高等数学（MOOC）课件12 正项级数收敛性的判别方法_第1页
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雅各布∙伯努利与约翰∙伯努利关于级数的研究（2）证明的和小于2

雅各布∙伯努利：“如果谁能解决并告知这个迄今为止我们还无能为力的问题，我们将不胜感谢。”约翰∙伯努利的学生莱昂哈德∙欧拉解决了上述问题（1）证明调和级数发散正项级数收敛的充要条件比较判别法比值判别法与根值判别法定理1（正项级数收敛的充要条件）设

为正项级数，则该级数收敛的充要条件是其部分和数列

有界，即存在不依赖于n的正常数

M，使得若，则称级数为正项级数例1证明级数收敛.例２设

p>1为常数，则级数

收敛．p-级数非凡的结果！定理2（比较判别法的不等式形式）设

和

均为正项级数，且

，则有(1)当级数

收敛时，级数

也收敛；(2)当级数

发散时，级数

也发散．例3证明：当时，p-级数发散.例2

设级数

和

收敛，级数

的通项满足：

证明级数

也收敛．定理3（比较判别法的极限形式）设

和

均为正项级数，且

，则（1）当

时，级数

和

有相同的敛散性；（2）当

时，如果级数

收敛，那么

收敛；（3）当

时，如果级数

发散，那么

发散.例3判断级数的敛散性.．例4

设k为正整数，讨论级数的敛散性．定理4（比值判别法）设

为正项级数，且

，则有（1）当

时，级数

收敛；（2）当

时，级数

发散．达朗贝尔判别法例5利用比值判别法判断下列级数的敛散性．定理5（根值判别法）设

为正项级数，且

，则有（1）当

时，级数

收敛；（

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