2020年考研数学一真题及答案(全)

精品欢迎下载可修改精品欢迎下载可修改精品欢迎下载可修改精品欢迎下载可修改全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．．．．1-cos\fx 0(1)若函数f(x)=<一ax—,x>在x连续，则、 b,x<011(D)ab=2.(A)ab=-. (B)ab=——. (C)(D)ab=2.22【答案】A, 「 1-cos%：'x 1 ,, , 1【详解】由lim 二-—二b,得ab=.x-o+ ax 2a 2(2)设函数f(x)可导，且f(x)1nx)>0则(A)f(1)>f(-1). (B)f(1)<f(-1).(C)|f(1)>|f(-1). (D)|f(1)|<|fJ).【答案】C【详解】f(x)f'(x)=［号)丫>0，从而f2(x)单调递增,f2(1)>f2(-1).(3)函数f(x,y,z)=x2y+z2在点(1,2,0)处沿着向量n=(1,2,2)的方向导数为(A)12. (B)6. (C)4. (D)2.【答案】D12【详解】方向余弦cosa=-,cosP=cosY=-，偏导数f=2xy,f=x2,f=2z,代入3 3 x yzcosaf'+cosPf'+cosyf即可.x yz(4)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线v=匕(t)(单位：m/s),虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)(单位：向小三块阴影部分面积的数值一次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s),则(A)t=10. (B)15<t<20.(C)t=25. (D)t>25.0 0 0 0【答案】C【详解】在t0=25时，乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m处.(5)设a为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则(A)E-aaT不可逆. (B)E+aaT不可逆.(C)E+2aaT不可逆. ①)E一2aaT不可逆.【答案】A【详解】可设a=(1,0,…,0)t,则aat的特征值为1,0,…,0,从而E—aat的特征值为0,1,•••,1，因此E—aat不可逆.200、(210)r1 200、(210)r1 )021,B=020，C=20011、001,1 2)(B)A与C相似,(6)设有矩阵A=(A)A与C相似，B与C相似.A与C不相似，B与C相似.【答案】BB与C不相似.A与C不相似，B与C不相似.PP(BIA)>P(BIA).P(BIA)<P(BIA).【详解】A,B的特征值为2,2,1,但A有三个线性无关的特征向量，而B只有两个，所以A可对角化，B则不行.(7)设A,B为随机事件，若0<P(A)<1,0<P(B)<1,则P(AIB)>P(BIA)的充分必要条件(B)(A)P(BIA)>P(BIA).(B)【答案】AP(AB)P(AB)P(A)—P(AB)【详解】由P(AIB)【详解】由P(AIB)>P(AIB)得P(B) P(B) 1—P(B)P(AB)>P(A)P(B)；由P(BIA)>P(BIA)也可得P(AB)>P(A)P(B).(8)设X,X，…,X(啰2)为来自总体N(从,1)的简单随机样本，记X=1ZX，则下12 nii=1列结论不正确的是(A)Z(X-^)2服从%2分布. (B)2(X-X)2服从%2分布.i n1i=1(C)Z(X-X)2服从%2分布. (D)n(X-N)2服从%2分布.i=1【答案】B【详解】X^~N(0,1)Z(X-N)2~%2(n),Z(X-X)2~%2(n-1)；TOC\o"1-5"\h\zii=1 i=11 (X-X)2 ,八X~N(Nn)'n(x-N)2~%2(1);Xn-x1~N(0，2),i^~%2(1).二、填空题：9〜14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.．．．(9)已知函数f(x)=—,f⑶(0)= .1+X2【答案】0【详解】f(X)=-=1-X2+X4+--«(-l<X<1)，没有三次项.1+X2(10)微分方程y"+2y'+3y=0的通解为.TOC\o"1-5"\h\z【答案】y=e-x(Ccos<2x+Csin<2x)1 2【详解】特征方程r2+2r+3=0得r=-1+；2ii,因此y=e-x(Ccos<2x+Csin”x).1 2(11)若曲线积分Jxd-'ydy在区域D=fX,y)x2+y2<1%与路径无关，则a=Lx2+y2-1【答案】-1_ aQ dP_ 1【详解】有题意可得々=k,解得a=-1.ax ax(12)幂级数Z(-1)n-1nxn-1在(-1,1)内的和函数S(x)=n=1精品欢迎下载可修改精品欢迎下载可修改精品欢迎下载可修改精品欢迎下载可修改精品欢迎下载可修改精品欢迎下载可修改【答案】1【答案】1(x+1)2【详解】£(-1)n一1皿一1二二［(-X)n］，二,【详解】(x+1)2(13)4=［10e1(13)4=［10e12I，%。2,03是3维线性无关的列向量，则心%4a2,4a3)的秩1J为 【答案】2【详解】r(Aa,Aa,Aa)=r(A)=2123x-4(14)设随即变量X的分布函数F(x)=0.5①(x)+0.5①(――),其中①(x)为标准正态分布函数，则EX=.【答案】20.5x4【详解】EX=J+sxf(x)dx=卜8x[0,5叭x)+一叭——)]dx=2.… 0 2 2三、解答题：15〜23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸指定位置上．．．．(15)(本题满分10分)．TOC\o"1-5"\h\z… … .dy d2y设函数f(u#)具有2阶连续偏导数，y=f(ex,cosx),求产,--.dx dx2x=0 x=0【答案】y=f(ex,cosx)'•—=f'ex一f'sinx,dx1 2.dy丫. xdx.dy丫. xdx=0=f1'(1,1)d2y ( ) =\f"ex一f"sinx'ex+fex一(f-ex-f-dx2 11 12 1 21 22d2ydx2x=0=f"(1,1)+f1(1,1)-f1(1,1)11sinx)sinx-f'cosx

2(16)(本题满分10分)．求lim—ln(1+—).nf8n2【答案】

1im工工1n(1+k)nT-n2 n(1 1 2 2nn\(1 1 2 2nn\1im—1n(1+—)+—1n(1+—)+...+—1n(1+—)nTgVn2n n2 n n2 n/1im1(11n(1+1)+21n(1+2)+...+n1n(1+n)nn1n(1+x)d2x211；—x2, 1n(1+x)d2x211；—x2, dx2 1+x00=gx21n(1+x)1-11x2—1+1,=—1n2——J1 dx11n2—匕11n2—匕J1(x—1)dx+f1-

2 20 01+x1dx]11=—ln2——x2—x)0+1n(1+x)0]=11n2—1(1—1+ln2)=12 22 4(17)(本题满分10分).已知函数y(X)由方程X3+户—3x+3y—2=0确定，求y(x)的极值.【答案】x3+y3-3x+3y—2=0①，方程①两边对x求导得：3x2+3y2y-3+3y=0②，令y1=0，得3x2=3,x=±1.当x=1时y=1,当x=-1时y=0.方程②两边再对x求导：6x+6y(y)2+3y2y"+3y"=0令y=0,6x+(3y2+1)y"=0,y - 3 .当x=1,y=1时y"=一万，当x=-1,y=0时y"=6.所以当x=1时函数有极大值，极大值为1,当x=-1时函数有极小值，极小值为0.(18)(本题满分10分).f(x)…设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)>0,1im<^2<0.证明:xT0+x(I)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根;

(II)方程f(x)f”(x)+[f'(x)]2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.【答案】⑴...lim2<0，由极限的局部保号性，3ce(0,8),使得〃c)<0，又・.・f(1)>0,由零xf0+x点存在定理知，3me(孰1)，使得，f也)=0.(2)构造F(x);f(x)f(x)， F(0)=f(0)f'(0)=0，F6);f6)f化)=0，・・・limfx)<0,f'(0)<0,由拉格朗日中值定理知3He(0,1),f(1)—f⑼=f*(H)>0，TOC\o"1-5"\h\zxf)+x 1-0・・・f'(0)fXn)<0,所以由零点定理知3匕e(0,n)u(0,1)，使得f化)=0，1 1F化)=f化)f位)=0,所以原方程至少有两个不同实根。1 1 1(19)(本题满分10分).设薄片型物体s是圆锥面工=\；x2+y2被z2=2x割下的有限部分，其上任意一点处的密度为Mx,y,z)=9、；x2+y2+z2，记圆锥面与柱面的交线为C；(I)求C在xOy平面上的投影曲线的方程;(II)求S的质量M。(x-1)2+y2=1、z=0【答案】(1)C的方程为〈(2)M=JJu((x-1)2+y2=1、z=0【答案】(1)C的方程为〈(2)M=JJu(x,y,z)dS=JJ9、:x2+y2+z2dS=9x2+y2+x2+y2dSsTOC\o"1-5"\h\z=18J2d0J2cos0、:x2+y2dxdy=18J2-cos30d0产0 _冗322二96J；cos30d0=96(-x1)=640 3(20)(本题满分11分).设3矩阵A=(a,a,a)有3个不同的特征值，a=a+2a1 2 3 3 1 2(I)证明:r(A)=2;(II)若P=a+a+a，求方程组Ax=P的解.1 2 3精品欢迎下载可修改精品欢迎下载可修改精品欢迎下载可修改精品欢迎下载可修改【答案】•.•a=a+a，3 1 2:.a+2a-a=0,2 3r1\，Q,，Q,a,a>1232=0,故入=0是4的特征值1又A有三个不同的特征值，故'二0为单根，且A一定能相似对角化.ri11

kv=P，即AQ1,1>=P.（2）由（ri11

kv=P，即AQ1,1>=P.TOC\o"1-5"\h\z•P=a+a+a，故有Q,a,a>1 2 3 1 2 3・•.Ax=P的通解为kG,2「11+(1,1,1)r(k为任意常数).（21）（本题满分11分）.设二次型f(x,x,x)=2x2-x2+ax2+2xx-8xx+2xx在正交变换x=Qy下1 2 3 1 2 3 12 13 23的标准形为九J2△遥，求a的值及一个正交矩阵Q。r21 -4〕（21）【答案】二次型的矩阵A = 1 -1 1 ，一4 1 akr x 14^ ^j因为二次型在正交变换下的标准形为九y2+九y2，故A有特征值0,11 22/.|A|=0，故a=2.入-2 -1 4由故E-A=-1入+1 -1=入（入+3）（入一6）=0得特征值为4 -1 入-2九=-3,九=6,九=01 2 3解齐次线性方程组以E-A）x=0，求特征向量.i

对入=-3

1对九3二0-5-144-14-2-1对入=-3

1对九3二0-5-144-14-2-14-1-2-14-14因为a1，a之，a3属于不同特征值，令P二生=1G，-1，1〉,P=111a 3所求正交矩阵为Q=d34rlV34-1-54-1-21，得a=0，得a=-1]-2，得a0J已经正交，只需规范化:1-11[T]01I，a1（T0，1），P3二+G，2，1），1<64%;6J，对应标准形为f=-3耳+6yi（22）（本题满分11分）.设随机变量X与Y相互独立，且X的概率分布为P{X二0}二P{X=2}=1,Y的概12y,0<y<1率密度为"y）T。,其他(I)求尸{Y<EY}(II)求Z=X+Y的概率密度。22、【答案】(1)EY=』讨yf(y)dy=f1y-2ydy=22、Z的分布函数为一sY 0 3・•.PY<EY}=J2f(y)dy=J：2ydy=4.rY 0 9

F(z)=PZ<z}=P{x+Y<z,X=0)+P{x+Y<z,X=2)Z=P{x=0,Y<z}+P{x=2,Y+2<z}=1PY<z}+PY<z—2}]2=1F(z)+F(z—2)]2YY故Z的概率密度函数为f(f(z)=F'(z)=1f(z)+f(z-2)]=vzz20, z<0z, 0 < z < 1 z, 0<z<10, 1 < z < 2 =\z-2,2<z<3z—2,2<z<3]0,其它0, z>3(23)(本题满分11分).某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量N是已知的.设n次测量结果X,X，…X相互独立且均服从正态分布N(从,。2).该工1 2n,Z4…Z估计2n程师记录的是n次测量的绝对误差Z/Xi—叫(i=1,2，…,,Z4…Z估计2n(I)求Z的概率密度；i(II)利用一阶矩求o的矩估计量;(III)求o的最大似然估计量.【答案】Z的分布函数为F【答案】Z的分布函数为F(z)=P{Z<z}-P{X1]—川<z}=P・o卜z<0时,F(z)=