三角形轴对称角平分线和垂直平分线应用集锦

角分和段垂直分知点解定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；定理2：到一个角的两距离相等的点，在这个角的平分线上。角平分线另一种定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设。那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做另一个的逆命题。如果一个定理的逆命题是经过证明的真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理。其中一个叫另一个的逆定理，虽然一个命题都有逆命题，但一个定理并不都有逆定理。定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

线段的垂直分线另一种义：线段的直平分线可看作和线段个端点距离相等的所有的集合。

例分

第阶例1.已知如图CD⊥AB于D，BE⊥AC于，且CD、BE相交O点求证：）当1=2时，OB=OC）当OB=OC时，1=2点：要证OB=OC，须证Rt△CEO与Rt全等由对顶角等与1=2的条件，即得证，反之成立。此是证明互逆命题。答：证明（）1=2，OE，OD∴OE=OD（角分线上的点角两边距离相等）∴OB=OC在△OEC与△ODB中∴△OEC≌△ODB）（2∵OE⊥AC，OD⊥AB∴△OEC≌△ODB（AAS）∴OEC=∴OE=OD

在△OEC与△ODB中说：利用平分性质定或判定定理，一定要注意垂直的条。例写出命题“角三角形两锐角互余”逆命题，并断它的真假点：在判逆命题时，明确互余的角必是锐角，另外在未一个三角形出判断之前般不称“锐”。答：解：命题是：有个角互余的角形是直角三角形。说：在写个命题的逆题时，并不将原命题的题设和结论单地互换，注意命题本的逻辑性。

例3.已知：如图1=2，BC⊥AC于C⊥AD于D，连结CDABE.求证AB垂平分CD点：要证结论“垂直分”，实际（1）AB⊥CD（2）CE=ED角相等和垂两个条件写后，再使用平分线性质理，得BC=BD，利用△CBE与△DBE全等得证。答：证明：∵1=2，BC⊥AC，BD⊥AD∴BC=BD（角分线上的点到这个角的两边的距离等）∵1+3=2+4=90°∴3=4（等角的余角等）在△CBE与△DBE中

∴△CBE≌△DBE（SAS∴CE=DE，CEB=DEB∵C，E，D三在同一直线∴AB⊥CD于E∴AB垂直平分CD说：用了平分线性质理，可代替全等三角形得到的结论简化证明过。

第阶例已知：如图AB=CD，AD=BC，AO=OC过点O任一直线交AB于，交CD于F

求证：（1）AD//BC（2D+（）BE=DF点：要AD//BC，须证3=4由已知件，可证得ADC≌得角等线段等的结论后再证△EOA与△FOC全等，再线段和、差证明：（1在△ADC与△CBA中∵AD//BC∴B+DAB=180°∵△ADC≌△CBA（SSS）∴3=4∴AD//BC

（2∵△ADC≌△CBA∴B=D∴D+DAB=180°∵DC=ABCF=AE∴AB-AE=CD-CF（3∵△ADC△CBA∴1=2在△FOC与△EOA中

即BE=DF∴△FOC≌△EOA（ASA）∴CF=AE

说：（1）利用三形全等可以明线段相等角相等（或补），也可证明两直线位置关系（平行或垂）（2）如果EF分别与AD延长线交，结论如呢？如果EF⊥AB，结论又如何呢？试一试，EF过O点动起来观察其特殊位置关系，看有什么结论？例求证：有两边其中一边上高对应相等两个锐角三形全等。点：对命题证明，先依题意，出符合条的锐角三角，再根据图，写出已知求证，利用等三角形知识进行证明已知：如图在锐角△ABC与△’B’C’中，’B，BC=B’C’，AD⊥BC于，A’D’⊥B’C’于D，AD=A’D’求证：△ABC≌△A’B’C’证明：在Rt△ABD与Rt△A’B’D中在△ABC与A’B’C’中

∴Rt△ABD≌Rt△A’D’（HL）∴B=B

∴△ABC≌△A’B’C’（SAS）说：（1）此类命中的两个三形，在画图，一般不具备特殊的位关系，证明在独立的两三角形间进。（2）命题明是个难点要加强文字语言与数学符号，言的转化训。例3.已知：如AD为△的平分线于E，DF⊥AB于F，EF交AD于M,求证：MF=ME点：要证MF=ME，要证所在三角形全等由AD是角分线条件可得DE=DF，3=4，则这个结论恰巧全等创造了极好的条件答：证明：∵AD为△ABC的角平分线

，在Rt△AFDRt△AED中DE⊥AC，DF⊥AB1+3=4=90°∴DE=DF

∴3=4

1=2在△FDM与△EDM中∴△FDM△EDM∴MF=ME说：在知条件中，角平分线，以在角平线上任取一向两边作垂，构造全等角形。第阶例已知：如图，正方形ABCD中，E对角线上一点，过点D作DG⊥AE交AC于F，G垂足。

求证：（1）△CDF≌△DAE）EF//AB点拨△CDF与△DAE中知正方形件可得到DC=ADDCF=ADE=45°须再证一边一角等，由BD⊥AC⊥AE，出1=2则CDG=证明：（1）∵四形ABCD正方形（2由△CDF≌△DAE得∴DC=DA∵AC与BD为角线∴3=ADE=45°4=5=45°AC⊥BD∵DG⊥AE∴在Rt△DFO与Rt△AFG1=2（等的余角相等

CF=DE∵AC，BD交于OABCD是正形∴DO=CO，DO⊥CO∴OE=OF△OFE等腰直角三形∵△OAB是等腰直角三角形∴OEF=OBA=45°

∴CDF=DAE∴EF//AB∴△CDF△DAE）说：在较复杂的形中，注意殊四边形，角形所隐含条件，如正形的对角线具有的性质平行四边形边，角，梯的中位线，角，等边三形的边与角等都具有特性质，结合目中的条件行选择性应。例已知：如图△ABC中，ACB=90°⊥AB于D，ABC的平分线交于G，

交AC于E，GF//AB交AC于F求证AF=CG点：AF不在某个角形中，所要借助于它等量来证明。由1=2，BG是公共边，以构造与△CGB全等的三角形所以过G作GH//AF就在必行。答：证：过G作GH//AF交ABH∵FG//AB∴四边形是平四边形∴AF=HG，A=

∵ACB=90°，CD⊥AB∴3=A=4∵BE是角平分线∴1=2∴△BCG≌△BHG）∴CG=GH=AF∴AF=CG说：把线用平行线转到其它三角中，借助于中介量证明段相等，还以在长线段截取某线段已知线段等例如图，在梯ABCD，AD//BC，E，F分是BD，AC的中点，BD平分ABC求证：）AE⊥BD（2）EF=（BC-AB）

点：在1）中，只须证△ABE与△ADE全等，在（2中，把延长，构造△ADE△GBE全等，得AD=BG，AB和等量AD转移到上。答：证明1）∵AD//BC（2）延长AE交BC于G∴2=3

可证△AED≌△GEB（ASA∴AB=AD∴AD=BG=AB∵E是BD的中点∴BE=DE

∵EF是△AGC的位线∴EF=GC∵1=2=3AE是公共边∴△AEB≌△AED∴AEB=AED

∵GC=BC-BG=BC-AD=BC-AB∴EF=（BC-AB）∴AEB=90°∴AE⊥BD

说：从直观看，图形不完善，可通作辅助线先善图形，如把AE延长后没有破坏原形的完整性，又构造了等形和图形有的对称性。例精例1.已知如图在ΔABC中AD是∠BAC的平线，DE⊥AB于E，DFAC于F，证：AD⊥EF。分析：欲证AD

⊥EF

，就要证∠AOE=AOF=

∠

°。所以要虑证ΔAEO≌ΔAFO。由题条件可知ΔAEO，ΔAFO已有一边（公边）一角对相等，只要出AE=AF问就解决了，以需先证明≌。证：是∠BAC的分线，，DF⊥AC（已）∴DE=DF

（角平分线的点到这个的两边距离等）在和RtΔAFD中∴RtΔAEDRtΔAFD(HL),

∴AE=AF(等三角形对应边相等)在ΔAEOΔAFO

∴ΔAEO≌ΔAFO,∴∠∠AOF(

全等三角形应角相等)∴∠AOE=

∠

°，∴AD⊥EF

（垂直定义。例写出下列定的逆命题，并判断真假(1)同角相等，直线平行。(2)如x=3，那么x2=9.(3)如ΔABC是直三角形，那当每个内角一个对应外时，ΔABC的三个角中只有两钝角。(4)如ΔABCΔA'B'C'，那么BC=B'C',AC=A'C',

∠ABC=∠A'B'C'。解：(1)的命题是：直线平行，位角相等，命题。(2)的命题是：2=9,则x=3。是一个命题。∵(-3)

=9,

∴

或x=-3.(3)的命题是：果ΔABC的每个内角取个对应外角，若三个外中只有两个角，那么ΔABC是直角角形。

它是一个假题，因为ΔABC还可能钝角三角形(4)的命题：如在ΔABC和ΔA'B'C'，BC=B'C'，AC=A'C'，∠ABC=∠A'B'C'，那么Δ≌ΔA'B'C'。这是一个假题，因为有边及其中一的对角对应等的两个三形不一定全等。例已知：图，M，N分别在∠的两边，求作一点，使点到M，N两点的距离相等且到∠AOB两边的离相等。作法：1、连结MN，线段MN垂直平线CD2、作∠AOB的平分OE，交CD于P，点P即为所。例在等腰直角角形ABC中，已知AB=AC，B的平线交ACD。求证：BC=AC+AD

分：图：BD为∠ABC

的平分线，

⊥AB，利用角平分的性质，可转化方法是作DE垂直于E则有AD=DE，容易得到DE=CE，AB=BE。证明：过DDE垂直BCE，∵

为∠ABC

的平分线，A=90°∴AD=DE（角平分线的质）在Rt和RtΔEBD中，∴RtΔABDRtΔEBD（HL）∴AB=EB∵ΔABC等腰直角角形（已知，∴∠C=45

°

DE垂直BC于E，∴∠

°，∴∠C=∠EDC=45

°，∴DE=EC等腰三角形性质）∴BC=BE+CE=AB+DE=AC+AD说：种方法是利角平分线的质作DEBC，实际上是长的线段BC上，作出了BE=AB=AC，以只要证明AD=EC就以证明结。相应的，可以将线段AB补长，方法如。方法二：如图，延长BA到M，使得AM=AD，接DM。证提：只要明三角形BDM和三角BDC全等即。（容易证∠∠C=45

°）例已知：如图∠∠2

，BC=BD求证：AC=AD。分析：注意利用图形的对称性，连结CD，只证明直线AB是线段CD的垂直分线。

证明：连结CDAB于点E，∵BC=BD∠∠

，∴

∴是等ΔCBD顶角平分线（三角角平分线定）垂直平分CD（等三角形顶平分线平分垂直底边）∴直线AE是线段CD的垂直平分线又∵点A在直线AE上∴AC=AD（线段直平分线上点到这条线两端点距相等。）说：可以证明ΔCBA和全。小结：主要内容是平分线的性定理和它的定理以及线垂直平分线性质定理及其逆定理能够利用它证明两个角等或两条线相等对于原命题逆命题的关系，要能说题设和结论比较简单的题的逆命题同练：一、写出下列命题的逆命题，并判断真假。（1）对顶角相等；

（2）两直线平行，位角相等。（3）如果a=-b,么a|=|b|。（4）若a·b=0,则二、填空题在等腰中AB=ACBAC=120

°的垂平分线交BC于DDC=6厘米∠DAC=_____,BC=_____,

点D到AB的距离______D到AC的距离为_____。三、已知如图，在Rt中，∠C=90°，AB垂直平线交BC于D，∠CAD∠DAB=12求∠B的度数。四、如图所，已知，三形ABC中，AB>AC,P在ABC的角平线AD上。求：AB-AC>BP-PC.五、如图：BF

⊥AC，CE

⊥AB，CE、BF交于D且BD=CD。求证：∠BAC

的平分线上

六、如图，在Rt中，∠C=90

°，AC=BC是∠BAC

的平分线，DE

⊥AB，垂足为E。求：ΔDBE的长等于AB。七、在中已知AB的直平分线交AC于E，ΔABCΔBEC的周长别为24厘米和14厘米，求AB长。答案：一、1.若两个相等，则这个角是对顶，假命题。2．同位角相等，直线平行真命题。3．如果|a|=|b|，那么a=-b，假命。4．若a=0,ab=0真命。二、9cm,1.5cm,3cm

三、∠

°四、提示：AB上取AE=AC，ΔBEP中，BP-PE<BE.五、提示：RtΔBDE

≌

ΔCDF，得DE=DF。六、提示：DE=CD可证ΔACD≌ΔAED，∴AC=AEΔDBE周长=DE+EB+BD=CD+BD+EB=BC+BE=AC+BE=AE+EB=AB。七、提示：如图，连接BE，BE=AE，AD=BD，∴三角形BEC的周长于BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC，AB=24-14=10（cm

专辅角分的用平线应。几何题中，常出现“已角的平分线这一条件。个条件一般下面几个方面的应用：（1）利用“角的平线上的点到个角的两距离相等”性质，证明条线段相等（2）利用角是轴对图形，构造等三角形（3）构造等腰三角。应用举例：

用角分的义例1.图，已知AB=AC，AD//BC求证AD平分∠证明：因AB=AC，故∠B=∠C又因AD//BC，∠1=∠B，∠2=∠C，

。故∠∠2

，即AD分∠EAC

。用等三形线一例2.方形ABCD中，CD的中，E是BC边上的一，且AE=DC+CE，证：AF平∠DAE。证明：连结并延长，交AD的延长线于G，则ΔFDG≌ΔFCE，故CE=DG，EF=GF，是AG=AD+DG=DC+CE=AE。又因EF=GF，故AF是等腰三形的底边上中线，于是平分∠。

用定定理：到一个角两边距离相等的点，在这个的平分线上。例3.如图已知ΔABC的两个外角∠、∠NCA的分线相交于P，求证点P在∠B的平分线上。证明：过P作PD

⊥AB，PE

⊥AC，PF

⊥BC，垂足分别是D、F，因P在∠MAC

的平分线上故PD=PE。又因P在∠ACN平分线上故PE=PF，是PD=PF，故点P在∠B

的平分线上4.和平线合用容易到等线基本图形：

P是∠CAB

的平分线上点，PD

∥AB，则有∠1=∠2=∠3

，所以AD=DP。例4.图，ΔABC中，∠B

的平分线与C

外角的平分交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。分析：由BD平分∠ABC，ED

∥BC，不难得出BE=DE。要证EF=BE-CF，就转为要证EF=DE-CF。面要证FD=FC，即证∠FCD=FDC

。由CD分∠ACG

∥BC，很容易得出FCD=∠FDC

，从而问题证。用角分的称。例5.图，已知在ΔABC中，AB>AC，ADΔABC的角平分，P是AD上点，求证AB-AC>PB-PC。

分析：证明等关系，一要把所证明有关线段放一个三角形。通过角平分线这一条可以构造全三角形：在AB上截取AC'=AC，则有Δ≌，AC'=AC,PC'=PC。在ΔBPC'，BC'+C'P>PB,即AB-AC'>PB-PC'，从而得出AB-AC>PB-PC中典1．（云南昆明）图，在ΔABC中AB=AC，DE是AB垂直平分，的周长14，BC=6，则AB的长_________。考：直平分线的质评析：因为DE是AB的中垂线可知AE=BE，ΔBCE的周长为14，BC=6所以BE+EC=8，而BE+EC=AE+EC=AC=AB=8。真题专练1．（安徽省）在ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的直平分线DE交于D，∠DBC的度数是________.答：1、15°

练习题1.选择（1在下列各组件中，能断△ABC≌△A’B’C的是（）。A.B.C.D.（2下列命题中正确的命是（）A.一边等的两个直三角形全等B.斜边等的两个直三角形全等C.两条角边对应相的两直角三形全等D.两个腰直角三角全等（3如图，ABCD是正形，P是BC上一点，延