高三立体几何单元测试卷及详细答案

立体几何单元测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分．每小题中只有一项符合题目要求）•设m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列四个命题:若a〃”，mua,则m〃”②若m〃a,nua,则m〃n;③若a丄”，m〃a,则ma”；④若maa,m〃”贝ga丄”。其中为真命题的是（）A.①③B.②③C.①④D.②④•用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为兀则球的体积为（）A。错误!B。错误!C•8错误!nDo错误！3•某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示则这个几何体的体积为（）A•4B•2错误！20CoD•84.如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面积为3,体积为错误!，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）Ao错误!CoB.错误!

Ao错误!CoD-25•直三棱柱ABC-A1B1C1的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点则下列命题是假命题的是（）A•AB〃平面BDC11B•AC丄平面BDC11C•直三棱柱的体积v二4D•直三棱柱的外接球的表面积为4错误!nO6.如图所示是一个直径等于4的半球，现过半球底面的中心作一个与底面成80°角的截面，则截面的面积为（）A.错误！B•nC•2nD•nsin80°7•—个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）Ao错误！+错误！+错误！+1B•2错误！+3错误!n+错误！+1C.错误！+错误！+错误！D.错误！+错误！+错误！+18•二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB。已知AB二4,AC=6,BD=8,CD二2错误!，则该二面角的大小为（）A•150°B•45°C•60°D•120°9.如图所示，已知△ABC为直角三角形，其中乙ACB=90。，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么（）A•PA=PB>PCB•PA=PB<PCC•PA=PB=PCD•PAHPBHPC10•正方体ABCD-ABCD中，E是棱BB中点，G是DD中点，F是BC111111上一点且FB二错误!BC,则GB与EF所成的角为（）A•30°B•120°C•60°D•90°11•已知正方体ABCD-ABCD棱长为1,点P在线段BD上，当ZAPC11111最大时，三棱锥P-ABC的体积为（）1A。24B.错误！1C-9Do错误！12。已知正三棱锥P—ABC的高PO为h,点D为侧棱PC的中点，PO与BD所成角的余弦值为错误!，贝怔三棱锥P—ABC的体积为（）Ao错误hBo错误hC.错误!h3Do错误!h3二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分,把答案填在题中横线上）13．已知四个命题：若直线l〃平面4则直线l的垂线必平行于平面«；若直线l与平面«相交，则有且只有一个平面经过直线l与平面«垂直；若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等,贝这个三棱锥是正三棱锥；若四棱柱的任意两条对角线相交且互相平分，则这个四棱柱为平行六面体．其中正确的命题是．（2013・江苏）如图所示，在三棱柱ABC-ABC中,D,E,F分别是AB,111AC,AA的中点设三棱锥F-ADE的体积为V,三棱柱ABC-ABC的体积为11111V,则V:V二o212（2012・辽宁）已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为错误!的球面上，若PA,PB,PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为.•如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F、分别为PA、PD的中点，在此几何体中给出下面四个结论：直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线EF〃平面PBC;平面BCE丄平面PADo其中正确的有个．三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).(本小题满分10分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，乙ADC二45。，AD=AC=1,O为AC的中点，PO丄平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.⑴证明：PB〃平面ACM;⑵证明：AD丄平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.•(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中,PA丄平面ABCD,四边形ABCD为正方形，AB二4,PA=3,A点在PD上的射影为G点,E点在AB上，平面PEC丄平面PCD.⑴求证:AG〃平面PEC;(2)求AE的长；(3)求二面角E-PC-A的正弦值.19.(本小题满分12分)如图所示，在六面体ABC-DEFG中，平面ABC#平面DEFG,AD丄平面DEFG,ED丄DG,EF〃DG■且AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1.求证:BF〃平面ACGD;求二面角D-CG-F的余弦值.20.(本小题满分12分)如图所示在三棱柱ABC-ABC中，AC丄BC,AB111丄BB,AC二BC二BB二2,D为AB的中点，且CD丄DA.111⑴求证：BB】丄面ABC;求多面体DBC-ABC的体积；111求二面角C-DA-C的余弦值.1121.(本小题满分12分)如图所示在直三棱柱ABC-A1B1C】中，乙ACB二90°,2AC=AA=BC=2.1(1)若D为AA的中点，求证:平面BCD丄平面BCD;1111⑵若二面角B1-DC-C1的大小为60°，求AD的长.44。22.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD丄底面ABCD,侧棱PA=PD^.；'2,PA丄PD,底面ABCD为直角梯形，其中BC〃AD,AB丄AD,AB=BC=1,0为AD中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；⑵求B点到平面PCD的距离；线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为错误！？若存在，求出错误!的值；若不存在，请说明理由.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分.每小题中只有一项符合题目要求)1.答案C解析①为空间面面平行的性质，是真命题；©m，口可能异面，故该命题为假命题;③直线m与平面0也可以平行也可以相交不垂直•故该命题是一个假命题;④为真命题•故选C.2.答案B解析S二nr2二1r二1,而截面圆圆心与球心的距离d二1,二球的半径圆为R二错误！二错误！。•••V二错误!nR3二错误！，故选B。•答案D解析由三视图可知,该几何体如图所示,其底面为正方形,正方形的边长为2。HD=3,BF二1,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体的体积为错误!x2x2x4二8。答案C解析连接AC、BD交于点O,连接OE,易得OE〃PA.•••所求角为ZBEOo由所给条件易得OB二错误!，OE二错误!PA二错误!，BE二错误!。cosZOEB二错误！•乙OEB二60。，选C。5．答案D解析由三视图可知，直三棱柱ABC-ABC的侧面BCCB是边长为2的11111正方形底面ABC是等腰直角三角形,AB丄BC,AB二BC=2.连接BC交BC于点O,11连接AB,OD。在ACAB中,0,D分别是BC,AC的中点jOD〃AB,aAB11111〃平面BDC.故A正确.1直三棱柱ABC-ABC中，AA丄平面ABC,1111•AA丄BD。又AB=BC=2,D为AC的中点，1BD丄AC,「.BD丄平面AACC.11BD丄AC.又AB丄BC,AB丄BB,11111111AB丄平面BCCB,「.AB丄BC.1111111•.•BC丄BC，且ABGBC二B,「.BC丄平面ABC。111111111BC丄AC,「.AC丄平面BDC。1111故B正确.V=S^ABxC1C二错误!x2x2x2=4,^C正确.此直三棱柱的外接球的半径为错误!，其表面积为12n,D错误•故选Do6。答案C解析过半球底面的中心作一个与底面成80。的截面,截面是球的半个大圆,1半径为2,所以截面面积S=2xnx22=2n,故选C。7.答案A解析还原为直观图如图所示,圆锥的高为2,底面半径为错误!,圆锥的母线长为错误!,故该几何体的表面积为S二错误!x2x错误！+错误!x2nx错误!x错误!x错误！+处（错误!以错误！+错误!x2x1二错误！+错误！+错误！+1.8．答案C解析由条件，知错误!•错误！二0,错误!•错误！二0,错误！二错误！+错误！+错误!.•••|错误！|2=|错误！|2+|错误！|2+|错误!|2+2错误!•错误!+2错误!•错误！+2错误!•错误！二62+42+82+2x6x8cos〈错误!，错误!〉二（2错误!）2°「.cos〈错误！，—＞BD＞二-错误!，〈错误!，错误!〉二120。，・••二面角的大小为60°，故选C。9。答案C解析tM为AB的中点，△ACB为直角三角形，・・・BM二AM二CM,又PM丄平面ABC,「.RtAPMB兰RtAPMA兰RtAPMC,故PA=PB=PC.10．答案D解析方法一：连DE,DF,解三角形DEF即可.111方法二：如图建立直角坐标系D－xyz,设DA=1由已知条件，得G（0,0,错误!），B（1,10）,E（1,1,错误!），F（错误!，1,0）,错误！二（1,1,-错误!），错误！二（-错误！，0,-错误!）•cos＜错误！，错误!〉二错误！二0,则错误！丄错误！。故选D。11．答案B解析以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB】％z轴建立空间直角坐标系，设错误！二久错误!，可得P（心再由cosZAPC=错误!可求得当久二错误!时上APC最大，故V二错误!x错误!x1x1x错误！二错误!.P－ABC12.答案C解析设底面边长为a,连接CO并延长交AB于点F,过点D作DE〃PO交CF于点E,连接BE，则乙BDE为PO与BD所成的角，/-cosZBDE=错误!：P0丄平面ABC,aDE丄平面ABC,即厶BED是直角三角形，•.•点D为侧棱PC的中点，「.DE二错误！，.・.BE二错误!h。易知EF二错误旧则在Rt^BEF中，BE2=EF2+FB2,即错误！+错误！二错误!h2,「.a2二错误!h2,「.V二错误!x错误gx错误！P－ABCaxh=错误ah二错误h,故选C。二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上）13．答案④解析④正确，如右图，AC与BD互相平分，则四边形ABCD是平行四1111边形，同理四边形ABCD是平行四边形，则AB綊AB綊CD,因此四边形ABCD1111是平行四边形,进而可得这个四棱柱为平行六面体．4．答案1:24解析由题意可知点F到面ABC的距离与点A到面ABC的距离之比为1:12,S:S二1：4。△ADE△ABC因此V]:V2二错误！二1：24。15．答案错误!解析正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得，如图所示，PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径，且PF丄平面ABC.设正方体棱长为a,则3a2=12,a=2,AB=AC=BC=2错误!。Saabc二错误！x2错误!x2错误！x错误！=2错误！。△ABC由Vp-abc=Vb-pac，得错误!•h・Saabc=错误!x错误!x2x2x2,所以h二错误!，因此/3球心到平面ABC的距离为专.16．答案2解析将几何体展开图拼成几何体（如图），因为E、F分别为PA、PD的中点,所以EF〃AD〃BC,即直线BE与CF共面①错；因为B年平面PAD,EW平面PAD,E年AF,所以BE与AF是异面直线，②正确因为EF〃AD〃BC,EFG平面PBC,BCu平面PBC，所以EF〃平面PBC,③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．答案(1)略(2)略(3)错误!解析⑴连接BD,MO,在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点•又M为PD的中点，所以PB〃MO。因为PBG平面ACM,MOu平面ACM,所以PB〃平面ACM.⑵因为ZADC=45°,且AD=AC=1,所以ZDAC=90°,即AD丄AC.又P0丄平面ABCD,ADu平面ABCD,所以P0丄AD■而ACGPO二0,所以AD丄平面PAC。(3)取D0中点N,连接MN,AN。因为M为PD的中点，所以MN〃PO,且MN二错误!P0二1.由P0丄平面ABCD,得MN丄平面ABCD,所以乙MAN是直线AM与平面ABCD所成的角•在RMDA0中，AD=1,AO二错误!,所以DO二错误！。从而AN二错误!D0二错误！。在Rt^ANM中，tanZMAN二错误！二错误！二错误!，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为错误!。18．答案(1)略(2)错误!(3)错误!解析⑴证明:vPA丄平面ABCD,/.PA丄CD.XvCD±AD,PAnAD=A,.••CD丄平面PAD°「.CD丄AG。又PD丄AG,AG丄平面PCD。作EF丄PC于点F,连接GF,v•平面PEC丄平面PCD,.•.EF丄平面PCD..・.EF〃AG。又AGd平面PEC,EFu平面PEC,•••AG〃平面PEC。(2)解：由(1)知A、E、F、G四点共面,又AE〃CD,AEG平面PCD,CDu平面PCD,AE〃平面PCD。又•.•平面AEFGn平面PCD二GF,「.AE〃GF.又由⑴知EF〃AG,•••四边形AEFG为平行四边形，・・・AE二GF。•.•PA二3,AD=4,aPD=5,AG=错误！。9又PA2二PGPD,「.PG二匚.5又错误！二错误！，「・GF二错误！二错误!fAE二错误!.⑶解：过E作EO丄AC于点0连接OF,易知EO丄平面PAC,又EF1PC,OF丄PC。•ZEF0即为二面角E-PC-A的平面角.E0二AE・sin45°二错误!x错误！二错误！，又EF二AG二错误！，EOsinZEFO=-EF二错误M错误！二错误!.19．答案(1)略(2)错误！解析方法一：(1)设。6的中点为M,连接AM,FM.则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形.•MF〃DE,且MF=DE.•平面ABC〃平面DEFG,•••AB〃DE°.AB二DE,•MF〃AB,且MF二AB,・・・四边形ABFM是平行四边形..•.BF〃AM。又BFd平面ACGD,AMu平面ACGD,故BF〃平面ACGD。⑵由已知AD丄平面DEFG,「.DE丄AD.又DE丄DG,且ADGDG二D,.•.DE丄平面ADGC°tMF〃DE,.・.MF丄平面ADGC.在平面ADGC中，过M作MN丄GC,垂足为N,连接NF则ZMNF为所求二面角的平面角．连接CMov平面ABC〃平面DEFG,aAC#DM•又AC=DM=1,所以四边形ACMD为平行四边形，二CM〃AD,且CM二AD二2.vAD丄平面DEFG.aCM丄平面DEFG,aCM±DG.在RtACMG中，vCM二2,MG二1,•••MN二错误！二错误！二错误！。在Rt^CMG中，vMF二2,MN二错误！，二FN二错误！二错误！。.••cosZMNF二错误！二错误！二错误!.二二面角D-CG-F的余弦值为错误!.方法二:由题意可得,AD,DE,DG两两垂直,故可建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0,2),B(2,0,2),C(0,1,2),E(2,0,0),G(0,2,0),F(2,1,0)．(1)错误!=(2,1,0)-(2,0,2)=(0,1,-2),错误！二(0,2,0)-(0,1,2)二(0,1,—2),二错误！二错误！。「.BF〃CG.又BF平面ACGD,故BF〃平面ACGD.(2)错误！=(0,2,0)-(2,1,0)=(-2，1，0)．设平面BCGF的法向量为n1=(x,y,z),则错误！令y=2则n1=(1,2,1).则平面adgC的法向量n2=(1,0,0)./•cos<n1,n2>二错误!1x1==错误！。12+22+12X*12+。2+02由于所求的二面角为锐二面角，二二面角D-CG-F的余弦值为错误!.20．答案(1)略(2)错误!(3)错误!解析(1)证明:vAC=BC,D为AB的中点，.•.CD丄AB。又CD丄DA,ABnAD=D,11.••CD丄面AABB°.・.CD丄BB。111又BB丄AB,ABnCD二D,「.BB丄面ABC.11解：V多面体DBC-ABC二V棱柱ABC-ABC-V棱锥A-ADC11111111二IabEIAA!|-3S^ADC^IAAJ二S“bc・|AAJ-错误！X错误!\abc・|AA!|=错误JIAA」二错误!.(3)解以C为原点，分别以错误!，错误!，错误!的方向为X轴，y轴，z轴的正向,建立空间直角坐标系(如图所示),则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,0,2),C1(0,2,0),A1(0,2,2)．•D(1,0,1)．设ni=(xi，yi，zi)是平面DC。的一个法向量，贝有错误!即错误！二错误!故可取叫二(1,1,-1).同理设n2=(x2，y2，z2)是平面DC。的一个法向量，且错误！二(1,-2,1),错误!二(0,0,2).贝有错误!即错误!二错误!故可取n2=(2,1,0).cos〈叫，n2＞二错误！二错误！二错误!.又二面角C-DA]-q的平面角为锐角，所以其余弦值为错误!。21．答案(1)略(2)错误!解析(1)方法一:证明:vZACB=ZACB=90°,111BC丄AC。1111又由直三棱柱的性质知BC丄CC,111/.BC丄平面ACCA..••BC丄CD。①111111由D为AA]的中点，可知DC=DC】二错误!。.•.DC2+DC2二CC2,即CD丄DC■②111由①②可知CD丄平面B1C]D.又CDu平面BCD,故平面BCD丄平面BCD。1111⑵解：由(1)可知BC丄平面ACCA，在平面ACCA内过C作CE丄CD,11111111交CD或其延长线于E,连接EB,1•ZBEC为二面角B-DC-C的平面角.1111•ZBEC=60°.11由B1C]=2知，qE=错误！二错误!.设AD=x,则DC二错误!.•.•△DCC的面积为1,二错误!•错误!•错误！=1.解得x=\/2，即AD=错误!。方法二：(1)证明：如图所示，以C为坐标原点，CA、CB、Cq所在的直线分别为x,y，z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B](022),q(0,0,2),D(1,0,1),即错误！二(0，2,0)，错误!=(-1,0,1)，错误!=(1,0，1)．由错误!•错误!=(1,0,1)•(0,2,0)=0,得CD丄C1B1.—>由CD,•错误！=(1,0,1)•(-1,0,1)=0得CD丄Dq.又DCGCB=CCD丄平面BCD。111111又CDu