九年级数学下册2023年中考专题培优训练 二次函数 B【含答案】

九年级数学下册2023年中考专题培优训练二次函数B一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）（2022·郴州）关于二次函数y=(x−1)A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是(−1，5)C．该函数有最大值，是大值是5D．当x>1时，y随x的增大而增大2．（3分）（2021·毕节）如图，已如抛物线y=ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为(−1，0)，对称轴为直线xA．abc>0 B．b2>4ac C．4a+2b+c>0 3．（3分）（2022·衢州）已知二次函数y=a(x−1)2−a(a≠0)，当−1≤x≤4A．12或4 B．43或−12 C．−44．（3分）（2022·襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝axA． B．C． D．5．（3分）（2022·通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x−1)A．y=(x−2)2−1C．y=x2+16．（3分）（2022·烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣12，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2A．①③ B．②④ C．③④ D．②③7．（3分）（2022·广安）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②2c﹣3b<0；③5a+b+2c=0；④若B（43，y1）、C（13，y2）、D（−13，y3）是抛物线上的三点，则y1<yA．1 B．2 C．3 D．48．（3分）（2022·南通）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC=4，∠ABC=60°，若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE=x，OEA． B．C． D．9．（3分）（2022·恩施）已知抛物线y=12x2−bx+c，当x=1时，y<0①b2>2c；②若c>1，则b>32；③已知点A(m1，n1)，B(m2，n2)在抛物线其中正确的有（）个.A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）（2022·日照）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x=32，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点(12，y1)，（3，y2）是抛物线上的两点，则yA．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)11．（3分）（2022·徐州）若二次函数y=x2−2x−312．（3分）（2021·贵州）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中－1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc>0；②2a+b<0；③4a−2b+c>0；④当x=m(1<m<2)时，13．（3分）（2022·武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度ℎ（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：ℎ=−5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间14．（3分）（2022·盐城）若点P(m，n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y15．（3分）（2022·长春）已知二次函数y=−x2−2x+3，当a⩽x⩽16．（3分）（2022·枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有．（填序号，多选、少选、错选都不得分）三、解答题（共7题，共72分）(共7题；共72分)17．（10分）（2022·温州）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．18．（10分）（2022·丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y（件）…908070…（1）（3分）直接写出y与x的函数关系式；（2）（3分）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？（3）（4分）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？19．（10分）（2022·资阳）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线（1）（3分）求证：△ABM∽△EBF；（2）（3分）当点E为BC的中点时，求DE的长；（3）（4分）设BE=x，20．（10分）（2022·济南）抛物线y=ax2+114（1）（3分）求抛物线的表达式和t，k的值；（2）（3分）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；（3）（4分）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+121．（10分）（2022·鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（−12，0），B（3，（1）（3分）求抛物线的解析式；（2）（3分）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）（4分）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22．（10分）（2022·南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点(13，13)是函数y=x图像的“（1）（3分）在①(−2，−12)；②(−1，−1)；③(1，1)三点中，是反比例函数y=（2）（3分）若y关于x的一次函数y=ax−3a+1图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）（4分）若y关于x的二次函数y=−(x−n)23．（12分）（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，经过点A(4，0)的直线AB与y轴交于点B(0，（1）（4分）求抛物线y=−x（2）（4分）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN=2时，求点M的坐标；（3）（4分）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】412．【答案】②④⑤13．【答案】214．【答案】1≤n＜1015．【答案】−1−16．【答案】①②③17．【答案】解：【任务1】以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为(0，0)，且经过点(10，−5)．设该抛物线函数表达式为y=ax则−5=100a，∴a=−1∴该抛物线的函数表达式是y=−1【任务2】∵水位再上涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m，∴悬挂点的纵坐标y≥−5+1.8+1+0.4=−1.8，∴悬挂点的纵坐标的最小值是−1.8．当y=−1.8时，−1.8=−120x2，解得∴悬挂点的横坐标的取值范围是−6≤x≤6．【任务3】有两种设计方案．方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．∵−6≤x≤6，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则1.6×4>6，若顶点一侧挂3盏灯笼，则1.6×3<6，∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-4.8．方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m，∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则0.8+1.6×(5−1)>6，若顶点一侧挂4盏灯笼，则0.8+1.6×(4−1)<6，∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-5.6．注：以下为几种常见建系方法所得出的任务答案．方法任务1任务2任务3建立坐标系函数表达式最小值取值范围灯笼数量横坐标一y=−3.24≤x≤1675.284.4二y=−3.2−6≤x≤67-4.88-5.6三y=−3.2−16≤x≤−47-14.88-15.618．【答案】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得：35k+b=9040k+b=80解得k=−2b=160∴y＝﹣2x+160；（2）解：根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，∴x＝50，答：销售单价应定为50元；（3）解：设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，而x≤54，∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．19．【答案】（1）证明：∵EF⊥AB，AM是∴∠AMB=∠EFB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABM∽△EBF；（2）解：过点E作EN⊥AD于点N，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，又∵AM是BC边上的高，∴AM⊥AD，∴∠AME=∠MAN=∠ANE=90°，∴四边形AMEN为矩形，∴NE=AM=4，在Rt△ABM中，BM=A又∵E为BC的中点，∴BE=1∴ME=AN=2，∴DN=8，在Rt△DNE中，DE=D（3）解：延长FE交DC的延长线于点G．∵sin∠B=∴45∴EF=4∵AB∥CD，∴∠B=∠ECG，∠EGC=∠BFE=90°，又∵∠AMB=∠EGC=90°，∴△ABM∽△ECG，∴CGBM∴CG3∴GC=3∴DG=DC+CG=3∴y=1∴当x=556时，y有最大值为20．【答案】（1）解：∵B(8，0)在抛物线∴64a+11∴a=−1∴抛物线解析式为y=−1当y=0时，−1∴t1=3，∴t=3．∵B(8，0)在直线∴8k−6=0，∴k=3∴一次函数解析式为y=3（2）解：如图，作PM⊥x轴于点M，对于y=−1∴点C（0，-6），即OC=6，∵A（3，0），∴OA=3，∵点P的横坐标为m．∴P(m，∴PM=14m∵∠CAP=90°，∴∠OAC+∠PAM=90°，∵∠APM+∠PAM=90°，∴∠OAC=∠APM，∵∠AOC=∠AMP=90°，∴△COA∽△AMP，∴OAPM∴OA⋅MA=OC⋅PM，即3(∴m1=3（舍），∴m=10，∴点P(10，（3）解：如图，作PN⊥x轴交BC于点N，过点N作NE⊥y轴于点E，∵P(m，∴点N(m，∴PN=−1∵PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠PNQ=∠OCB，∵∠PQN=∠BOC=90°，∴△PQN∽△BOC，∴PNBC∵OB=8，OC=6，∴BC=10，∴NQ=35PN∵EN⊥y轴，∴EN∥x轴，∴△CNE∽△CBO，∴CNBC=∴CN=5∴CQ+1∴CQ+1∴当m=132时，CQ+121．【答案】（1）解：将点A(−12，0)，B(（2）解：设点P(m，−m2+72m+2)，对于二次函数y=−x2+72x+2，当x=0时，y=2，即C(0，2)，CO=2，设直线BC的解析式为y=kx+c，将点B(3，72)，C(0，2)代入得：3k+c=72c=2，解得k=12c=2，则直线BC（3）解：①如图，当Q在BC下方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，设点H的坐标为H(s，t)，则2−t=3−ss=72−t，解得s=94t=54，即H(94，54)，设直线CH的解析式为y=px+q，将点C(0，2同理可得：此时点Q的坐标为(12，72)，综上，存在这样的点Q，点22．【答案】（1）②③（2）解：∵y＝ax−3a＋1＝a（x−3）＋1，

∴函数经过定点（3，1），

在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，

由图可知，C（2，−2），D（2，2），

∵一次函数y＝ax−3a＋1图象的“2阶方点”有且只有一个，

当直线经过点C时，

2a-3a+1=-2

解之：a＝3，

∴a=3时此时图象的“2阶方点”有且只有一个；

当直线经过点D时，

2a-3a+1=2

解之：a=-1

∴a＝-1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，

∴a的值为3或-1.（3）解：在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝−（x−n）2−2n＋1图象的“n阶方点”一定存在，

当n＞0时，A（n，n），B（n，−n），C（−n，−n），D（−n，n），

当抛物线经过点D时，

n=（-n-n）2-2n+1

解之：n1＝−1（舍），n2=14；

当抛物线经过点B时，

-n=（n-n）2-2n+1

解之：n＝1；

∴14≤n≤1时，二次