人教B版（2022）高中数学选择性必修第一册2.5.2　椭圆的几何性质word含答案

椭圆的几何性质课后篇巩固提升基础达标练1.过椭圆x24+y23=,6 ,3 ,3 ,23解析由题意知a=2,b=3,c=1,最长弦过两个焦点,长为2a=4,最短弦垂直于x轴,长度为当x=c=1时,纵坐标的绝对值的2倍为3.答案B2.(多选)已知椭圆x2a2+y2b2=1与椭圆x225+y216=1有相同的长轴,=25,b2=16=9,b2=25=25,b2=9或a2=9,b2=25=25,b2=9解析椭圆x225+y216=1的长轴长为10,椭圆y221+x29=1的短轴长为6,由题意可知椭圆x答案ABC3.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为()A.12 B.14解析椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,半短轴长为1,长轴长是短轴长的2倍,故1m=2,解得m=1答案B4.(多选)如图,椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的半长轴长分别为a1和a2,半焦距分别为c1和c2,离心率分别为e1,e2,则下列结论正确的是()+c1>2(a2+c2) =a2-c2>a2c1 =e解析由题图知,a1=2a2,c1>2c2,∴a1+c1>2(a2+c2),2a1c2<2a2c1,即a1c2<a2c1,故A正确,C不正确;∵椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心,∴a1-c1=a2-c2,故B正确;由图知,c1=a2+c2,∴e1=c1a1=a答案ABD5.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过C,D的椭圆的离心率为.

解析如图,|AB|=2c=4,∵点C在椭圆上,∴|CB|+|CA|=2a=3+5=8,∴e=2c答案16.若椭圆x2k+8+y29=1的离心率e=1解析(1)若焦点在x轴上,即k+8>9时,a2=k+8,b2=9,e2=c2a2=a(2)若焦点在y轴上,即0<k+8<9时,a2=9,b2=k+8,e2=c2a2=a综上所述,k=4或k=-54答案4或-57.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为45,面积为20π,则椭圆C的标准方程为.解析设椭圆C的方程为y2a2+椭圆C的面积为S=πab=20π,又e=1-b2a2=45,解得a所以椭圆C的方程为y21003答案y21008.已知椭圆C:4x2+9y2=36.求椭圆的长轴长,焦点坐标和离心率.解椭圆C:4x2+9y2=36的标准方程为x29所以a=3,b=2,c=a2所以椭圆的长轴长2a=6,焦点坐标(-5,0),(5,0),离心率e=ca9.(1)求与椭圆x29+y24=1(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.解(1)∵c=9-∴所求椭圆的焦点为(-5,0),(5,0).设所求椭圆的方程为x2a2+y∵e=ca=55,c=5,∴a=5,b2=a2∴所求椭圆的方程为x225+(2)∵椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为x2a2+∵2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.∴椭圆的方程为x236+能力提升练1.已知椭圆x24+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则1|PA.[1,2] B.[2,C.[2,4] D.[1,4]解析根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4,设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],即m,n∈[2-3,2+3],则1|PF答案D2.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于A.0,32C.32,1解析设左焦点为F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|+|BF|=4,∴|AF|+|AF0|=4,∴a=2.设M(0,b),则4b5≥45,∴1≤b<2.离心率e=答案A3.(多选)我们通常称离心率为5-12的椭圆为“黄金椭圆”.如图,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A1,A2,B1,B2为顶点,F1,F2为焦点,P为椭圆上一点A.|A1F1|,|F1F2|,|F2A2|为等比数列B.∠F1B1A2=90°⊥x轴,且PO∥A2B1D.四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1,F2解析A中若成等比数列,则(2c)2=(a-c)(a-c),即2c=a-c或2c=c-a(舍),解得ca=13≠B项,若∠F1B1A2=90°,则由射影定理可得|OB1|2=|F1O|·|OA2|,即b2=ca,所以c2+ac-a2=0,即e2+e-1=0,e∈(0,1),解得e=5-所以B正确;C项,若PF1⊥x轴,所以P-c,b2a,又PO∥A2B1,则斜率相等,所以b2a-c=b-D项,因为四边形为菱形,则其内切圆的圆心为原点,由圆的对称性可知,圆心到直线A2B2的距离等于c,因为直线A2B2的方程为xa-yb=1,即bx-ay-ab=0,由题意知aba2+b2=c,又b2整理得a2(a2-c2)=c2(2a2-c2),e4-3e2+1=0,e2∈(0,1),解得e2=3-所以e=3-52=5答案BD4.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被点b2,A.1617 B.C.45 D.解析依题意得c+b2c-b∵a2-b2=c2,∴a=b2+∴e=ca答案D5.已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,P是C上的任意一点,则|FP|称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A,B,若存在以A为圆心,|FP|为半径的圆经过点解析如图,|AB|=a2+b2,a-c≤由题意可得,a-c≤a2+b不等式左边恒成立,则a2+b两边平方整理得2e2+2e-1≥0,解得e≤-1-32(舍)或∴椭圆C的离心率的最小值为3-答案36.(1)计算:①若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P(0,2),②若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P-5③若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P1,-(2)观察①②③,由此可得到:若A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点,P解(1)①由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P(0,2),∴kPA1②由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P-5∴kPA1③由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P1,-∴kPA1(2)若A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点,证明如下:设P(x0,y0).由题意kP则kP又P为椭圆上任意一点,满足x02a2+y02代入可得kPA1·k7.如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且AF2=2F2解(1)由∠F1AB=90°及椭圆的对称性知b=c,则e=ca(2)由已知a2-b2=1,F2(1,0),A(0,b),设B(x,y),则AF2=(1,-b),F2B=(由AF2=2F2B,即(1,-b)=2(解得x=32,y=-b2,则9得a2=3,因此b2=2,椭圆的方程为x23+8.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围;(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.(1)解不妨设椭圆方程为x2a2+由余弦定理得cos60°=|P(|P所以|PF1|·|PF2|=4a2-2|PF1|·|PF2|-4c2,所以3|PF1|·|PF2|=4b2,所以|PF1|·|PF2|=4b又因为|PF1|·|PF2|≤|PF1所以3a2≥4(a2-c2),所以ca≥12,所以又因为椭圆中0<e<1,所以所求椭圆的离心率的取值范围是12(2)证明由(1)可知|PF1|·|PF2|=43b2S△F1PF2=12=12×43=33b2所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.素养培优练1.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦为的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则()=m+R +c=n+R=m+n =(解析椭圆的半长轴长为a,半短轴长为b,半焦距为c,则由题意可知a-c-R=m,a+c-R=n,可得a-c=m+R,所以A正确;a+c=R+n,所以B正确;可得a=m+n2+R,c=n-m2,所以C不正确;b2=a2-c2=m+n2+R2-n答案ABD2.已知椭圆x2a2+y2b2=1的坐标原点为点O,有长轴上一端点坐标为(2,0),离心率e=32(1)求椭圆的方程;(2)求三角形OAB的面积.解(1)由题意可知焦点在x