微专题空间几何平行问题答案

数学微专题 空间几何平行问题1考法一平行传递性证线线平行1.四棱锥P-ABCD中，侧面pad为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=1AD,/BAD=ZABC=900.证明：直线BC//平面PAD;21【答案】见解析【解析】在平面.1以”内，因为£解吊厂1■川，所以巾'.户.又4’，平面「一13一；,口平面「，门.故勺，平面色.Q.考法二三角形中位线证线线平行.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点，求证：PC/平面BDE；【答案】见解析【解析】证明：连结AC,交BD于。，连结OE.因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC.

因为E为侧棱PA的中点所以OE〃PC.因为PCa平面BDE,OEu平面BDE所以PC〃平面BDE..四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA1平面ABCD,E为PD的中点，证明:PB//平面AEC；【答案】见解析【解析】连结BD交AC于点O,连结EO因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为的PD的中点，所以EO//PBEOu平面AEC,PBa平面AEC，所以PB/片面AEC考法三构造平行四边形证线线平行1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E,F分别为AD,PB的中点，求证：EF〃平面PCD.【答案】详见解析【解析】如图，取PC中点G，连接FG,GD.8・・•F，G分别为PB和PC的中点，・・.FGBC,且FG=1BC.・・,四边形ABCD为平行四边形，且E为Ad的中点，:.EDBC,DE=1BC2.・.ED||FG，且ED=FG,.,.四边形EFGD为平行四边形，，EFGD.又EF停平面PCD,GDu平面PCD,：.EF平面PCD. ||2.如图，在直四棱柱ABCD—A1B1clD1中，底面ABCD为梯形，AB//CD,/BAD=60,CD=1,oAD=2,AB=4，点G在线段AB上，AG=3GB,AA1=1，证明：DG//平面BBCC【答案】证明见解析【解析】证明：连接C1B，因为底面ABCD为梯形，AB//CD,AB=4=4CD,AG=3GB则GB//CD//D1cl，且GB=DC1=1,所以四边形GBC1J为平行四边形，则D1G//C1B.又C1Bu平面BBCC,DG仁平面BBCC,所以DG//平面BBCC.A G 出考法四三角形相似比证线线平行1.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA=<3,AB//CD,AD=DC=1,AB=2,E为侧棱PA上一- 1c点，若PE=3PA,求证：PC//平面EBD【答案】证明见解析【解析】设ACcBD=G，连结EG，由已知AB//CD，DC=1，AB=2，得空=照=2GCDC一1一, AE由PE=-PA，得生=2.3 EPAEAG在APAC中，由AE=AG，得EG//PC.EPGC因为EGu平面EBD，PCa平面EBD，所以PC//平面EBD.2.如图，在三棱柱ABC-A1B1cl中，侧面ABB］々是菱形，/BAA1=60。，E是棱BB1的中点，CA=CB,F在线段AC上，且AF2FC.证明：CBJ面EF

【答案】详见解析【解析】连接A4交A1E于点G【答案】详见解析【解析】连接A4交A1E于点G，连接FG因为^AGAABGE,所以普二AA1 1 GBEBa AF AFAG二2，又因为 二2，所以讦=，所以FGHCBFC FCGB 11又CB产面A1EF,FGu面A1EF，所以CBJI面EF.数学微专题 空间几何平行问题考法五线面平行性质证明线线平行1.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD上一点，且AE=1,F为PC上一点，当ED3PFPAII平面EBF时，FC=1【答案】4【解析】连接AC交be于点M，连接FMPAII平面EBF,PAu平面PAC,平面PAC平面EBF=FMPFAMAE_1FC—PFAMAE_1FC—MC―BC―42.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在dm上取一点G,过点G和AP作平面，交平面BDM于GH，点h在线段BD上.求证：APIIGH.【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接A。，设AC交BD于点。，连接MO・•四边形ABCD是平行四边形，•.O是AC的中点又M是PC的中点，・•.MO//PA.又MOu平面BDM,PA亡平面BDM,•.PA//平面BDM又PAu平面PAHG,平面PAHGc平面BDM=GH，,AP//GH3.如图所示，在多面体41B1D1-DCBA中，四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD］于F./_证明：EF//BC.【答案】见解析【解析】证明： BC=AD且AB=CD1 1 11・二四边形A1BCD为平行四边形，「.B1c//D,又B1c仁平面A]EFD,A]Du平面A】EFDB1c//平面AfFD,又因为平面A1EFD平面B1cD]=EF,BCu平面B,,,EF//Bf；n 考法六面面平行的性质证线面平行.如图①所示，在直角梯形ABCP中，APBC，AP1AB，AB=BC=1AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将“PCD沿CD折起，得到四棱锥P—ABCD，如图②所示.求证：在四棱锥P—ABCD中，AP〃平面EFG.【答案】见解析【解析】,「G为BC的中点，E为PC的中点，・・.GE〃BP,.・6£仁平面PAB，BPu平面PAB，・・・GE〃平面PAB，由F为PD的中点，得EF〃DC，・・・AB〃DC，・・・EF〃AB・・・EFU平面PAB，ABu平面PAB，・EF〃平面PAB，VEFAGE=E・・・平面EFG〃平面PAB，・「PAu平面PAB，・AP〃平面EFG.2如图，三棱锥P—ABC中，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上且BF=1PB，证明:4EF//平面ABC；

证明：如图，取AD中点G,连接GE,GF,如图C则GE//AC,GF//AB,因为GEAGF=G,ACAAB=A,所以平面GEF/平面ABC,所以EF/平面ABC考法七：面面平行1.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M,N,Q分别在PA,BD,PD上（不与端点重合），且PM:MA=BN:ND=PQ:QD.求证：平面MNQ//平面PBC.【答案】证明见解析【解析】证明 PM:MA=BN:ND=PQ:QD,.「.MQ//AD,NQ//BP••BPu平面PBC，NQZ平面PBC・•.NQ//平面PBC.••・・•底面ABCD为平行四边形，...BC//AD,\MQ//BC.BCu平面PBC,MQU平面PBC・tMQ//平面PBC.又MQNQ=Q根据平面与平面平行的判定定理，所以面MNQ〃平面PBC2.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1cl中，E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1cl的中点，求证：（1）B,C,H,G四点共面；（2）平面EEFAJ平面BCHG.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）G,H分别是々牛A1cl的中点，・•.GH是^ABC1的中位线，则GH〃B1cl,*又B1cl//BC,..GH//BC,B,C,H,G四点共面.（2）E,F分别为AB,AC的中点，・•.EF//BC••EF亡平面BCHG,BCu平面BCHG,，EF平面BCHG••又G,E分别是AB1,AB的中点，AB11AB，.」AG1EB•♦・二四边形A1EBG是平行四边形，「.A1E//GB,A1E亡平面BCHG,GBu平面BCHG,aE//平面BCHG,又A1EcEF=E,a平面EFA1//平面BCHG,考法八：动点问题1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的菱形，点F为棱PD的中点，在棱AB上是否存在一点E,使得AF〃面PCE,并说明理由；

【答案】见解析；【解析】在棱AB上存在点E,使得AF〃面PCE,^E为棱AB的中点.1 12理由如下：取PC的中点Q,连结EQ、FQ,由题意，FQ〃DC且FQ=-CD,AE〃CD且AE=-CD故AE〃FQ且AE=FQ.所以，四边形AEQF为平行四边形.所以，AF〃EQ,又EQu平面PEC,AFC平面PEC,所以，AF〃平面PEC.2.如图，在三棱柱ABC-A1B1cl中，点E,F分别是棱CC,B'上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2.若MB平面AEF，试判断点M的位置.【答案】M是AC的中点【解析】由题意知MB//平面AEF,过F,B,M作平面FBMN交AE于N,连接MN,NF.因为BF//平面AA1clC,