二次函数的图像和性质用

二次函数的图像和性质用第一页，共三十页，2022年，8月28日学习目标1.学会绘制二次函数y=a(x-h)2+k的图象；2.理解和掌握二次函数y=a(x-h)2+k图象的基本性质；3.体会数形结合的思想方法；4.感受数学的无穷魅力，体验合作交流探索数学的乐趣.第二页，共三十页，2022年，8月28日将抛物线y=ax²沿y轴方向平移|k|个单位,得抛物线y=ax²+k；2.请说出二次函数y=ax²+k与y=ax²的平移关系；温故知新3.y=a(x-h)2与y=ax²的平移关系.将抛物线y=ax²沿x轴方向平移|h|个单位,得抛物线y=a(x-h)2.1、y=ax2a＞0a＜0a＞0K>0a＞0K<0a＜0K<0a＜0K>0a＞0h<0a＞0h>0a＜0h<0a＜0h>0第三页，共三十页，2022年，8月28日例3画出二次函数的图象．

x…-4-3-2-1012…y……-5.5-3-1.5-3-5.5-1-1.5开口方向

对称轴是

顶点坐标是

向下x=-1（-1，-1）第四页，共三十页，2022年，8月28日向左平移1个单位向下平移1个单位向左平移1个单位向下平移1个单位平移方法1:平移方法2:二次函数图像平移12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10x=－1(2)抛物线

有什么关系?第五页，共三十页，2022年，8月28日归纳一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.向左(右)平移|h|个单位向上(下)平移|k|个单位y=ax2y=a(x－h)2y=a(x－h)2+ky=ax2y=a(x－h)2+k向上(下)平移|k|个单位y=ax2+k向左(右)平移|h|个单位平移方法:第六页，共三十页，2022年，8月28日探讨:二次函数y=2x²,y=2(x-1)²,y=2(x-1)²+1的图象的关系？

思考探究第七页，共三十页，2022年，8月28日1.2.3.-1-2-3.0.1.2.3.4.-1xy5y=2(x-1)2+1y=2(x-1)2

y=2x2第八页，共三十页，2022年，8月28日5y=2x2+11.2.3.-1-2-3.0.1.2.3.4.-1xy5y=2(x-1)2+1y=2x2第九页，共三十页，2022年，8月28日相同不同向上向下x=h（h，k）h、k通常，把y=a(x-h)2+k(a≠0)叫做二次函数的顶点式.性质归纳第十页，共三十页，2022年，8月28日例题C(3,0)B(1，3)

例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?AxOy123123解:如图建立直角坐标系,

点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.

因此可设这段抛物线对应的函数解析式为：∵这段抛物线经过点(3,0)∴

0=a(3－1)2＋3解得:因此抛物线的解析式为:y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3)当x=0时,y=2.25答:水管长应为2.25m.34a=-y=

(x－1)2＋3(0≤x≤3)34

-第十一页，共三十页，2022年，8月28日y=a(x-h)2+k(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h,k)(h,k)x=hx=h当x<h时，y随着x的增大而减小。当x>h时，y随着x的增大而增大。

当x<h时,y随着x的增大而增大。当x>h时，y随着x的增大而减小。

x=h时,y最小值=kx=h时,y最大值=k抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.第十二页，共三十页，2022年，8月28日1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：开口向上对称轴是x=-3顶点是（-3，5）开口向下对称轴是x=1顶点是（1，-2）开口向上对称轴是x=3顶点是（3，7）开口向下对称轴是x=-2顶点是（-2，-6）基础训练第十三页，共三十页，2022年，8月28日1.对称轴是直线x=-2的抛物线是()

A.y=-2x2-2B.y=2x2-2C.y=(x+2)2-2D.y=-5(x-2)2-6C基础训练第十四页，共三十页，2022年，8月28日2.若将抛物线y=-2（x-2）2的图象移到顶点为原点的位置，则下列平移方法正确的是（）A、向上平移2个单位B、向下平移2个单位C、向左平移2个单位D、向右平移2个单位C温故知新第十五页，共三十页，2022年，8月28日3、若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是_____________.

强化训练第十六页，共三十页，2022年，8月28日4.抛物线y=3（x-3）2的开口方向

，对称轴是

，顶点坐标是

，抛物线有最

点，当x=

时，y有最

值，其值为

。抛物线与x轴交点坐标

，与y轴交点坐标

。向上直线x=3（3，0）低3小0（3，0）（0，27）温故知新第十七页，共三十页，2022年，8月28日1.抛物线的顶点为(3,5)此抛物线的解析式可设为(

)A、y=a(x+3)2+5B、y=a(x-3)2+5C、y=a(x-3)2-5D、y=a(x+3)2-52.抛物线c1的解析式为y=2(x-1)2+3,抛物线c2与抛物线c1关于x轴对称,请直接写出抛物线c2的解析式___________.拓展训练y=-2(x-1)2-3B第十八页，共三十页，2022年，8月28日（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），则a=

。（2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），求它的解析式。（3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位得到的抛物线是

。（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是

。第十九页，共三十页，2022年，8月28日例题例3.画出函数的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴、x…-4-3-2-1012………解:先列表画图再描点画图.-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5第二十页，共三十页，2022年，8月28日12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10直线x=－1…………210-1-2-3-4x解:先列表再描点、连线-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5讨论抛物线的开口方向、对称轴、顶点?抛物线的开口向下,对称轴是直线x=－1,顶点是(－1,－1).第二十一页，共三十页，2022年，8月28日向左平移1个单位向下平移1个单位向左平移1个单位向下平移1个单位平移方法1:平移方法2:二次函数图像平移12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10x=－1(2)抛物线

有什么关系?第二十二页，共三十页，2022年，8月28日归纳一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.向左(右)平移|h|个单位向上(下)平移|k|个单位y=ax2y=a(x－h)2y=a(x－h)2+ky=ax2y=a(x－h)2+k向上(下)平移|k|个单位y=ax2+k向左(右)平移|h|个单位平移方法:第二十三页，共三十页，2022年，8月28日抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向上;(2)对称轴是直线x=h;(3)顶点是(h,k).第二十四页，共三十页，2022年，8月28日练习二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上(1,－2)向下向下(3,7)(2,－6)向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3,5)y=－3(x－1)2－2y=4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成下列表格:第二十五页，共三十页，2022年，8月28日2.请回答抛物线y=4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?3.抛物线y=－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到吗?向上平移7个单位，向右平移3个单位不能，平移不改变开口方向第二十六页，共三十页，2022年，8月28日练习y=−2（x+3）2-2画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？。y=2（x-3）2+3y=−2（x-2）2-1y=3（x+1）2+1第二十七页，共三十页，2022年，8月28日函数开口方向对称轴顶点最值增减性y=2（x-3）2+3向上x=3(3,3)3x<3，递减；x>3，递增y=−2（x+3）2-2向下x=-3(-3,-2)-2x>-3，递减；x<-3，递增y=−2（x-2）2-1向下x=2(2,-1)-1x>-2，递减；x