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高中数学函数极值函数极值的几种求法-数学专业毕业论文

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定理2.3使f:R2?R并且P?(x0,y0)是曲线C上的一个点,有方程g(x,y)=0成立，则

在限制条件C上函数f有局部极值.假设函数

f

和函数g在点P都有连续的偏导数，点P

不是曲线C的端点，且?g(x0,y0)?0.因此存在?的值使得点(x0,y0,z0)是Lagrange函数的关键点

L(x,y,?)?f(x,y)??g(x,y).

证明.仅仅描述.因为点P不是曲线C的端点，且?g?0,则曲线C在点P处的切线与?g有关.

如果?f在点P处与?g平行，则函数在点P处的切线有非零值.但另一方面函数f的值随着P在C的运动增加减小,所以点P不是极值点.因为?f和?g平行，所以存在?使得?f????g成立.例.求内接于椭球于坐标面

解：明显地，当长方体的体积最大时，长方体的各个顶点一定在椭球上.设长方体的一个顶点坐标为(x,y,z)(x>0,y>0,z>0),则长方体的其他顶点坐标分别为(±x,±y,±z)，并且长方体的体积为V=8xyz.我们要求V在条件

xa

22

xa

22

?

yb

22

?

zc

22

长方体的各个面平行?1的体积最大的长方体的体积，

?

yb

22

?

zc

22

?1?0下的最大值.(注意：因为约束条件是有边界的，

故其一定存在极大或者极小值).其Lagrange函数为

22

?x2?yz

?L(x,y,z,?)?8xyz??????122?a2?bc??

并且存在稳定点当?L?0时，也就是说，当

0?

?L?x?L?y?L?z

?8yz?2??8zx?2??8xy?2?

xabc

2

,,,.

0?

0?

y

2

z

2

22

?x2?yz?0???2?2?2?1???z?abc?

?L

时.(注意：L?是约束方程.要想求得体积V的最大值，假设xyz?0，则可得x,y,z?0.)因此,用其他式子表示?,我们可以得到

???4a

2

yzx

??4b

2

zxyxa

22

??4c

2

xyzzc

,

22

消去?，有ya?xb和zb?yc.进而得出

2

2

2

2

2

2

2

2

?

yb

22

22

?

，因此有

1?

xa

22

?

yb

22

?

zc

?3

xa

22

或者得出x?

a3

,同理可得出y?

b3

和z?

c3

(根据假设可得x,y,z都是正值).

所以函数L有且仅有一个稳定点(

a3

,

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