二节相似矩阵

二节相似矩阵第一页，共二十页，2022年，8月28日一、相似矩阵的概念和性质定义4.2设A,B为n阶矩阵。如果存在一个n阶可逆矩阵P,使得(4.7)则称矩阵A与B相似，记作“相似”是矩阵间的一种关系，它具有如下性质：(1)反身性：对任意方阵A,都有。因为(2)对称性：若，则。因(3)传递性：若，则第二页，共二十页，2022年，8月28日相似矩阵的特征值相同。相似矩阵具有如下重要性质：性质1性质2若，且A可逆，则B也可逆，且性质3若，则，其中m是正整数。性质4性质6性质5相似矩阵的行列式相等。相似矩阵的秩相等。相似矩阵的迹相等。第三页，共二十页，2022年，8月28日例2已知矩阵如果A与B相似，求x,y的值。解法1因为，所以A,B有相同的行列式和迹。于是tr(A)=tr(B),即①又可得解得代入①得第四页，共二十页，2022年，8月28日解法2相似矩阵有相当的特征多项式。由有即计算两个行列式，得到比较等式两边同次幂的系数，得解得第五页，共二十页，2022年，8月28日二、矩阵可相似对角化的条件如果矩阵A可以与一个对角矩阵相似，则称矩阵A可相似对角化(可对角化)。定理4.7

n阶矩阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。推论若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则矩阵A可与对角矩阵相似。第六页，共二十页，2022年，8月28日例3在4.1例6中，我们已经求得矩阵的特征值对应的线性无关的特征向量为而特征值对应的特征向量为且线性无关。第七页，共二十页，2022年，8月28日令则例4设矩阵判断A是否可对角化？解矩阵A的特征多项式第八页，共二十页，2022年，8月28日(第2、3列加到第1列上)由此得A的特征值第九页，共二十页，2022年，8月28日对于特征值解齐次线性方程组得A的对应于的一个特征向量对于特征值解齐次线性方程组可得其基础解系由于2是A的二重特征值，对应于的特征向量仅有一个。对于矩阵A，不能求出三个线性无关的特征向量，因此A不能相似对角化。第十页，共二十页，2022年，8月28日定理4.8

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A的每一个重特征值特征矩阵的秩为例5判断下列矩阵A是否相似于对角矩阵，如能，则求出P，使解由于第十一页，共二十页，2022年，8月28日可得A的特征值为(三重)。对于，齐次线性方程组的系数矩阵因此A不可相似对角化。可以看出：所以齐次线性方程组的基础解系含有2个线性无关的向量。第十二页，共二十页，2022年，8月28日(2)A的特征多项式因此，A

的特征值为(二重)，对于解齐次线性方程组可求得其基础解系为对于解齐次线性方程组第十三页，共二十页，2022年，8月28日可求得基础解系为由于A有三个线性无关的特征向量，故A可对角化。令则第十四页，共二十页，2022年，8月28日例6设试问A是否可与对角矩阵相似，并求解A的特征多项式所以A的特征值为(二重)。第十五页，共二十页，2022年，8月28日对于，解齐次线性方程组可得基础解系对于，解齐次线性方程组可得基础解系由于A有三个线性无关的特征向量，故A可与对角矩阵相似。令第十六页，共二十页，2022年，8月28日则所以由此得易求因此第十七页，共二十页，2022年，8月28日例7设矩阵的特征方程有一个一个二重根，求的值，并讨论A是否可相似对角化。解矩阵A的特征多项式第十八页，共二十页，2022年，8月28日若是特征方程的二重根，则有解得当时，A的特征值为2,2,6，矩阵的秩为1，第十九页，共二十页，2022年，8月28日故对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化。若不是特征方程的二重根，则