平行四边形(专题讲座含答案)

平行四边形（专题讲座1)例1．下面有四个命题：（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；(2）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边(3）行四边形.(4)一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。其中，正确的命题的个数( ）(A)1 （B) 2 (C) 3 (D) 4例D,以C为边在两侧各作一个正三角形为平行四边形。k例3．平行四边形相邻两边长5米和6米，一条对角线长为8米，另一条对角线长为 求k。k4．中，AB=AC，AD⊥BCDPBC上,PE⊥BCBA的延长线于EACF.（1）求证：2AD=PE+PF；（2平移P点在C,PE交A的延长线于EC的延长线于，AD，PE，PF满足的关系式，并证明你的结论。AFAFB D P C例在等腰三角形C的两腰C上分别取点E和使求证。例6．如图，在等腰△ABC中，延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE。。求证:∠BAC=100°。ABCD求证:对角AC与两正方形的顶点XY的联线互相垂直。平行四边形(专题讲座1答案）例1．下面有四个命题：（1)一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形;(2)一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线平分另一条对角线的四边形是一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形其中正确的命题的个数是（ ）(A）1 (B) 2 (C） 3 (D） 4解命题（1）是假命题。如图中的四边形ABCD,∠A=∠C，AB=CD，但它不是平行四边形。命题2）如图2E底边D至任意点，以O为对角钱ABCE，这时四边形ABCDAD=BCAO=OC，但它不是平行四边形。命题（4）也是假命题，如图（3）,四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD，BD垂直平分AC，但四边形ABCD不是平行四边形.下面证明命题（3)是真命题。如图（4）,四边形ABCD中，∠BAD=∠DCB，且命题。如图（4）,四边形ABCD中，∠BAD=∠DCB，且OB=OD，以O为中心，将△ABD逆时针旋转180°。∵OB=OD,∴D与重合,B与D重合，点A与射线OC上的点A′不是C,则∠BA′D＞。(A在线段C上，非点C（A′在线段OC的延长线上）都与∠BA′D=∠BAD=∠BCD矛盾，所以 A′即为C，即OA=OA′=OC，所以A′即为点C，即OA=OA′=OC，所以四边形ABCD是平行四边形。故选。PDOB例2PDOBAC为边在两侧各作一个正三角形ACQBPDQ.证明因△ACP与△ACQ都是正三角形,于是。故四边形PAQC为平行四边.连结PQ CAC于O。则OACPQ.连结BD，因ABCD是平行四边形，故BD与AC互相平分，即BD的中点也是O。 A因为PO=QO，BO=DO，所以BPDQ为平行四边形。Qk例平行四边形相邻两边长5米和6米一条对角线长为8米，另一条对角线长为 ，求kk。解 我们先来证明下面的平行四边形定平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和。 C D右图中ABCD是平行四边.作CE⊥AB,DF⊥AB，垂足为。显然则。 故BD2+AC2=BF2+FD2+AE2+CE2=(AB+AF）2+FD2+（AB-BE)2+CE2=（AB+BE）2+CE2+(AB-BE）2+CE2=2(AB2+BE2+CE2)=2(AB2+BC2)。

B E A Fk下面运用这个性质解答原题k

）2+82=2(52+62),k=58.例4．如图,在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D,点P在BC上，PE⊥BC交BA的延长线于E，交AC于F。（1）求证：2AD=PE+PF；EAFDPF'（2）PE,PBCBAE，AC的延长线于AD,PEEAFDPF'AFAFB CB D P C A'解 （1）如图,延长AD至A’,使A'D=AD，连结A’C，延长EF交A’C于F’.∵在△ABC中,AB=AC,且AD⊥BC,AD平分BC，即BD=CD．又Rt△ADC≌RtA’DCACD=A’CD为等腰三角形，FP=F’P。又A'C∥AB,∴四边形AA’F’E是平行四边形，∴ AA’=EF’，AA’=2AD,EF’=EP+PF’=EP+PF,故2AD=PE+PF。 E(2)AD、PE、PF满足关系式2AD=PE—PF。如图,延长AD到A’使A'D=AD,连接A’C并延长与EF相交于F’．则由(1)知PF=PF’，且AA'F’E是平行四边形，∴AA’=EF'，2AD=PE—PF’. AF'B D C PFA'ABCAB,AC上分别取点E。证明 作平行四边形ABCH，在HC上截取HG=AE,连结G显然四边形H和C也是平行四边形。A HCG=BE=AB-AE=AC-CF=AF。G在△EAF与△FCG中，AE=CF，∠EAF=∠FCG， EGAF=CG，所以△EAF≌△FCG。于是EF=FG。因2EF=EF+FG>EG=2，故EF≥1。FB C例6．如图,在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE。.求证：∠BAC=100°.AB证明 由图及已知条件中，AD=ED,△ADE AB为等腰三角形，其底角∠EAD必为锐角，所以等腰三角形ABC中，∠BAC为钝角，必是顶角。所以AB，AC是腰，有AB=AC。过C作AD的平行,与过D所作BC的平行线交于 C点连结易知BCFD为平行四边,因此D F∠EAD=∠ECF。在△ADE与△CEF中,AD=CE，AE=DB=CF，∠EAD=∠ECF，所以△ADE≌△CEF,于是ED=EF.ED=BC=DF，△DEF180设∠BAC=α，则∠ADF=∠ABC= 2 ，∠DAE=180º—α，∠ADE=180º-2∠DAE=180º-2（180º—α)=2α-180º.180由∠ADF+∠ADE=∠EFD=60º，得 2 +(2α—180º）