中心极限定理

中心极限定理第一页，共五十七页，2022年，8月28日§4.1特征函数定义

设X是一随机变量，称

(t)=E(eitX)

为X的特征函数.(必定存在)注意：是虚数单位.第二页，共五十七页，2022年，8月28日注意点(1)(1)当X为离散随机变量时，(2)当X为连续随机变量时，第三页，共五十七页，2022年，8月28日特征函数的计算中用到：注意点(2)欧拉公式：第四页，共五十七页，2022年，8月28日常用分布的特征函数1）单点分布：2）Poisson分布：3）二项分布：4）正态分布：第五页，共五十七页，2022年，8月28日

性质

特征函数的性质|(t)|(0)=1

性质

性质

性质

若X与Y独立，则

性质

第六页，共五十七页，2022年，8月28日

定理

特征函数的定理一致连续性.

定理

定理

定理

唯一性.

定理

非负定性.逆转公式.连续场合，第七页，共五十七页，2022年，8月28日§4.2

大数定律讨论“概率是频率的稳定值”的确切含义；给出几种大数定律：伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.第八页，共五十七页，2022年，8月28日大量随机试验中大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率字母出现频率生产过程中的废品率第九页，共五十七页，2022年，8月28日

伯努利大数定律（伯努利大数定律）设n

是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中P(A)=p,则对任意的

>0，有第十页，共五十七页，2022年，8月28日证明证毕或第十一页，共五十七页，2022年，8月28日注:贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.第十二页，共五十七页，2022年，8月28日

大数定律定义

大数定律一般形式：

若随机变量序列{Xn}满足：则称{Xn}服从大数定律.第十三页，共五十七页，2022年，8月28日切比雪夫大数定律

{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共同的上界，则{Xn}服从大数定律.切比雪夫特别地，若将条件“两两不相关”改为“独立同分布，结论更有意义.第十四页，共五十七页，2022年，8月28日则对任意的ε>0，有前n个随机变量的算术平均分析：第十五页，共五十七页，2022年，8月28日证由切比雪夫不等式上式中令得第十六页，共五十七页，2022年，8月28日说明第十七页，共五十七页，2022年，8月28日马尔可夫大数定律

若随机变量序列{Xn}满足：则{Xn}服从大数定律.(马尔可夫条件)第十八页，共五十七页，2022年，8月28日辛钦大数定律

若随机变量序列{Xn}独立同分布，且Xn的数学期望存在。则{Xn}服从大数定律.第十九页，共五十七页，2022年，8月28日下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.设随机变量序列X1,X2,…相互独立，服从同一分布，具有数学期E(Xi)=μ,i=1,2,…，则对于任意正数ε

，有（辛钦大数定律）辛钦第二十页，共五十七页，2022年，8月28日1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.注：2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.3、辛钦定理具有广泛的适用性.第二十一页，共五十七页，2022年，8月28日三、小结大数定律

大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：平均值的稳定性第二十二页，共五十七页，2022年，8月28日(1)伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例.注意点(2)切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.(3)伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.第二十三页，共五十七页，2022年，8月28日例在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.

设，k=1,2,…问对序列{Xk}能否应用大数定律？即对任意的ε>0,解:k=1,2,…E(Xk)=0.1,诸Xk

独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.第二十四页，共五十七页，2022年，8月28日§4.3

随机变量序列的两种收敛性两种收敛性：i)依概率收敛：用于大数定律；ii)按分布收敛：用于中心极限定理.第二十五页，共五十七页，2022年，8月28日

依概率收敛(依概率收敛)大数定律讨论的就是依概率收敛.若对任意的>0，有则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y,记为第二十六页，共五十七页，2022年，8月28日依概率收敛的性质若则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除依概率收敛到a与b的加、减、乘、除.第二十七页，共五十七页，2022年，8月28日理解:第二十八页，共五十七页，2022年，8月28日

按分布收敛—弱收敛对分布函数列{Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.若在F(x)的连续点上都有则称{Fn(x)}弱收敛于F(x)，记为相应记按分布收敛第二十九页，共五十七页，2022年，8月28日依概率收敛与按分布收敛的关系

第三十页，共五十七页，2022年，8月28日

判断弱收敛的方法

第三十一页，共五十七页，2022年，8月28日辛钦大数定律的证明思路欲证:

只须证：

第三十二页，共五十七页，2022年，8月28日§4.4

中心极限定理

讨论独立随机变量和的极限分布,本节指出其极限分布为正态分布.独立随机变量和设{Xn}为独立随机变量序列，记其和为第三十三页，共五十七页，2022年，8月28日

中心极限定理的客观背景在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合叠加影响所形成的.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布呢？第三十四页，共五十七页，2022年，8月28日如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合叠加影响所造成的，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大.则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.高斯当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？第三十五页，共五十七页，2022年，8月28日由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量.在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.第三十六页，共五十七页，2022年，8月28日

独立同分布下的中心极限定理林德贝格—勒维中心极限定理设{Xn}为独立同分布随机变量序列，数学期望为,方差为2>0，则当n充分大时，有第三十七页，共五十七页，2022年，8月28日注:第三十八页，共五十七页，2022年，8月28日3、虽然在一般情况下，我们很难求出

的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布.第三十九页，共五十七页，2022年，8月28日例4.4.1每袋方便面的净重为随机变量，平均重量为100克，标准差为10克.一箱内装200袋方便面，求一箱的净重大于20500克的概率?解:设箱中第i袋方便面的净重为Xi,则Xi独立同分布，且E(Xi)=100，Var(Xi)=100，

由中心极限定理得，所求概率为：=0.0002故一箱方便面的净重大于20500克概率为0.0002.(很小)第四十页，共五十七页，2022年，8月28日例4.4.2设X为一次射击中命中的环数，其分布列为求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.XP109876

0.80.10.050.020.03解:设Xi

为第i次射击命中的环数，则Xi

独立同分布，且E(Xi)

=9.62，Var(Xi)

=0.82，故=0.99979第四十一页，共五十七页，2022年，8月28日4.4.3

二项分布的正态近似棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理设n为服从二项分布b(n,p)的随机变量，则当n充分大时，有是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.第四十二页，共五十七页，2022年，8月28日注意点(1)当n较大时，正态分布是二项分布很好近似。通常计算二项分布的概率用下式：第四十三页，共五十七页，2022年，8月28日注意点(2)中心极限定理的应用有三类题型：

ii)已知n和概率，求y；

iii)已知y和概率，求n.i)已知n和y，求概率；第四十四页，共五十七页，2022年，8月28日一、给定n和y，求概率例4.4.3100个独立工作的部件组成一个系统，每个部件正常工作的概率为0.9

，求系统中至少有85个部件正常工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i个部件正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+…+X100，则Y服从二项分布，即Y~b(100,0.9).E(Y)=90，Var(Y)=9.第四十五页，共五十七页，2022年，8月28日二、给定n和概率，求y例4.4.4有200台机床独立工作，每台正常工作的概率为0.7，每台机床工作时需15kw电力.问共需多少电力,才可有95%的可能性保证正常生产?解：用设供电量为y,则从Xi=1表示第i台机床正常工作,反之记为Xi=0.记Y=X1+…+X200~b(200,0.7)，则E(Y)=140,Var(Y)=42.中解得第四十六页，共五十七页，2022年，8月28日三、给定y

和概率，求n例4.4.5用调查观众中的收看比例k/n作为某电视节目的收视率p的估计。要有90％的把握，使k/n与p

的差异不大于0.05，问至少要调查多少位观众？解：用根据题意Yn表示调查n个人中收看此节目的人数，则从中解得Yn~b(n,p)分布，k为Yn的实际取值。又由可解得n=271第四十七页，共五十七页，2022年，8月28日例4.4.6设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率.解:设X表示命中的炮弹数,则X~b(500,0.01)＝0.17635(2)应用正态逼近:P(X=5)=P(4.5<X<5.5)=0.1742第四十八页，共五十七页，2022年，8月28日例1根据以往经验，某种电器元件的寿命服从参数为0.01的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.三、课堂练习第四十九页，共五十七页，2022年，8月28日由题给条件知，诸Xi独立，16只元件的寿命的总和为且E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为P(Y>1920)设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16例1解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理,近似N(0,1)P(Y>1920)=1-P(Y1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119第五十页，共五十七页，2022年，8月28日例2在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球