2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(三)答案

第1页/共1页2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（三）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求出集合A可得，从而可求解.【详解】∵，，∴.∴.故选:B.2.若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的共轭复数（）A.3－i B.3＋i C.1＋3i D.1－3i【答案】A【解析】【分析】根据复数运算法则进行化简计算，进而求出z的共轭复数.【详解】，故.故选：A3.已知角满足，则（）A. B. C.0 D.1【答案】C【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【详解】解：因为角满足，所以，即，所以，故选：C4.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量．则鲑鱼以0.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（）A.3 B.27 C.300 D.2700【答案】A【解析】【分析】根据题中函数关系式，令和，分别求出对应的，即可得出结果.【详解】因为鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼静止时，，此时，则，耗氧量为；当一条鲑鱼以的速度游动时，，此时，所以，则，即耗氧量为，因此鲑鱼以0.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为.故选：A.5.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题中定义，结合圆锥的侧面积和体积公式进行求解即可.【详解】设直角圆角的底面半径为，母线为，高为，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以有，因为直角圆锥的侧面积为，所以有，即，因此，所以该直角圆锥的体积为，故选：D6.甲、乙两人进行五局三胜制的乒乓球单打比赛，每局甲获胜的概率为．已知在第一局和第二局比赛中甲均获胜，则继续比赛下去，甲最终赢得比赛的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出甲第三局获胜的概率、第三局输第四局获胜的概率与第三局和第四局输第五局获胜的概率，相加即可.【详解】甲第三局获胜的概率为，第三局输第四局获胜的概率为，第三局和第四局输第五局获胜的概率为，所以甲最终赢得比赛的概率为.故选:C.7.如果圆上恰有两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出到原点距离为的所有点的轨迹，此轨迹表示的曲线与圆有两个交点即可.【详解】平面内到原点距离为的所有点的轨迹方程为,设圆的圆心为，则圆上恰有两个点到原点的距离为1,等价于圆与圆相交，即，.故选：D.8.已知椭圆的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使得，则的最小值是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】易知，设，根据，可得方程在区间上有解，，由，，可得，求解即可.【详解】易知，设，则.所以，即，即方程在区间上有解.令，因，，所以只需，即，解得，故的最小值是.故选:C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有3000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加舞蹈社团的同学有75名，参加合唱社团的有90名，则下列说法正确的是（）A.这五个社团的总人数为300名B.合唱社团的人数占五个社团总人数的30%C.这五个社团总人数占该校学生人数的10%D.从这五个社团中任选一人，其来自太极拳社团或舞蹈社团的概率为0.35【答案】ABC【解析】【分析】根据条件可得计算出五个社团的总人数可判断AC，进而可得合唱社团的人数占五个社团总人数百分比可判断B，计算出太极拳社团或舞蹈社团的人数，进而可判断D.【详解】由于参加舞蹈社团的同学有75名，该社团人数占比为，故社团总人数为人，故A正确；因为参加合唱社团有90名，合唱社团的人数占五个社团总人数的，故B正确；这五个社团总人数占该校学生人数的，故C正确；由题可得参加朗诵，脱口秀社团的学生人数为，故太极拳社团或舞蹈社团的人数为，所以从这五个社团中任选一人，其来自太极拳社团或舞蹈社团的概率，故D错误.故选：ABC.10.已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（）A.B.函数在区间上是增函数C.函数的图像关于点对称D.函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到【答案】BD【解析】【分析】先化简，再对四个选项一一验证：对于A：利用周期公式直接求解；对于B：直接判断在上的单调性；对于C：直接验证出点为对称中心；对于D：利用平移公式直接求解.【详解】函数.对于A：因为函数的最小正周期为，所以，又，所以.故A错误；所以.对于B：当，所以.因为在上单调递增，所以在上单调递增.故B正确；对于C：要求的对称中心，只需，解得：.所以的对称中心为.令，解得：.故不是的对称中心.故C错误；对于D：函数的图像向左平移个单位得到.故D正确.故选：BD11.对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如，．定义函数，则（）A.函数的最大值为1B.函数的最小值为0C.D.时，方程有5个不同实数根【答案】BD【解析】【分析】化简函数，利用数形结合法求解.【详解】解：，其图象如图所示：所以函数的无最大值，故A错误；函数的最小值为0，故B正确；，故C错误；由图象知：时，方程有5个不同实数根，故D正确；故选：BD12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.当m＞0时，函数的图象在点处的切线的斜率为B.当m＝l时，函数在上单调递减C.当m＝l时，函数的最小值为1D.若对恒成立，则【答案】ABD【解析】【分析】A.由m＞0直接求导求解判断；B.由m＝l，利用导数法求解判断；C.由m＝l，利用导数法求解判断；D.将对恒成立，转化为对恒成立，利用的单调性转化为对恒成立求解判断.【详解】解：，当时，，则，故A正确；当m＝l时，，令，则，所以在上递增，又，即在上成立，所以在上递减，故B正确；当m＝l时，，令，则，所以在上递增，又，，所以存在，有，即，则，当时，，当时，，所以，故C错误；若对恒成立，则对恒成立，设，则，所以在上递增，则对恒成立，即对恒成立，设，则，当时，，当时，，所以，则，解得，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中的常数项为______．（用数字作答）【答案】84【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求解.【详解】解：因为的展开式的通项公式为：，令，解得，所以的展开式中的常数项为，故答案为：8414.已知向量，，若，则______．【答案】【解析】【分析】利用向量的坐标运算表达出的坐标，从而可得，再求向量的模即可得出答案.【详解】向量，，，又，，，，故答案为：.15.若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先对求导，将问题转化为在上有解，即在上有解，利用换元法与基本不等式求出的最大值即可得解.【详解】因为，所以，则原向题等价于在上有解，即在上有解，即在上有解，令，则，，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时，所以，则，所以，即.故答案为：.16.如图，直三棱柱中，⊥，，，点P在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为______．【答案】【解析】【分析】先设出BP=x，，利用求出，结合基本不等式求出时，面积取得最小值，补形后三棱锥的外接球即该长方体的外接球，求出外接球半径和表面积.【详解】由勾股定理得：，设BP=x，，则，，，由得：，解得：，因为，故由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即该长方体的外接球，其中长方体的外接球的直径为，故半径为，故三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知公差不为零的等差数列满足，，成等比数列，．（1）求的通项公式；（2）记的前n项和为，求使成立的最小正整数n．【答案】（1）（2）12【解析】【分析】（1）设的公差为，利用等差数列通项公式可构造方程组求得，由此可得；（2）由等差数列求和公式可求得，由可构造不等式组求得的范围，由此可得结果.【小问1详解】设等差数列的公差为，由得：，解得：，.【小问2详解】由（1）得：，若，，即，解得：或；成立的最小正整数.18.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求C；（2）若点D在CB的延长线上，CB＝BD，AD＝l，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，结合，求出；（2）设，则，由正弦定理得到，从而表达出.【小问1详解】，由正弦定理得：，因为，所以，故，即，因为，所以，故，因为，所以，故【小问2详解】在中，，设，则，由正弦定理得：，即，解得：，故，因为，所以，的取值范围是.19.为进一步推动新能源汽车产业健康有序发展，财政部、工业和信息化部、科技部、发展改革委联合发布了《财政部、工业和信息化部、科技部、发展改革委关于2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策的通知》，进一步明确了2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策的有关要求．为了解消费者对新能源汽车的购买意愿与财政补贴幅度的关系，随机选取400人进行调查，整理数据后获得如下统计表：愿意购买新能源汽车不愿意购买新能源汽车购买时补贴大于1.5万15050购买时补贴不大于1.5万12080（1）能否有99%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关？（2）若从购买时补贴大于l.5万的样本中用分层随机抽样的方法抽取8人，从这8人中随机抽取3人调查购买意愿，记X表示这3人中愿意购买新能源汽车的人数，求X的分布列与数学期望．附：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510828【答案】（1）有99%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关（2）【解析】【分析】（1）列出列联表，根据列联表中的数据求出，对照附表可得.(2)先求出抽样比，然后再求出意购买新能源汽车的人中抽取的人数和不愿意购买新能源汽车的人中抽取的人数,根据题意求出的取值，算出每个取值的概率.【小问1详解】列联表如下：愿意购买新能源汽车不愿意购买新能源汽车合计购买时补贴大于1.5万15050200购买时补贴不大于1.5万12080200合计270130400可得所以有99%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关.【小问2详解】依题意，分层随机抽样的抽样比为，则所以在愿意购买新能源汽车的人中抽取人，在不愿意购买新能源汽车的人中抽取人；的所有可能取值有则所以的分布列为：故所以的数学期望为.20.如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，平面，且，的中点为．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明，即可证明（2）分别求出面和面的法向量即可求出二面角的余弦值.【小问1详解】由题意证明如下在平行四边形中，，∴，∴在四棱锥中，平面，∵∴∵，，∴∵∴【小问2详解】由题意及（1）得，平面，的中点为在平行四边形中，，，建立空间直角坐标系如下图所示由几何知识得，，，，，在面中，其一个法向量为在面中，，设其一个法向量为∴即，解得：当时，，二面角的余弦值为：21.已知抛物线的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于M，N两点，（O为坐标原点）的面积为．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，x轴上是否存在点Q，使得直线AQ的斜率与直线BQ的斜率满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）Q（-2，0）【解析】【分析】（1）由题意不妨设，然后由求解；（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，直接验证；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理由求解.【小问1详解】解：由题意，不妨设,则，解得，所以抛物线的方程为：；小问2详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，则，设，则，（），满足，存在；当当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，与抛物线方程联立消去y得，则，所以，则，即，解得，所以在x轴上存在点Q（-2，0），使得直线AQ的斜率与直线BQ的斜率