辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷及答案

77.辽宁省县级重点高中协作体2021~2022学年上学期期末考试高三数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合Ax|x2一2x一8<B-lxx>1},则AoB-()A.(1,4)B.(1,2)C.(-4,+8)D.(-2,+8)5+5i2•复数z-1一3i的实部与虚部之和为（)A.1B.-1C.3D.—33.“a<b<0”是“4a-b<1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件若P（0,1）为圆x2+2x+y2-15二0的弦MN的中点，则直线MN的方程为（）A.y=一2x+1B.y=x+1C.y=-x+1D.y=2x+1青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一.已知某青花瓷花瓶的外形上下对称,可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶口直径是8,瓶身最小的直径是4,瓶高是6,则该双曲线的标准方程是（）A.x2A.x2y2-=1169B.C.D.C.D.6.已知a=-j'2,b二log6,c二0.90.2,贝y()3A.b>a>cb.c>b>ac.a>b>cD.b>c>a若函数f若函数f(x)=sin2x-—与函数g(x)二2cos

k3丿都在区间匚,b〕上单调递增，则b-a的最大值是是)A.5兀24A.5兀24D.23冗48堵ABC堵ABC-ABC中，AB丄ACiiiAA—2BC.若堑堵ABC-ABC外接球的表面积是401，则堑堵iiiiABC-ABC体积的最大值是()iiiD.32巨A.4匡B.8迈CD.32巨二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.TOC\o"1-5"\h\z1c2已知a>1，则2a+的取值可以是()a一1A.5B.6C.7D.8随着互联网的飞速发展，网上购物已成为了流行的消费方式.某网店第三季度的服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比如图所示：12,5%12,5%下列结论错误的是()A.该款服装这3个月的销售额逐月递减B该款服装这3个月的销售总额为23.69万元该款服装8月份和9月份的销售额相同该款服装8月份和9月份的销售总额大于7月份的销售额已知函数f(x)=|x2+3x+1|-a|x|，则下列结论正确的是()若/(x)没有零点，则ag(—8,0)若/(x)恰有2个零点，则a^(1,5)若/(x)恰有3个零点，则a—1或a—5若/(x))恰有4个零点，则aG(5,+8)已知函数f(x)=4lnx-kx-k+8，若关于x的不等式f(x)<0恒成立，则k的取值可以为()A.1BA.1B.eC.4D.e2第II卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.已知向量a=（2,—3），b=（—1,2），且e+kb）丄a，则k=.（L1）72JX-—的展开式中x2的系数是.（用数字作答）Ix丿在三棱锥P—ABC中，PA丄底面ABC,PA=1,AB=BC=3,AC=4；2，则pb与平面PAC所TOC\o"1-5"\h\z成角的正切值为.已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F,过点F的直线l:x—my—m=0与抛物线C交于AAF（点A在第一象限），B两点，且ef=2，则△ABO（O为坐标原点）的面积是.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.（10分）等差数列｛a｝的前n项和为S，a=6，S=90.nn39（1）求｛a｝的通项公式；n（2）若b=，求数列｛b｝的前n项和T.nSnnn（12分）某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况,对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日用电量（单位：度）的统计数据，从这些数据中随机抽取15天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图.若日用电量不低于200度，则称这一天的用电量超标.（1）从这15天中随机抽取4天，求抽取的4天中至少有3天的日用电量超标的概率；（2）从这15天的样本数据中随机抽取4天的日用电量数据，记这4天中日用电量超标的天数为X,求X的分布列和数学期望.57U!356719.（12分）在四棱锥P—ABCD中，PA丄平面ABCD,底面ABCD是直角梯形，BC〃AD,AD丄AB,E,F分别是棱AB,PC的中点.（1）证明：EFII平面PAD.（2）若PA二AB二BC,AD二2BC，求平面aef与平面CDF所成锐二面角的余弦值.20.（12分）如图，某水域的两条直线型岸边l，l的夹角为60°，某渔民准备安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l，l1212上），围出养殖区AABC.（1）若BC二6km，求养殖区AABC面积（单位：km2）的最大值;（2）若AABC是锐角三角形，且AB=4km，求养殖区AABC面积（单位：km2）的取值范围.21.(12分)已知函数f(x)=a(x—1)—(x+1)lnx.（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=e处的切线方程;(2)若关于x(2)若关于x的不等式窪＜0在（W）上恒成立，求a的取值范围.(-\6,0),B((-\6,0),B(6,0)，动点E(x,y)满足直线AE与BE的斜率之积为-1,在平面直角坐标系xOy中，已知点A记E的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线.（2）过点D（2,0）的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x二3的垂线，垂足为G,过点O作OM丄QG，垂足为M.证明：存在定点N,使得|MN|为定值.辽宁省县级重点高中协作体2021~2022学年上学期期末考试高三数学试卷参考答案1.D1.D由题意可得A=—2<x<4},则AuB=x〉-2}2.A因为z=5—善=(5—31)(1+31)=°+"+3"=—1+2i，所以复数z的实部与虚部之和为3.A由a<b<0，得a一b<0，贝y4a-b<1；由4a-b<1，得a一b<0，即a<b.故“a<b<0”是4a-b<1”充分不必要条件1—04C圆x2+2x+y2-15=0的圆心为C(T，°)，则CP丄MN.因为kcp=匹口)=1'所以kMN=—1‘故直线MN的方程为y=—x+1.5.B由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4，3)在该双曲线上.设该双曲线的方程为2a=4,兰—兰=1(a〉0,b〉0),a2b2则卜—3兰—兰=1(a〉0,b〉0),a2b26.A因为1〈迈<1.5，0・90.2<1，所以a〉c•因为log32〉1弩3二。5所以log36二log32+1〉L5，所以b〉a，故b〉a〉c7.A令2E-1<2x一|J2刼+1(kez)，解得E-卷JxJ"+善(keZ)，则f则f(x)的单调递增区间为k兀-(keZ).令22<2x一专<2皿eZ)，解得“-善<x<"+8(keZ)，则g(x)则g(x)的单调递增区间为k兀-(keZ),则[a,b]uk兀一叟，k兀+殳一128(keZ)，故b一a<8+12=尋8.B设BC二2a，则AA二4a.由题意易知堑堵ABC—ABC外接球的球心是矩形BCCB的中心,111111则堑堵ABC-则堑堵ABC-A1B1C1外接球的半径R满足R2=1寸丿AA丫(BC¥+——=5a2，从而4兀x5a2=40兀，解得a=*2，即AA=2BC=4J2.00.设AB二x,AC=y,则x2+y2二8，故xy<4，当且仅当x=y=2时，等号成立,1

故堑堵ABC-ABC的体积V=—xy-AA<8、辽.ii121BCD2a+=2(a—1)++2>2\：4+2=6，当且仅当a—2时，等号成立.a—1a—1ABD由题意可知该款服装7月份、8月份、9月份的销售额分别是12万元，6万元，6万元,则这3个月的销售总额为24万元，故A，B，D错误，C正确.AC当x—0时,f(0)=1丰0，所以x—0不是f(x)的零点；当x丰0时，由f(x)=0，即x2+3x+1—ax—0，得a—x+—+3，x则f(x)的零点个数等于直线y—a与函数y—x+-+3图象的交点个数.x作出函数y—x+丄+3的大致图象(如图所示)，由图可知A，C正确；B，D错误x12.CD由题意可知函数f(x)的定义域为(0,+8),从而f(x)<0等价于k(x+1)>4lnx+8，即转化为函数y—k(x+1)的图象恒在函数y—4lnx+8的图象上方.结合y—4lnx+8的图象(图略)可知，当直线y=k(x+】)与曲线y—4lnx+8相切时，k取得最小值.设直线y—k(x+1)与曲线y—4lnx+8相切时，切点为A(x,4lnx+8).00,4,44lnx+8整理得xlnx+x-1—000因为y—4lnx+8整理得xlnx+x-1—000x0xx+100设g(x)=xlnx+x-1，贝yg'(x)=lnx+2.由g，(x)>0，得x>—；由g，(x)<0，得0<x<丄.e2e2(x)在〔0,—、Ie2(x)在〔0,—、Ie2丿上单调递增,Ie2丿从而g从而g(x)=gminz+丄-1=-丄-1<0.e2e2e2当0<x<1时，xlnx<0,x一1<0，所以f(x)<0,当X=设A(x，yJ，B(x，y2)，则y+y2=p2，孕2设A(x，yJ，B(x，y2)，则y+y2=p2，孕2=-p2・即A(1，8),从而k=4，故k>4.013.由题意可得a+kb=(2-k,-3+2k).因为(a+kb)丄a，所以2(2一k)-3(-3+2k)=0,813即13-8k=0，解得k二-r1\7的展开式的通项为r1\7的展开式的通项为T=Crr+17=(-1)r•27-rCrx714.-4482長-一Ix丿7—3r令=2，得r=1，贝yT=-26C1x2=-64x7x2=-448x2.22715.3如图，取AC的中点D，连接BD，PD•因为AB=BC，所以BD丄AC.又PA丄底面ABC，所以PA丄BD，所以BD丄平面PAC，则ZBPD为pb与平面PAC所成的角.因为PA=1，AB=BC=3，AC=4迈，所以BD=1，PD=3，故tanZBPD=BD=-.3^216.16由题意可得3^216.16由题意可得F-2,0，则2一m=0，解得m=2，故直线1的方程为x=-2y+彳.16因为AFBF所以因为AFBF所以y1=-2y2,所以y2=-p2，则-2y；=-2p4=-p2，解得P=丁，PPx=—y+—,22整理y2-p2y-p2=0.、y2=2px,

31从而yi-y2=2，故△AB0的面积是-|031从而yi-y2=2，故△AB0的面积是-|0尸卜卜］—yj二迈33迈XX——421617.解：(1)设数列｛a｝的公差为d,nIa+2d—6,则s1，解得a—2,d—2.故a=a+5—1丿〃=2n.|9a+36d—90,1ni12)由等差数列前n项和公式可得Sn(2+2n丿n/丿——n\n+1丿，__1_1Sn(n+1丿nn+1n匚1)<111<1111—_++…+I2J123J(nn+1丿二1-故Tn18解：⑴从这15天中随机抽取4天的情况有C11种,其中符合条件的情况有CoC+C种,故所求概率P—C1C3+C41055C41510x10+5_115x13x7_13C3C1105C4154091?(2)由题意可知X的所有可能取值为C3C1105C4154091?p(x_0丿_导_13，p(x_1)—15P(X-2丿_爭-罟，P(X-3丿_甘-黑，P(X-4丿_菩-占151515则X的分布列为X01234P24030201139191273273故E(X丿-0X1+1X40+2X30+3X竺+4x丄-4139191273273319.(1)证明：取CD的中点G，连接EG，FG.因为F，G分别是被PC，CD的中点，所以FG〃PD，所以FG〃平面PAD.因为BC〃AD，且E、G分别是棱AB，CD的中点，所以EG〃AD,所以EG〃平面pad.因为EG,FGU平面EFG,且EGcFG—G，所以平面EFG〃平面pad.因为EFu平面EFG,所以EF〃平面pad.X(2)解：以A为原点，分别以AB,AD,AP的方向为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A—建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz.设AB=2，则A(0,0,0),C(2,2,0)因为F是棱PC的中点，所以F(1,1,1),,D(0,4,0),E(1,0,0),P(0,0,2).所以AE=(1,0,0),AF=(1丄1),CD=(-2,2,0),CF=(—1,—1,1).CD=(-2,2,0),CF=(—1,—1,1).设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)n-AE=x=0,1［一—i,令y=1,得n=(0丄—1).In-AF=x+y+z=01J111设平面CDF的法向量为m=(x,y,z),222m-CD=—2x+2y=0,一/、一—.22，令x=1，得m=(1,1,2).m-CF=—x—y+z=0J222设平面AEF与平面CDF所成的锐二面角为e,贝ycose=cos(m,n)p||n6x迈6-20.解：(1)由题意可知ZBAC=60°,BC=6.在AABC中，由定理可得BC2=AB2+AC2—2AB-ACcosABAC,即AB2+AC2—AB•AC=36.因为AB2+AC2>2AB-AC,所以AB2+AC2—AB-AC>AB-AC,即AB-AC<36.故AABC的面积S=*AB-ACsinABAC<2x36xf=9j3即养殖区AABC面积的最大值为9p3km2.(2)因为AB=4,ABAC=60°,所以AABC的面积S=1AB-ACsinABAC=、3AC.2在AABC中，由正弦定理可得ABsinAACBAC

sinAABC则AC二ABsinZABC

sinZACB则AC二ABsinZABC

sinZACB4曲血一ACB)二*2sinZACBtanZACB丨0°<120°—/acb<90°因为AABC是锐角三角形’所以L°</acb<90°,'所以30°</ACb<90°TTi所以tan/ACB>，所以0<<,3tan/ACB则2<+2<8，即2<AC<8.tan/ACB故S=、-'3ACe21.解：(1)当a=2时，f(x)=2(x—l)—(x+1)lnx，则广(x)=—1—Inx+1.x从而f'(e)=-丄-1+1=—丄，因为f(e)=2(e—l)—(e+1)=e—3，ee所以所求切线方程为y—e即y=一1x+e—2(或x+ey一e2+2e=0).e(2)设g(2)设g(x)=f(x)x+1ax—1—lnx，x+1则g'(x则g'(x)=(x*1)—a(x—1)2(1—a)x*1(x+1)2x(x+1)z当a<2时，因为x>1，所以x2+2(1—a)x+