人教版数学九年级上册25.3实验与探究：π的估计-教案

人教2022版九年级（上）第25章第3节课题:实验与探究：π的估计一、教学目标１、让学生了解几何概率的意义，会计算简单的几何概型的概率；２、通过实验让学生体会用频率估计概率的可行性；３、通过实验与探究让学生感受概率的应用，体会数学的应用价值，体验实验研究的一般过程和方法。二、教学重、难点用频率估计概率思想的理解，手工实验操作的把握及利用频率与概率的关系估计π值的过程。三、教学过程（一）情景引入：有一首钢琴曲是把圆周率的每一个数字分配到音阶的音符上制作而成的，名字叫《圆周率之歌》。让我们一起来欣赏这首钢琴曲吧。（几秒后停）师：好听吗？同学们觉得这首钢琴曲我们可以欣赏多长时间？为什么？圆周率真是很神奇的一个数，它的发现是人类一个伟大的成就，今天，我想和同学们一起重走π值探索之路。引入课题。（二）知识准备：１、古代的探究：在探究之前，我们先通过一个短片了解一下圆周率的探究历史。学生观看视频微课《圆周率的探索》，感受先人的智慧和人类的伟大。师：从刚才的视频中我们看到，在寻求圆周率数值的过程中，刘徽和祖冲之两位中国数学家做出了突出的贡献，我们为他们感到骄傲和自豪。祖冲之以后，又有很多数学家或数学爱好者用其它办法探求过圆周率的值，现在人们已用计算机把圆周率的值精确到小数点后数万亿位了。从前面几种主要的探究方法中我们看到π值的探索离不开哪个图形？今天我就和大家一起利用与圆有关的概率知识来估计π的值。下面我们先看一个圆盘上的概率问题。２、温故知新：（１）圆盘上的概率：一个七色圆盘，圆盘中各个小扇形大小一样，随意转动圆盘上的指针，指针停在红、黄、绿区域上的概率分别是多少呢？（学生口答，教师出示答案）师：能解释自己的求法吗？（学生多会用概率的古典定义解释：总共有等可能的7个结果，其中指针落在红、黄、绿三个区域上的结果分别为3个、2个、2个）师：对这个结果还有其它的解释吗？（提示：能从面积的角度来解释吗？）师生归纳：指针落在各个颜色区域的概率也可看作是各颜色区域的面积占整个圆盘的面积比。（２）几何概率的定义：一般地，如果在一次试验中，结果落在区域D中每一点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M”这个事件，那么事件A发生的概率为：P（A）=（３）新知应用：如图：一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率是多少？（P（A）=＝）（三）、实验探究１、教师提问：这个概率的结果中出现了π，通过前面的学习我们知道，可以通过多次重复试验，用一个事件发生的频率来估计它的概率，我们能不能利用刚才这个图形设计一个实验来估计π的值呢？学生交流讨论。２、学生交流讨论结果，教师归纳点评。各组选择实验方式。３、学生分组手工实验：实验一：随机往正方形区域内投一粒米，经过反复多次试验，米粒落在圆内的频数与落在正方形内的频数之比应稳定在左右，由此建立方程可估计π的值。每组重复以上实验，做好记录，并估计π的值。记录表格如下：圆内频数m圆外正方形内频数正方形内频数nπ值实验注意事项：（1）为确保随机性，投掷时保持一定的距离，从不同的方向投掷；（2）落在圆周上的米粒统计到“圆外正方形内频数”栏；（3）落正方形边界上及边界外的米粒均不统计。实验二：学生把一把米粒随机撒在正方形区域内，统计并计算落在圆内的颗数m与落在正方形内的颗数n的比（精确到小数点后两位），估计π值。记录表如下：实验次数落在圆内的豆子颗数m圆外正方形内颗数落在正方形内的豆子颗数n频率π的估计值123实验注意事项：（1）撒米高度要适中；（2）按一定顺序清点区域内米粒颗数，一次安排1人清点；（3）落在圆周上的米粒统计到“圆外正方形内颗数”栏；（4）落在正方形边界上及边界外的米粒均不统计。一段时间后，各组统计前期实验数据，交流影响实验效果的因素及改进办法，再实验，再统计再计算。各组汇报实验结果（每组实验各安排一组展示数据统计情况及计算情况），教师引导学生分析提高估计精度的办法(在确保随机的前提下增加实验次数或者增加米粒颗数到足够多)。４、计算机模拟实验：学生利用计算机进行投米、打枪模拟实验，观察实验结果，谈感想体会。（四）、归纳小结１、通过今天这节课的学习，你对概率有什么新的认识？２、通过参与实验与探究，重走π值探索之路，你有什么感想和体会？师：今天我们不但了解了几何概率的定义，还应用概率通过实验与探究估计了π的值，在实验过程中我们体会到做实验要仔细、认真，要不断纠正实验中的问题，要有耐心反复实验，希望我们在今后的学习生活中发扬这种实验探究精神，认真仔细、长期坚持、不断纠正错误，健康成长。（五）巩固拓展：1、如图：一彩色三角形飞镖靶，白色三角形三个顶点分别是大三角形三边中点，随意向其投掷一枚飞镖，则飞镖落在白色三角形区域的概率是多少？2、如图，圆内接四边形ABCD，对角线AC，BD过圆心O，AC⊥BD，点P是圆内