广东省四校2021-2021学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

--#-1则代办点平均每日利润的期望值为235x15x--2x110=955（元），故代办点不应将前台工作人员裁员1人.【点睛】本题主要考查了二项分布的应用，以及期望的求解及应用，其中解答中正确理解题意，熟记利用二项分布的概率计算方法，以及准确计算代办点平均每日利润的期望是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题..已知函数/(x)="excosx+区，g(x)=；%2—sinx+cx+d,若曲线＞=/(%)和曲线y=g金）都过点尸（0,1）,且在点P处有相同切线y=%+1.（1）求/（Q和g（Q的解析式，并求/G）的单调区间；（2）设g'（x）为gG）的导数，当x>0,入4—婢时，证明：/G）〉g'G）sinx+雇x.(3k 71——+2左兀，一+2(3k 71——+2左兀，一+2左兀I 4 471 2)71左eZ,减区间为：—+2^71,——+2kJi,keZ,(2)见解析14 4 7【解析】【分析】（1）将尸（0,1）分别代入函数和导函数，根据切线方程得到方程组，解得/G）和g（x）的解析式，然后求单调区间.(2)只需证明excosx＞(x—cosx+2)sinx一即 ———-＞一吧;=,分别x-cosx+2cosx+J2求两边的最小和最大值，得证.【详解】(1)曲线＞=/(%)和曲线y=gG)都过点p(o,D,所以/(。)=〃=1,g(o)=d=l,f'G)=ex(cosx-sinx)+b,/'(0)=l+Z?=l,所以b=0,g(x)=x-cosx+c,g(0)=-l+c=l,所以c=2,f(x)=excosx,g(x)=gx2—sinx+2x+1所以f'(x)=exx—sinxx(兀、cosx+—当f'(x)=J2e所以f'(x)=exx—sinxx(兀、cosx+—当f'(x)=J2ex———+2k兀<x<—+2k兀,4 4当f'(x)=<2ex(兀、cosx+-Tk4+2k兀<x<——+2k兀,keZ,4 4所以f(x)的增区间(一3^+2k兀，£+2k兀(,keZ，减区间为：(2)先证：excosx>(x—cosx+2)sinx—<2ex,即证：ex(osx+—cosx+2)sinx，因为x>0,—1<cosx<1,所以cosx+22>0,x—cosx+2>0,即证：ex >x—cosx+2sinxcosx+、’2令Nx" " ,g(x)二x—cosx+2 cosx+v12Ft()ex(x—sinx—cosx+1)(x—cosx+2)2因为x>0，所以x—sinx>0,所以F'(x)>0，所以F(x)>F(0)=1,令v=sinx,u=cosx,所以G(x)二二表示两点A(u，V)与BJ2,°)斜率卜由图可知V=与圆U2+V2=1相切k有最大值1.G(x) =1，F(x)>1>G(x)，所以f(x)>g'(x)sinx—v12ex.maxexcosx>(x—cosx+2)sinx—、''2ex>(x—cosx+2)sinx+九ex方法二:证明:ex方法二:证明:excosx>(x—cosx+2)sinx—<2ex.①当sinx<0时，①当sinx<0时，由x>0，x—cosx+2>0，exCosx+0，(x—cosx+2)sinx<0，一cosx+2)sinx.所以ex(osx+②当sinx>0时，因为cosx—sinx>—<'2，所以(x—cosx+2)sinx+(cosx—sinx)ex>(x—cosx+2)sinx—v'2ex，下证：excosx>(x—cosx+2)sinx+(cosx—sinx)ex,化简可得：(x—cosx+2)sinx—sinxex<0,因为x>0,x—cosx+2>0,当sinx>0时，x—cosx+2—ex<0.F"(x)=-cosx—ex<0,令F(x)=x—cosx+2—ex，F"(x)=-cosx—ex<0,F1（x）在（0,笆）单调递减，所以F'（x）＜F1（0）=0所以F（x）在（0,笆）单调递减，所以F（x）＜F（0）=0综上所述：excosx>(x—cosx+2)sinx—J2ex.【点睛】本题考查了函数的切线方程，单调区间，恒成立问题，将不等式转化为exsinexsinxbZ2＞嬴不是解题的关键.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.Ix=75cosa22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为彳 , （a为参数）.以坐标原1 [ y=sina- - 2 兀0 C点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为Pcos9+-=8.2 V 37（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点M在q上，点N在C2上，求IMN\的最小值及此时M的直角坐标.【答案】(1)C的普通方程为：X2+y2=1，C的直角坐标方程为：x一、3y-16=0(2)1 5 2IMNI的最小值为8 /2，此时M的直角坐标为【解析】【分析】(1)直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案(2)最小值为点到直线的距离，d(a)=弋5cosa一<3sina-16，再根据三角函数求最值.~~I+y^=(cosa)2+(sina)^,1，化简：—+；5 5、+57 5兀--psin展in一=0由x=匿我，y=psin0，3，由3rXKc2 ,■所以C的普通方程为+y2=1，的直角坐标方程为：X-y-16=0；，，，， ，1 5 25⑵由题意，可设点的直角坐标为l；5cosa,sinr,因为d直线，， ，， ，所以|MN|最小值，|为M到C的离d(a)的最小值，利用■函数性质求得最小值.//I▼，、 *TTV，|J=L.， Q 4 H ，，>TTV，|J=L.，IT/IJ II I—>—/)、7、I'J*TTVQ|J=L.•|in^^^【详解】(1)C1：C2： pcos0cos—化简可得：X-V3y5cosa-d(a)= 1，化简cosa一j^sina]-82点 ]=卜2cos(a+a)-8其中cosao二邛，sina=也，

o4「10当且仅当cosa=-一

4sina=-16时，d(a)取得最小值，最小值为8-<2，此时M的直角坐标为【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，利用三角函数求最小值可以简化运算.23.已知函数23.已知函数f（x）=x+2|+12x-3|.（1）若关于x的不等式f（x）＜m2-5m的解集不是空集，求m的取值范围;（2）设f（x）的最小值为九，若正实数a，b，c满足a+b+c=X.证明:a2+b2 a2+c2b2+c2r + + >7.1 7【答案】（1）m＜-1或m＞~.（2）见解析【解析】【分析】（1）等式f（x）＞m2-5m的不是空集，等价于f（x）的最小值f（x）2 minfG)min72，解得答案（2）由（1）7知afG)min72，解得答案（2）由（1）7知a+b+c=-，再利用两次均值不等式得到答案.【详解】（1）不等式f（x）＞m2-5m的不是空集，等价于f（x）的最小值乙f(^)minf(x)=|x+2|+12x-3|=<3x-1,x>—235-x,-2<x<-，可知f(x)2 min1-3x