高数课件第八章

第八章空间解析几何与向量代数解析几何就是利用代数方法研究几何问题.本章的主要内容:数量积、向量积;向量及其线性运算;空间的曲面及其方程;空间的平面及其方程;空间的曲线及其方程;空间的直线及其方程。1四、利用坐标作向量的线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影第一节向量及其线性运算2一、向量的概念既有大小,又有方向的量，称为向量(矢量).用有向线段表示向量.有向线段的长度表示例如向量也可用一个字母表示.例如a,b,v,F

或向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.1.向量:2.向量的表示:与起点无关的向量。3.自由向量:若

大小相等,方向相同,则称

相等，4.两个向量相等:3向量的大小叫做向量的模，记作模等于１的向量叫做单位向量，记作模等于零的向量叫做零向量，记作零向量的起点和终点重合，其方向看作是任意的.两非零向量方向相同或相反,称两个向量平行,记作零向量与任何向量都平行.5.向量的模:6.两向量平行:规定：或因为平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线

.49.向量的夹角:特别地，两向量垂直记为与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面

.7.负向量:8.向量共面:.5这种方法称为向量加法的三角形法则。二、向量的线性运算作规定向量另外，有向量加法的平行四边形法则。(1)交换律向量加法的运算规律(2)结合律1.向量的加法：6

推广：n个向量相加,做法为：将n个向量首尾相接依次作出，然后从首向量的起点到末向量的终点引一向量即为和向量.72.向量的减法：规定两向量的差：不难证明：83.向量与数的乘法（数乘向量）特别地，⑴向量与数的乘积的规定：⑵运算规律:(1)结合律(2)分配律显然有记做它的模为：它的方向：9⑶定理1的充分必要条件是存在唯一的即即非零向量除以它的模等于与原向量同向的单位向量。显然与方向相同，又由于的模为：所以与的模也相同，因此有:⑷10解求：已知例1MA11坐标轴:x轴(横轴)；y

轴(纵轴)；z

轴(竖轴).三、空间直角坐标系右手系坐标原点：

o1.基本概念：12zyxo空间直角坐标系坐标面:13zyxo.

空间直角坐标系坐标面:14八个卦限zyxⅡⅢⅠⅣⅤⅥⅧoMxyNz(x,y,z)M(x,y,z)点的坐标空间直角坐标系坐标面:150zyxoMxyNz(x,y,z)(x,y,z)

M空间直角坐标系x横坐标y纵坐标z竖坐标16

x

轴上的点，坐标为

y轴上的点，坐标为z轴上的点，坐标为原点坐标坐标面和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特点，例如第一卦限:

第二卦限:

第三卦限:

第四卦限:

第五卦限:第六卦限:

第七卦限:第八卦限:

17x0zyM点的对称点关于xOy面:(x,y,z)(x,y,-z)关于x轴:(x,y,z)(x,-y,-z)Qo关于原点:(x,y,z)(-x,-y,-z)M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)空间直角坐标系182.向量的坐标表示:在空间直角坐标系下,任意向量r可用向径OM

表示.设点

M的坐标则为记

坐标轴方向的分向量,此式称为向量

r

的坐标分解式

,沿三个19四、向量的坐标运算设则注当中有一个或两个为零，中对应的值也为零.例如20解求例2

已知21得点M

的坐标点M

叫做有向线段的定比分点。当时,点M是有向线段的中点,其坐标为22五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间距离公式:则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与230zyxoNPQM(x,y,z)d1d2d3考虑:M点到坐标面的距离?M点到坐标轴的距离?24即为等腰三角形解例3求证以三角形是一等腰三角形.三点为顶点的解解得所求的点为例4在z轴上求与两点等距离的点.由题意即25例5设求以向量的平行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为:

对角线的长为:解为边262.向量的方向角与方向余弦:它与三条坐标轴的夹角：来表示它的方向。对于非零向量可以用称为向量的方向角。叫做的方向余弦.则有27所以，任一向量的方向余弦的平方和等于1。与非零向量同方向的单位向量为：28例6

已知计算向量的模，方向余弦和方向角。解29解

角依次为求点A

的坐标.因点A

在第一卦限,故于是故点A

的坐标为:向径OA

与x

轴y轴的夹设点A

的坐标为则例7

设点A

位于第一卦限,30解例8

已知求方向与AB一致的单位向量313.向量在数轴u上的投影：点A在轴u上的投影.如图，与轴u正向的夹角为，称为向量在轴u上的投影，