求数列通项公式的方法(教案例题习题)

21nS,(S,(2)1nn21nS,(S,(2)1nnn13f(n)求,((求数列的项公式的方1.义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例1等差数列，前和为，且a,a成等比数列，．求数nn195列式n解：设数d(d0)n∵,a成等比数列，∴19

a，9即ad1

2

aad)d1

2

d1∵0∴……………①5∵25a)2…………②5533由①②得：，d533∴a55点评：利用义法求数列通项时要注意不用错定义设法求出首项与公（公比）后再写出通项。11练一练知数3,5,9,试写出其一个通项公式：__________；416322.式法：已（f()，用作差法1。n1nn例2已知数列和S满足S．求数列式。nnn解：由aa111当

时，有

2()nnnaa

,

……，

a2a2.12经验证a满足上式，所以[23

n

n

]点评：利用式a

n

求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．练一练①已知{}的n项和满log；n2n5②{}满S，求；nn3.商法：a1

naf(，用作商法n

。如{}a对所有nann114.加法：精心整理

，aa______；35

nnnnnn1nn1n11精nnnnnn1nn1n11f()a)a))(n。nnnnnn11例已知数列a满足，a，求。22解：由条件知：

n

n

n

2

11(n分别令1,2,3,得(n个等式累加之，即a)a22n1所以a1n1113，222n

n

如知数{}n

满足1

ann

1n

(2)

，aa5.乘法：知()，用累乘法nann2例已知数列a满足，aa，求a。3

a。a1解由条件知分别令n式n累乘之，即又a1

22，3n如知数{}a，n项，若2a，n1nn6.知递推关求a，用构造法（构造等差、等比数列n（1）如ka（k,为常数）的递推数列都可以用待系数法化为公比nnn为的等比数列后，再a。①ann

法把原递推公式转化为：

n

p(a)，tn

q1

，再利用换元法转化为等比数列求解。例5.已知数，n

n

a，求.n解：设递推公式

n

2a可以转化为n

n

a)即na

n

t.故推公式为n

n

,令a，则nnbab,且bn精心整理

qnn1nnnnnnnnnnnnn精心整理qnn1nnnnnnnnnnnnn所为首项，2为比的等比数列，则n

2

,所以a2

.②akan

n

n

解法：该类型较类3复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以n，得：

apa1nnqq

引入辅助数列nn

aq

nn

p1得：bn

再应用kann

的方法解决

。5例已知数列a中，,a)n，求a。6112解：在)两边乘以2n得：2(23

n

)n令2

2，则b,应用例7法得b2()33

nb所以a3()n)23

n练一练已，a；1n②aaan，；1a（2）如a的递推数列都可以用倒数法求通项。n例7nn

a1解：取倒数：

13naaann1等差数列

1naan

1n练一练已知数列满a，a1n

an

，；数列通项式课后练习1已知数a＝６，an

+1=2(a+1)（n∈N

）求数式。n2已知数0,且a＝３，nn

n

＝＋１（n∈N）n3已知数＝３，n

＝a＋１（n∈N

）求数式n4已知数＝１，n1

＝3a＋２，求数式5已知数０，a＝，a＝1n

a