八上几何知识点

cbCA第十一章三角形cbCAa定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形aB有关概念及表示法：B（1）顶点：两边的公共点，用（顶）点A、点B、点C等表示；（2）边：组成三角形的三条线段，用AB（c）、AC（b）等表示；（3）内角：在三角形中，每两条边所组成的角，用∠BAC、∠ABC等表示；（4）顶点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。分类：直角三角形不等边三角形按角分锐角三角形（2）按边分等边三角形斜三角形钝角三角形等腰三角形底边和腰不等一、线段边定理：三角形两边的和大于第三边，可表示为a+b>c，b+c>a，a+c>b，理论依据是两点之间线段最短；推论：三角形两边的差小于第三边，可表示为c-b<a，a-c<b，b-a<c，理论依据是不等式的性质；应用：可确定在已知两边的三角形中，第三边和三角形周长的取值范围：已知三角形的两边分别为a，b，设第三边为c。则第三边取值范围为|a-b|<c<a+b。周长取值范围：当a>b时，2a<a+b+c<2（a+b）；当a<b时，2b<a+b+c<2（a+b）；判断任意三条线段能否构成三角形：当a+b>c，b+c>a，a+c>b都成立时|a-b|<c<a+b时当a最长，且b+c>a时高定义：从△ABC的顶点A向它所对的边BC画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高；特点：高是线段且三角形有三条高，锐角三角形三条高相交于三角形内一点，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高的延长线相交于一点；应用：找出三角形的高进行推理和运算；等底或等高的两个三角形面积。中线定义：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线；特点：中线是线段且三角形有三条中线，任何三角形的三条中线都相交于三角形内一点(重心)；应用：根据定义得知点D是边BC的中点从而进行推理和计算，也考查等腰三角形“三线合一”的性质。角平分线（三角形）定义：画∠A的平分线AD，交∠A所对边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线；特点：三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线，三角形有三条角平分线且相交于三角形内一点（内心）；应用：经常考查被角平分线分出来的两个角是相等和角平分线的性质和推理内角（三角形、多边形）三角形内角（1）内角和定理：三角形三个内角的和等于180°，由平行线的性质和平角的定义证明，几何表达式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°;（2）定理特点：一个三角形中至少有两个锐角，最多有三个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角；（3）定理应用：已知两个内角求第三个角，已知各角之间的关系求各角，判断三角形的形状；（试求五角星五个角的度数和？）多边形内角多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形。由n条线段组成的多边形就叫n边形，三角形是最简单的多边形；多边形内角定义：多边形相邻两边组成的角；多边形内角和定理：n边形的内角和为（n-2）·180°（n≥3），由画对角线和三角形内角和定理可得；多边形对角线定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段；对角线条数：从n边形的一个顶点可以引导（n-3）条对角线，把这个多边形分成（n-2）个三角形；n边形共有n（n-3）÷2条对角线；（4）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形；外角（三角形、多边形）三角形外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。（注意延长AB与延长BA的不同）性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，几何表达式：因为∠ACD=∠A+∠B；由平行线性质或内角和定理可证明；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；三角形的外角和等于360°，由平角定义和三角形内角和性质可证明；（3）应用：已知外角和不相邻的一个内角，求另一个不相邻的内角；可证一个角等于另两个角的和；作为中间关系证明两个角相等；证明两角的不等（即一个内角一个外角）；多边形外角定义：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角；外角和：多边形外角和等于360°。用平角的定义和多边形内角和性质可证明；应用：在运用多边形的内角和外角和公式求值时，常与方程思想相结合。全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形，“全等”用符号“≌”表示相关概念：对应顶点即重合的顶点，对应边即重合的边，对应角即重合的角；（注意正确识别对应元素）全等变换：只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换（其实就是全等图形）性质性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等；难点：如何找出对应边、对应角（注意区分对应边、对边、对应角、对角）（1）由记法找：△ABC≌△DEF，即A↔D，AB↔DE，∠ABC↔∠DEF；（2）由对应元素找：对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边的对应边；对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）由位置找：有公共边（角），公共边（角）一定是对应边（角）；（4）由角或边大小找：大对大，小对小，长对长，短对短；判定角的平分线定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段长度性质定理：角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。三角形三条角平分线交于三角形内一点，且交点（内心）到三边距离相等判定定理：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上轴对称轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合（全等），这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴（条数因图形而定）。轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合（全等），，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴（一般情况只有一条），折叠后重合的点是对应点，叫对称点。区别与联系：前者有一个图形，对称轴条数因图形而定；后者有两个图形（指两个图形的位置关系），对称轴条数一般只有一条；二者可以相互转化。作图形的对称轴垂直平分线：（1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（4）外心：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心图形轴对称和轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。作图形的对称轴：（1）前提是两个图形成轴对称或一个图形是轴对称图形（2）找一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线即可（3）尺规完成作轴对称图形轴对称变换定义：把一个平面图形沿某条直线折叠得到它的轴对称图形作轴对称图形：（1）分类：作已知图形的轴对称和补全轴对称图形（路径最短问题）（2）方法：作出图形中的一些特殊点（顶点或转折点）的对称点，连接这些对称点即可平面直角坐标系：关于x轴对称，横不变纵变；关于y轴对称，横变纵不变；关于原点对称，横纵都变（注意直角坐标系位置不同点的坐标就不同）（3）步骤：找原图形的关键点作关键点关于对称轴的对称点按原图形顺序连接各对称点等腰三角形（等边三角形）（一）等腰三角形定义：有两条边相等的三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹角叫顶角，底边与腰的夹角叫底角性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（“等角对等边”），是把角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据推论：（1）“三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，即等腰三角形顶角平分线平分底边且垂直于底边；（2）等边三角形三个内角都等于60°（3）等腰三角形的底角只能为锐角，但顶角可为钝角或直角（4）推论作用：证明角相等，线段相等或垂直有二倍角时常用到的辅助线：（1）构造等腰三角形，使二倍角是等腰三角形顶角的外角（2）平分二倍角（3）加倍小角（4）过一点