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文档简介

向量在抛物线中的应用由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介．因此，向量的引入大大拓宽了我们解题的思路与方法，使它在研究许多问题时获得广泛的应用．利用平面向量这个工具，可以简捷、规范地处理数学中的许多问题．下面来介绍向量在抛物线中的应用．1．解决共线问题例1如图1，设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且轴，证明：直线AC经过原点．证明：由抛物线方程，可得焦点，，准线为．令，A、F、B共线，则可设，所以有，由轴，可得．又由点A在抛物线上，得，∵点在抛物线上，，从而，即．而，所以，即共线，也就是直线经过原点．评注：向量，，共线的充要条件为或．2．探求动点的轨迹方程例2如图2，设点A和点B为抛物线上原点以外的两个动点，已知，．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．解：设．所以有，，，．∵，∴，即，化简，得．①又，∴，即，化简，得．②又A、M、B三点共线，所以，即有，即．③将①、②代入③式，化简整理，得．因为A、B是异于原点的点，所以．故点M的轨迹方程为，它表示以为圆心，以为半径的圆（去原点）．评注：在动点的形成过程中，若包含了比较复杂的变化方式，用正常的解析几何手段来解决往往显得较为繁琐，而灵活借助向量知识可达到化繁为简的目的．3．在证明中的应用例3过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，自A、B向准线作垂线，垂足分别为，求证：．证明：显然，设A、B两点的纵坐标分别为．由教材第9题的结论，得，则，于是，．故，所以，即，即．练习：（2022年全国高考天津卷理科试题）抛物线C的方程为，过抛物线C上一点作斜率为的两条直线分别交抛物线C于、两点（P、A、B三点互不相同），且满足．（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（2）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；（3）当时，若点P的坐标为，求为钝角时，点

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