差问题的解法求出快车与慢车的速度.两列火车的长度之和：106+74=180（米）快车与慢车的速度之差：180^60=3（米）快车与慢车的速度之和：180—12=15（米）快车的速度:（15+3）《2=9（米）慢车的速度:（15-3）

4-2=6（米）【拓展7】从北京开往广州的列车长350米，每秒钟行驶22米，从广州开往北京的列车长280米，每秒钟行驶20米，两车在途中相遇，从车头相遇到车尾离开需要多少秒钟？【分析】从两车车头相遇到车尾离开时，两车行驶的全路程就是这两列火车车身长度之和.解答方法是：（A的车身长+B的车身长）+（A的车速+B的车速）=两车从车头相遇到车尾离开的时间也可以这样想，把两列火车的车尾看作两个运动物体，从相距630米（两列火车本身长度之和）的两地相向而行，又知各自的速度，求相遇时间.两车车头相遇时，两车车尾相距的距离：350+280=630（米）两车的速度和为：22+20=42（米/秒）；从车头相遇到车尾离开需要的时间为：630+42=15（秒）.综合列式：（350+280）+（22+20）=15（秒）.【提高】【精英】有两列同方向行驶的火车，快车每秒行33米，慢车每秒行21米.如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行25秒后快车超过慢车.那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？快车慢车慢车慢车慢车快车快车快车快车慢车慢车慢车慢车快车快车快车【分析】如图，如从车头对齐算，那么超车距离为快车车长，为：（33-21）x20=240（米）；如从车尾对齐算，那么超车距离为慢车车长，为（33-21）x25=300（米）.由上可知，两车错车时间为：（300+240）+（33+21）=10（秒）.【拓展8】甲乙两列火车，甲车每秒行22米，乙车每秒行16米，若两车齐头并进，则甲车行30秒超过乙车;若两车齐尾并进，则甲车行26秒超过乙车.求两车各长多少米？【分析】两车齐头并进：甲车超过乙车，那么甲车要比乙车多行了一个甲车的长度.每秒甲车比乙车多行22-16=6米，30秒超过说明甲车长6X30=180米.两车齐尾并进：甲超过乙车需要比乙车多行一整个乙车的长度，那么乙车的长度等于6X26=156米.【拓展9】铁路货运调度站有A、B两个信号灯，在灯旁停靠着甲、乙、丙三列火车.它们的车长正好构成一个等差数列，其中乙车的的车长居中，最开始的时候，甲、丙两车车尾对齐，且车尾正好位于A信号灯处，而车头则冲着B信号灯的方向.乙车的车尾则位于B信号灯处，车头则冲着A的方向.现在，三列火车同时出发向前行驶，10秒之后三列火车的车头恰好相遇.再过15秒，甲车恰好超过丙车，而丙车也正好完全和乙车错开，请问：甲乙两车从车头相遇直至完全错开一共用了几秒钟？【分析】8.75秒例题8【提高】某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？例题8【分析】根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：7200043600=20（米/秒），某列车的速度为：（250-210）4（25-23）=4042=20（米/秒）某列车的车长为：20X25-250=500-250=250（米）,两列车的错车时间为：（250+150）4（20+20）=400440=10（秒）.

【精英】在双轨铁道上，速度为54千米/小时的货车10时到达铁桥，10时1分24秒完全通过铁桥，后来一列速度为72千米/小时的列车，10时12分到达铁桥，10时12分53秒完全通过铁桥，10时48分56秒列车完全超过在前面行使的货车.求货车、列车和铁桥的长度各是多少米？【分析】先统一单位：54千米/小时=15米/秒，72千米/小时=20米/秒，1分24秒=84秒，48分56秒-12分=36分56秒=2216秒.货车的过桥路程等于货车与铁桥的长度之和，为：15x84=1260（米）；列车的过桥路程等于列车与铁桥的长度之和，为：20x53=1060（米）.考虑列车与货车的追及问题，货车10时到达铁桥，列车10时12分到达铁桥，在列车到达铁桥时,货车已向前行进了12分钟（720秒），从这一刻开始列车开始追赶货车，经过2216秒的时间完全超过货车，这一过程中追及的路程为货车12分钟走的路程加上列车的车长，所以列车的长度为（20-15）x2216-15x720=280（米），那么铁桥的长度为1060-280=780（米），货车的长度为1260-780=480（米）.【补充1】马路上有一辆车身长为15米的公共汽车由东向西行驶，车速为每小时18千米.马路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑.某一时刻，汽车追上了甲,6秒钟后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了2秒钟汽车离开了乙.问再过多少秒以后甲、乙两人相遇？VJ-砰甲甲走32秒甲走6秒车走30秒*■*"*一车走6秒—*乙乙走甲乙二人的2秒间隔距离【分析】车速为每秒:18x1000-3600=5（米），由“某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟后汽车离开了甲”,可知这是一个追及过程，追及路程为汽车的长度，所以甲的速度为每秒：（5x6-15）；6=2.5（米）；而汽车与乙是一个相遇的过程，相遇路程也是汽车的长度，所以乙的速度为每秒：（15-5x2）;2=2.5（米）.汽车离开乙时，甲、乙两人之间相距：（5-2.5）x（0.5x60+2）=80（米），甲、乙相遇时间：80+（2.5J-砰甲甲走32秒甲走6秒【分析】车速为每秒:【补充2】甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇？【分析】火车开过甲身边用8秒钟，这个过程为追及问题：火车长=（V车-V人）X8；火车开过乙身边用7秒钟，这个过程为相遇问题火车长=（V车+V人）X7.可得8（V车一V人）=7（V车+V人），所以V车=l5V人.甲乙二人的间隔是：车走308秒的路一人走308秒的路，由车速是人速的15倍，所以甲乙二人间隔15X308-308=14X308秒人走的路.两人相遇再除以2倍的人速.所以得到7X308秒=2156秒.

一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了1分钟，求这座桥长多少米？【分析】火车过桥时间为1分钟=60秒，所走路程为桥长加上火车长为60x30=1800（米），即桥长为1800-240=1560（米）.小红站在铁路旁，一列火车从她身边开过用了21秒.这列火车长630米，以同样的速度通过一座大桥，用了1.5分钟.这座大桥长多少米？【分析】因为小红站在铁路旁边没动，因此这列火车从她身边开过所行的路程就是车长，所以，这列火车的速度为：630—21=30（米/秒）,大桥的长度为：30X（1.5X60）630=2070（米）.练习3一列火车长450米，铁路沿线的绿化带每两棵树之间相隔3米,这列火车从车头到第1棵树到车尾离开第101棵树用了0.5分钟.这列火车每分钟行多少米？【分析】第1棵树到第101棵树之间共有100个间隔，所以第1棵树与第101棵树相距3x100=300（米），火车经过的总路程为：450+300=750（米），这列火车每分钟行750+0.5=1500（米）.「,练习4一列火车长200米，通过一条长430米的隧道用了42秒，这列火车以同样的速度通过某站台用了25秒钟，那么这个站台长多少米？【分析】火车速度为：（200+430）+42=15（米/秒），通过某站台行进的路程为：15x25=375（米），已知火车长，所以站台长为375-200=175（米）.练习5小新以每分钟10米的速度沿铁道边小路行走，⑴身后一辆火车以每分钟100米的速度超过他,从车头追上小新到车尾离开共用时4秒，那么车长多少米?

⑵过了一会，另一辆货车以每分钟100米的速度迎面开来，从与小新相遇到离开，共用时3秒.那么车长是多少？【分析】⑴这是一个追击过程，把小新看作只有速度而没有车身长（长度是零）的火车.根据前面分析过的追及问题的基本关系式：（A的车身长+B的车身长）；（A的车速-B的车速）=从车头追上到车尾离开的时间，在这里，B的车身长车长（也就是小新）为0，所以车长为：（100-10）x4=360（米）；⑵这是一个相遇错车的过程，还是把小新看作只有速度而没有车身长（长度是零）的火车.根据相遇问