高考数学一轮复习讲义微专题33向量的模长问题代数法（含模长习题）(含详解)

PAGE1-微专题33向量的模长问题——代数法一、基础知识：利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系。要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题二、典型例题例1：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____思路：题目条件有SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0可求，且SKIPIF1<0可用SKIPIF1<0表示，所以考虑模长平方转化为数量积问题解：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入可求出：SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例2：若SKIPIF1<0均为单位向量，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：题目中所给条件与模和数量积相关，几何特征较少，所以考虑将SKIPIF1<0平方，转化为数量积问题，再求最值。解：SKIPIF1<0①SKIPIF1<0SKIPIF1<0①转化为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：B例3：平面上的向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________思路：发现所给条件均与SKIPIF1<0相关，且SKIPIF1<0可以用SKIPIF1<0表示，所以考虑SKIPIF1<0进行模长平方，然后转化为SKIPIF1<0的运算。从而求出最小值解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例4：已知平面向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：题目所给条件围绕着SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，所以考虑所求向量用这两个向量进行表示：SKIPIF1<0，从而模长平方变成数量积问题，可得：SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0视为一个整体，则可配方求出最小值解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：A小炼有话说：本题的关键在于选好研究对象，需要把已知的两个向量视为整体，而不是SKIPIF1<0例5：已知平面向量SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是__________思路：由SKIPIF1<0和夹角范围即可得到SKIPIF1<0的范围，从而可想到将SKIPIF1<0模长平方，再利用SKIPIF1<0转变为关于SKIPIF1<0的问题，从而得到关于夹角SKIPIF1<0的函数，求得范围。解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例6：已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：由条件可得SKIPIF1<0，所以考虑将SKIPIF1<0模长平方，从而转化为数量积问题，代入SKIPIF1<0的值可得到关于SKIPIF1<0的二次函数，进而求出最小值解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：D例7：已知直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为腰SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为__________思路：所求SKIPIF1<0难以找到其几何特点，所以考虑利用代数手段，在直角梯形中依直角建系，点SKIPIF1<0的纵坐标与梯形的高相关，可设高为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例8：如图，在边长为SKIPIF1<0的正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0上的动点，且满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：等边三角形三边已知，故可以考虑用三边的向量将SKIPIF1<0进行表示，从而模长平方后SKIPIF1<0可写成关于SKIPIF1<0的表达式，再利用SKIPIF1<0即可消元。解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：C例9：已知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时取到最小值。当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的取值范围是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：本题含两个变量SKIPIF1<0，且已知SKIPIF1<0范围求SKIPIF1<0的范围，所以考虑建立SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的关系式，SKIPIF1<0，从而考虑模长平方，向SKIPIF1<0靠拢，可得：SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0达到最小值时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以不等式等价于：SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：C例10：已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0（含端点）上的一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的范围是__________思路：本题由垂直和模长条件可考虑建系，从而用坐标来使用数量积的条件。如图建系，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，已知条件SKIPIF1<0，所求SKIPIF1<0模长平方后可得SKIPIF1<0，所以问题转化为已知SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的最大值。考虑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，寻找两个式子的联系，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，而另一方面：由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0（SKIPIF1<0符合直线SKIPIF1<0的方程）可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0时取等号），所以综上可得：SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0三、历年好题精选（模长综合）1、点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________2、已知SKIPIF1<0是两个互相垂直的单位向量，且SKIPIF1<0，则对任意的正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为_________3、已知SKIPIF1<0是单位向量，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的范围是_______4、在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，如果不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是_____________5、设直角SKIPIF1<0的三个顶点都在单位圆SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<06、已知向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<07、（2016，上海五校联考）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知圆SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在圆上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是_________8、（，湖南）已知点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，且SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<09、已知SKIPIF1<0为非零向量，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最小值，则向量SKIPIF1<0的夹角为_______10、（2016，重庆万州二中）已知单位向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<011、（2016，贵阳一中四月考）已知点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0习题答案：1、答案：SKIPIF1<0解析：SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是中线SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02、答案：SKIPIF1<0解析：SKIPIF1<0，代入已知条件可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03、答案：SKIPIF1<0解析：设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是单位向量，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为模长是SKIPIF1<0的向量，由已知可得SKIPIF1<0，所以数形结合可知：SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0的范围是SKIPIF1<04、答案：SKIPIF1<0解析：由余弦定理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<05、答案：C解析：由题意，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0共线同向时，取等号，即SKIPIF1<0取得最大值，最大值是SKIPIF1<0，6、答案：D解析：设SKIPIF1<0；以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为坐标原点建立平面直角坐标系，∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0表示以SKIPIF1<0为圆心，以1为半径的圆，SKIPIF1<0表示点A，C的距离即圆上的点与点SKIPIF1<0的距离；∵圆心到B的距离为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．7、答案：SKIPIF1<0解析：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由圆SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，半径SKIPIF1<0的圆上SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<08、答案：B解析：由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0为直径，因为该圆为圆心在原点的单位圆，所以SKIPIF1<0关于原点对称，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1