大坝混凝土缺陷检测技术与方法研究结题报告

PAGEPAGE90大坝混凝土缺陷检测技术与方法研究长江水利委员会长江勘测规划设计研究院二○一○年十二月主持单位： 长江水利委员会长江勘测规划设计研究院参加单位： 课题组长: 课题副组长：报告编写：主要研究人员： 主要参加人员：技术参谋：内容提要本工程从实际出发，针对大坝混凝土质量无损检测工作的难点和特点，开展了从工作方法到处理方法，从模型试验到现场试验，从理论到实践的多方面研究。基于数学物理正、反问题理论，开发了二维波动方程和Maxwell方程的正、反演数学软件，利用正演理论模拟波在混凝土内部的传播规律，通过反演理论实现混凝土内部的无损检测。同时对正演模拟的结果以及实际数据进行信号处理，分析波在混凝土内部的传播机理，从正演和反演两方面对探测物进行研究，从而判断混凝土内部结构，另外，在可视化方面也做了一些工作。〔1〕在本工程中，确定了声涉及电磁波传播的数学模型，研究了二维情况下两种波场在混凝土中的传播规律，掌握了声涉及电磁波的响应特征；〔2〕信号中包含有各种不同特征的信息，本工程采用有效的信号分析手段，针对声波、电磁波波场特点对瞬时相位谱、小波分析、Hilbert变换、滤波去噪、反褶积、FFT等方法进行研究，提取有效信息，并将其成功应用到数据处理中；〔3〕采用屡次叠加的观测方式，利用速度分析及动校正的结果对共中心点数据进行屡次叠加，数据量的提升及屡次叠加的去噪功能可以提高波场的分辨率；〔4〕为了能够更好地解决混凝土无损探伤问题，对混凝土内部的参数〔介电常数、电导率或速度〕进行反演，使混凝土内部结构的刻画更加精细，同时更具可视性。〔5〕为了能够使本工程转化为实际应用，我们还在理论的根底上，开发了可视化界面，方便了地质雷达、声波反射实测资料的数据处理。〔6〕采用本工程的研究成果处理有关工程勘探与检测的实测资料，有效的改善了成像效果，验证了方法技术的正确性。目录TOC\o"1-3"\h\z第一章绪论 11.1立项依据 11.2国内外混凝土缺陷检测技术与方法研究及应用现状 11.3主要研究内容及技术路线 31.4主要成果及创新点 3第二章二维混凝土检测正演方法研究 22.1二维混凝土检测声波模型的建立 22.2二维混凝土检测电磁波模型的建立 32.3正演数值模拟 42.4数值算例 72.4.1电磁波正演模拟 72.5小结 25第三章信号处理 263.1信号分析 263.1.1快速傅里叶变换〔FFT〕 263.1.2一维Hilbert变换 273.1.3小波变换 28连续小波变换 28正交多分辨分析 29正交小波的尺度方程和构造方程 293.1.4二维瞬时振幅、瞬时相位、瞬时频率 323.1.5二维小波变换 333.2信号去噪 353.2.1二维中值滤波 353.2.2二维均值滤波 363.2.3Karhunen-Loeve变换 373.2.4FIR频率滤波 393.2.5预测反褶积 403.2.6稀疏反褶积 403.3实际资料的处理 403.3.1探地雷达资料的处理 403.3.2声波反射资料的处理 473.3小结 54第四章混凝土检测的屡次覆盖方法研究 554.1屡次覆盖观测系统 554.2速度分析 554.3动校正 574.4水平叠加 594.5小结 62第五章二维混凝土检测反演研究 635.1模型的建立 635.1.1方程的提出 635.1.2边界条件，初始条件及附加条件 635.2H1〔全变分〕正那么化方法 645.3多重网格方法 655.4数值模拟 675.4.1声波反演数值模拟 675.4.2电磁波反演数值模拟 705.5小结 73第六章软件实现 746.1可视化界面 746.2界面参数说明 866.3混凝土无损检测软件使用说明 87第七章结论 88第一章绪论1.1立项依据混凝土是目前工程建筑中最主要的结构材料之一，由于设计、施工质量控制不严、自然灾害或结构老化等原因，混凝土结构在使用过程中不可防止地存在如裂缝、蜂窝、孔洞、磨损和侵蚀等损伤，危及整个结构的平安，混凝土无损探测己成为世界范围内关注的问题。20世纪80年代以来，随着科学技术的开展，无损检测技术已突破了原有的范畴，涌现出一批新的测试方法，包括微波吸收、红外热谱、脉冲回波等新技术。目前，混凝土结构无损检测根底理论方面的研究主要集中在两个方面，其一是混凝土强度理论及无损检测常用物理量的关系；其二是混凝土结构中波的传播机理。但是由于边界条件或初始条件极其复杂，致使物理波场与介质响应的理论分析面临较大困难。就弹性波检测技术方面而言，在混凝土裂缝探测、路基根底及工程质量检测方面，人们开展了很多深入的理论和实验研究，在实验条件下往往都能取得好的检测效果，但真正能在实际工程中取得较好效果的研究成果并不多见。电磁波在混凝土介质中的响应问题，关键是弄清电磁波对地下埋入目标电磁波散射特性，目前主要集中在模型和算法研究上；就实用性而言，目前还没有关于复杂探测对象、浅表媒质及干扰假目标之间电磁波相互作用的定量研究成果的报道，使我们对电磁波在浅层复杂介质中的传播及散射过程缺乏足够认识。电磁涉及声波的无损检测是以探地雷达和声波反射为检测工具，但探地雷达和声波反射的数据处理和解释工作，与对空雷达理论系统、地震勘探信号处理、以及日渐成熟的硬件技术相比拟时，会发现其还远未到达系统、成熟的阶段。另外，我们发现：(1)混凝土是一种极为复杂的物理介质，其介电常数等参数具有不确定性，人们对混凝土中电磁涉及声波作用过程与响应特征还不十分清楚，混凝土中波速无法准确确定。(2)雷达及声波反射图像处理上目前主要靠人工分析和识别，效率不高。并且由于人的主观意识的作用常会出现误判和错判等问题，急需开发高精度的自动识别系统。(3)尽管作为探地雷达和声波反射理论根底的波散射理论研究已有诸多报道，但现有探测目标波散射的理论只能给出探测目标散射的体积效应，没有目标局部细节信息。(4)根据实际问题的需要，求解区域的网格节点数可能会到达上万个。现有的理论和方法均满足不了处理的要求，这对数学理论和方法提出了更高要求，必须研究快速、精细的正反演方法。此外，由于待反演参数向量维数的巨大，问题的非线性性和不适定性的程度都显著增加，导致了解的个数或局部极小点的个数大量增加，因此还要考虑反演方法的全局收敛性问题。因而，对声涉及电磁波在有耗色散介质中传播理论为根底的混凝土无损探测方法进行深入、系统的研究，具有十分重要的理论意义和实践意义，开展可视性强、识别精度高的数值反演成像方法并形成可操作强的检测软件。1.2国内外混凝土缺陷检测技术与方法研究及应用现状早在30年代初，人们就开始探索和研究混凝土无损检测方法，并获得迅速的开展，1930年首先出现了外表压痕法，1935年格里姆〔G·Grimet〕.艾德〔J·M·Ide〕把共振法用于测量混凝土的弹性模量。1948年施米特〔E·Schmid〕研制成功回弹仪。1949年加拿大的莱斯利〔Leslide〕、切斯曼〔Cbeesman〕和英国的琼斯〔Jons〕、加特费尔德〔Gatfield〕首先把超声脉冲检测技术用于结构混凝土的检测，开创了混凝土超声检测这一新领域。接着，又使用放射性同位素进行混凝土密实度和强度检测，这些研究为混凝土无损检测技术奠定了根底。随后，许多国家也相继开展了这方面的研究，如前苏联、罗马尼亚、日本等国家在50年代都曾取得许多成果。60年代，罗马尼亚的费格瓦洛〔I·Facaoaru〕提出用声速、回弹法综合估算混凝土强度的方法，为混凝土无损检测技术开辟了多因素综合分析的新途径。60年代声发射技术被引入混凝土检测体系，吕施〔H·Rusch〕、格林〔A·T·Green〕等人先后研究了混凝土的声发射特性，为声发射技术在混凝土结构中的应用打下了根底。80年代中期，美国的MarySahsatone和NicholasJ·Garino，实现了在水泥混凝土等集结型非金属、复合材料中采用机械波反射法进行无损检测的目标，此外，无损检测测的另一个分支－钻芯法、拨出法、射钉法等半破损法也得了开展，从而形成了一个较完整的混凝土无损检测方法体系。GPR技术对于混凝土结构的探测以英国利物浦大学土木系的J.H.Bungey和S.G.Millard[1]等人所做的各种类型研究为代表。J.H.Bungey等使用一种具有和混凝土相似的电磁性质和导电性能的油水乳胶体来代替混凝土，通过试验研究了在乳胶体内不同直径、不同埋深的钢筋所测得的雷达图像对钢筋的保护层、钢筋间距、埋深及钢筋对其下的钢筋和空洞的影响做了深入细致的研究并得出了具有指导意义的结论。从理论的角度看，Cui等[2]在频域积分方程Born近似的意义下设计了一些有效的反演算法。J.R.Ernst等[3]研究了跨孔雷达数据的全波形反演，用共轭梯度法实现了介电常数与电导率的同时反演，虽然所使用的反演理论和方法较为经典，但其结果充分说明了全波形数值反演方法相较于射线方法和逆散射方法的优越性，令人振奋。F.Soldovieri等[4]在探测火星地表下的介质结构时，提出了GPR结合微波断层的新技术，得到了满意的结果。O.Brandt等[5]将探地雷达的应用领域进一步扩大，他们通过对南极洲等地进行雷达探测，研究了冰川消融的问题，为环境问题的研究提供了一个新颖而有力的工具。在以Maxwell方程为理论依据的根底上，M.Fragiacomo等[6]提出了一种新的有限元模型对钢筋混凝土横梁进行探测。H.Diab等[7]对一般的Maxwell方程进行了修改和拓展，并将这种模型成功地应用于玻璃钢混凝土界面的探测。在国内，GPR技术在混凝土结构中的应用研究以实际工程为主，例如徐美庚等[8]对后张预应力混凝土铁路桥梁构件进行检测，得出了梁体腹板内最外层钢筋骨架分布及其保护层厚度、预应力钢束的分布和位置，预应力管道灌浆与未灌浆雷达图像的比拟。谢雄耀等[9]在原上海汇丰银行大楼的加固中，使用900MHz和1200MHz的高频天线探测出了混凝土保护层的厚度、楼板厚度及内部的钢筋间距、梁内型钢尺寸及箍筋间距。在理论方面还没有基于探地雷达的混凝土检测方面的成果，一些工作是一般性的。例如，刘四新等[10]研究了用有限差分法进行频散介质中雷达波的数值模拟，并提出了一种新的吸收边界条件。周奇才等[11]利用基于时间域有限差分法〔FDTD〕模拟软件GprMax2D，进行探地雷达地质图像模拟，并进行复杂地质条件下的雷达图像识别。肖明顺等[12]引入一种新的吸收边界：单轴各向异性理想匹配层〔UPML〕，实现对有损耗介质中雷达波传播的数值模拟，UPML的计算精度都较Mur二阶吸收边界和GPML高。底青云等[13]用有限元方法研究了有耗介质时域GPR速度与介电常数的联合反演。王兆磊等[14]从二维Maxwell方程出发，推导出波形反演公式，实现了介电常数与电导率的同时反演。在超声涉及声波反射方面，杨文采等采用带阻尼的LSQR迭代算法进行反演成像[15],将声波CT技术用于首都机场高速公路某钢筋混凝土桥台的质量检测,取得了良好的效果;王五平等用声波层析成像方法检测了混凝土灌注桩的质量[16];何良军用弹性波层析成像检测混凝土桥墩灌浆加固情况[17];赵明阶用超声波层析成像方法对混凝土损伤情况进行了研究[18];Bondetal.用声波走时成像对混凝土坝体质量作了研究[19];张震夏等用声波CT对混凝土大坝缺陷进行了检测[20],所用电火花震源产生声波穿透距离可达近百米,实际应用说明:其自行研发的ST-2100声波CT系统优于日本OYO的层析系统;刘国华等将声波CT用于检测某商住楼混凝土柱的强度缺陷[21],取得了较好的效果。以上研究对CT技术在混凝土检测中的应用起到了很大的推动作用。1.3主要研究内容及技术路线1、混凝土中声涉及电磁波作用过程与响应特征研究针对混凝土的缺陷问题，研究电磁涉及声波与混凝土缺陷的波场响应过程，研究混凝土缺陷的波散射特征，为数据处理提供理论支撑。2、混凝土无损检测模型研究混凝土探地雷达及声波反射无损探测模型来源于探地雷达波方程和声波方程，它描述了电磁脉冲和声波在媒质中的传播特性，和其它波传播现象所遵循的规律一样，它同样也可归结为由方程、本构关系及其边界条件所构成的模型。但与传统探空雷达的不同之处在于，探地雷达与声波反射是在有耗媒质中传播的，存在着高频衰减，并且在应用的频率范围内，类似混凝土等有耗媒质同时还是色散媒质，即其参数与外加鼓励场的频率有关，因此在模拟计算探地雷达及声波反射的性能时，必须将混凝土的有耗、色散等特性纳入到考虑的因素之中。另外，还要设置合理的吸收边界条件。3、观测系统的研究混凝土是一种比拟复杂的介质，传统的单发单收系统由于观测方式的缺陷缺乏以精细反映混凝土内部的构成，为了压制规那么干扰波，提高信噪比，重复利用单发单收和单发多收的观测数据，然后对数据进行抽道，形成屡次叠加的观测方式，从而提高观测分辨率。4、快速正演算法研究快速、准确的正演方法不仅是模拟电磁涉及声波的一种重要手段，同时也是大规模(largescale)反演问题的重要根底，任何反演方法都离不开反复的正演计算。本工程将研究差分方法，将它应用于Maxwell方程及声波方程的正演模拟。它不仅能够克服问题本身的非线性性，还可以根据求解区域内部参数分布的非规那么性和解的奇性，既求出解的整体趋势，同时又很好地描述解的局部特征，从而极大地提高计算效率。5、混凝土无损检测反问题研究反演工作，是一个大规模的计算问题。混凝土是一种非均匀各向异性复合材料，其无损探测问题是一个对分辨率要求很高的问题，想要实现稳定、快速、高效、全局收敛的精细反演方法是一个非常困难的问题，必须考虑用特殊的方法从多个方面综合加以解决。这主要包括：以Maxwell方程及声波正问题为约束的有界变分正那么化泛函的构造，它可有效克服Tikhonov正那么化方法过度光滑的问题，适合于对边界不光滑介质和裂缝的检测；反演过程中敏感度矩阵与向量的乘积的计算问题〔从而大幅度减少存储量〕；稀疏矩阵技术的应用，从而实现全局收敛反演并最大幅度地提高效率等。6、实际资料处理初步处理工程勘探与检测的实测资料，形成成像成果剖面，既验证理论和方法，又解决工程实际问题。1.4主要成果及创新点本工程根据混凝土自身的性质研究混凝土中电磁涉及声波作用过程与响应特征，建立了合理的混凝土无损探测模型。研究了混凝土〔有耗色散介质〕中带有吸收边界条件的电磁波传播的Maxwell方程及声波方程定解问题和快速的正演模拟方法。提出了屡次覆盖的观测系统，并实现了屡次覆盖的高分辨率及去噪声作用。针对多测量资料，研究Maxwell方程和声波方程反问题理论与稳定、快速、高效、全局收敛的精细反演方法，实现混凝土无损探测技术由定性向定量的转化。成果可用于对混凝土中目的体性质及位置的智能化解释。本工程的主要成果和创新点如下：〔1〕就实用性而言，目前还没有关于复杂探测对象之间电磁波或声波相互作用的定量研究成果的报道，使我们对电磁波或声波在混凝土中的传播及散射过程缺乏足够认识。本工程基于电磁场TM问题及声波模型给出电磁涉及声波与混凝土缺陷的波场响应过程及波散射特征。〔2〕基于Maxwell方程和声波方程的混凝土检测模型研究了包括了有耗色散和频散等复杂情况，采用了更加符合实际的工程物探吸收边界条件，使勘探结果更准确。〔3〕屡次重复用单发单收及单发多收的观测系统，抽取共中心点的道集，形成屡次覆盖的观测系统，压制干扰波、提高信噪比。〔4〕所提出的混凝土无损检测反演策略、各种反演方法和计算技巧均具创新性，不仅是混凝土探测问题方面的重要工作，同时也是对电磁场和声波反演理论的重要奉献。参考文献:[1]J.H.Bungey,S.G.Millard,Useofimpulseradarasamethodforthenon-destructivetestingofconcreteslabs,BuildingRescarchandInformation,1992,20(3):152-156[2]T.J.Cui,Y.Qin,G.L.Wang,Low-frequencydetectionoftwo-dimensionalburiedobjectsusinghigh-orderextendedBornapproximations,InverseProblems,2023,(20):s41-s62[3]J.R.Ernstetal，Full-waveforminversionofcrossholeradadatabasedon2-Dfinite-differencetime-domainsolutionsofMaxwell’sequations,IEEETransonGeoscienceandRemoteSensing,2023,45(9):2807-2828[4]F.Soldovieri,G.Prisco,S.Hamran,ApreparatorystudyonsubsurfaceexplorationonMarsusingGPRandmicrowavetomography,PlanetaryandSpaceScience,2023,InPress,AcceptedManuscript[5]O.Brandt,A.Taurisano,A.Giannopoulos,J.Kohler,WhatcanGPRtellusaboutcryoconiteholes3DFDTDmodeling,excavationandfieldGPRdata,ColdRegionsScienceandTechnology,2023,55(1):111-119[6]M.Fragiacomo,C.Amadio,M.Asce,L.Macorini,Finite-ElementModelforCollapseandLong-TermAnalysisofSteel–ConcreteCompositeBeams,Journalofstructuralengineering,2023,130(3):489-497[7]H.Diab,Z.S.Wu,Alinearviscoelasticmodelforinterfaciallong-termbehaviorofFRP-concreteinterface,Composites:PartB,2023,39:722-730[8]徐美庚,殷宁骏,杨梦蛟等,一种新的混凝土桥梁无损测试技术,中国铁道科学,1999,20(3)61-69[9]谢雄耀,李永盛,黄新材,地质雷达检测在保护性建筑结构加固中的应用,同济大学学报,2000,28(1):19-23[10]刘四新,曾昭发，频散介质中地质雷达波传播的数值模拟，地球物理学报，2023,(1):320-326[11]周奇才，李炳杰，郑宇轩，何自强，基于GprMax2D的探地雷达图像正演模拟，工程地球物理学报，2023,5(4):396-399[12]肖明顺，昌彦君，曹中林，金钢燮，探地雷达数值模拟的吸收边界条件研究，工程地球物理学报，2023,5(3):315-320[13]QingyunDi,MeigenZhang,andMiaoyueWang,Time-domaininversionofGPRdatacontainingattenuationresultingfromconductivelosses,Geophysics,2023,71(5):103-109[14]王兆磊,周辉,李国发，用地质雷达数据资料反演二维地下介质的方法，地球物理学报，2023,(3):897-904[15]杨文采,杜剑渊.层析成像新算法及其在工程检测上的应用[J].地球物理学报,1994,37(2):239-244.[16]王五平,宋人心,傅翔,等.用超声波CT探测混凝土内部缺陷[J].水利水运工程学报,2023,(2):56-60.[17]何良军.层析成像技术在桥墩灌浆加固质量检测中的应用[J].岩土工程界,2001,4(10):55-57.[18]赵明阶.结构混凝土损伤的超声成像模型研究[J].重庆交通学院学报,2001,20(增):87-99.[19]BondLJ,KeplerWF,FrangopolDM.Improvedassessmentofmassconcretedamsusingacoustictraveltimetomography[J].Constructionand[20]张震夏,张进平,李平,等.混凝土大坝声波层析检测系统[J].大坝与平安,2023,(2):39-43.[21]刘国华,王振宇,孙坚.弹性波层析成像及其在土木工程中的应用[J].土木工程学报,2023,36(5):76–8.第二章二维混凝土检测正演方法研究2.1二维混凝土检测声波模型的建立在建立数学模型之前，需要对混凝土构件作一定的假设：〔1〕混凝土材料均匀且各向同性，在拉伸与压缩特性方面存在明显差异，而且也不是均匀的，但在微米级的弹性振动情况下，仍然可以近似满足这一假设条件，或这种差异可忽略不计。混凝土材料在作为整体力学性质上等效成为一种匀质材料，这种材料的缺陷反映了混凝土强度的变化。〔2〕混凝土构件的受激振动在弹性限度内，它在振动时，体内各质点的位移、应力和应变之间的关系都服从弹性胡克定律。低应变动力测试中，由于激振力很小，并且是可以控制的，故混凝土构件的振动近似可满足这一假设条件。〔3〕混凝土构件受激振动时，其截面保持为平面。这就是说，构件受激振动时，同一截面上所有质点位移的方向和大小都是一致的，也不存在相位的差异或振动的超前或滞后现象。描述声波传播的二维声波方程的模型为(2-1)(2-2)(2-3)其中为位移函数，为介质在点的速度，是源函数。我们选取选取雷克子波作为震源：(2-4)其中：参数表示震源函数振幅，表示震源频率，表示震源作用时间。且满足。x,z分别为水平方向和垂直方向的坐标。假设在需要测量的空间区域上考虑问题，Mur吸收边界条件为(2-5)(2-6)(2-7)(2-8)二维声波方程虽然不能够完全满足真实的物理背景，但是，它能够抓住主要矛盾来研究问题，利用二维声波方程能够近似模拟混凝土真实背景，同时也使得分析简单，并且能够大大降低计算量，为实际工程中的应用奠定良好的根底。2.2二维混凝土检测电磁波模型的建立GPR是一种电磁波类探测方法。与探空或通讯雷达技术相类似，探地雷达也是利用高频电磁脉冲波的反射来探测目的体及地质现象的。探地雷达系统将高频电磁波以宽频带短脉冲形式由发射天线向被探测物发射，该雷达脉冲在传播过程中，遇到不同电性介质交界面时，局部雷达波的能量被反射回来，由接收天线接收。探地雷达测的是来自探测物不同介质交界面的反射波，地质雷达通过记录反射波到达时间t、反射波的幅度等来研究被探测介质的分布和特性。本节对混凝土构件的要求与2.1节中的假设相同。电磁波在混凝土介质中的波场作用过程与响应特征可以由时域Maxwell方程近似给出〔2-9〕〔2-10〕其中和分别是电场与磁场，是介电常数，是电导率，是磁导率，是鼓励源。Maxwell方程的正演过程可以采用FDTD方法求解，利用吸收边界条件最大限度地克服在边界处反射带来的影响。展开方程〔2-9〕和〔2-10〕后可得电磁场六个分量的方程组〔2-11〕〔2-12〕〔2-13〕〔2-14〕〔2-15〕〔2-16〕在2D问题中即电场和磁场均与无关时，方程组就形成相互独立的两组方程，其中的一组电场只有分量，这类电磁波称作横磁波用TM表示，本文的探地雷达2D正演模拟采用TM型电磁波求解，TM波的方程组为〔2-17〕〔2-18〕〔2-19〕由上面的方程组可以看出，TM波只有，和三个分量。将、消元，得到〔2-20〕当探地雷达高频雷达波在地下介质中传播时，介质的位移电流远大于传导电流〔磁导率认为不变〕，所以，对高频电磁波在地下二维介质传播的麦克斯韦方程就可写成：(2-21)其中，为波速。〔2-21〕式与波动方程比照可知，〔2-21〕式完全与波动方程一致。由此，我们可将麦克斯韦方程的所有分析方法和处理方法应用于反射声波探测。2.3正演数值模拟本工程中对二维TM方程及波动方程的正问题求解采用中心差别离散。差分法的根本思想是“以差商代替微商〞。简记为。将波动方程(2-1)中的偏导数都用中心差商来逼近，这样得到差分格式： (2-22)令得 (2-23) (2-2)离散为如下(2-24)(2-3)离散为〔2-25〕可以看出，(2-22)式逼近(2-1)式的截断误差为。而(2-24)式及(2-25)式的截断误差为。考虑到上述截断误差的不匹配，为提高(2-2)式及(2-3)式的离散精度，可以用两个虚拟的函数值来处理，注意到这样就得到了(3-2)式的另一个逼近 (2-26)及(3-3)式的另一个逼近 (2-27)此两式中出现的必须设法消去。首先来消去(2-26)式中的，为此可以在(2-22)式中令，此时有其中为网格比，此式与(2-26)式联立，消去得到 (2-28)再次来消去(2-27)式中的，为此可以在(2-4)式中令，此时有此式与(2-26)式联立，消去得到 (2-29)利用(2-23)式，(2-28)式(或〔2-24)式)和(2-29)式就可以求波动方程初值问题(2-1)式，(2-2)式和(2-3)式。在这里为了考虑到计算量的问题，我们选用(2-23)式，(2-24)式和(2-29)式计算正问题。在(2-23)中当时，我们可以设，这样得到如下结果：设，，那么，及假设令，那么，,其中，为N-1阶单位矩阵。可得方程为 (2-30)所以求(2-1)、(2-2)及(2-3)的的离散后就转化为求解(2-30)。这里用MATLAB编程求解方程。2.4数值算例2.4.1电磁波算例1.混凝土中含有圆形空洞模型，反演区域，空间步长，时间，时间步长，采用雷克子波作为鼓励源，其中心频率，混凝土结构示意图见图1，纵向剖分260个节点，横向剖分1000个节点；GPR剖面图见图2，时间采样2036个，道数115道。图1.混凝土含空洞结构示意图图2.混凝土含空洞结GPR剖面图算例2.混凝土中含有圆形钢筋模型，以下所有算例的参数〔反演区域、空间步长、时间、震源〕与算例1相同，混凝土结构示意图见图3，GPR剖面图见图4。图3.混凝土含钢筋结构示意图图4.混凝土GPR剖面图算例3.混凝土中含有小圆形钢筋模型，混凝土结构示意图见图5，GPR剖面图见图6。图5.混凝土含小圆形钢筋结构示意图图6.混凝土结GPR剖面图算例4.混凝土中含有上层小圆形钢筋模型，下层小圆形空洞，混凝土结构示意图见图7，GPR剖面图见图8。图7.混凝土中含有上层小圆形钢筋模型，下层小圆形空洞图8.混凝土GPR剖面图算例5.混凝土中含有上层小圆形空洞，下层小圆形钢筋，混凝土结构示意图见图9，GPR剖面图见图10。图9.混凝土中含有上层小圆形空洞，下层小圆形钢筋图10.混凝土含GPR剖面图算例6.混凝土中含有两个竖向裂缝，混凝土结构示意图见图11，GPR剖面图见图12。图11.混凝土中含有两个竖向裂缝图12.混凝土含有两个竖向裂缝GPR剖面图算例7.混凝土中含有两个横向裂缝，混凝土结构示意图见图13，GPR剖面图见图14。图13.混凝土中含有两个横向裂缝图14.混凝土含有两个横向裂缝GPR剖面图算例8.混凝土中含有两排小圆形钢筋，混凝土结构示意图见图15，GPR剖面图见图16。图15.混凝土中含有两排小圆形钢筋图16.混凝土含有两排小圆形钢筋GPR剖面图算例9.混凝土中含有两排大圆形钢筋，混凝土结构示意图见图17，GPR剖面图见图18。图17.混凝土中含有两排大圆形钢筋图18.混凝土含有两排大圆形钢筋GPR剖面图算例10.混凝土中含有四排横向长钢筋，混凝土结构示意图见图19，GPR剖面图见图20。图19.混凝土中含有四排横向长钢筋图20.混凝土含有四排横向长钢筋GPR剖面图算例11.混凝土中含有四排横向短钢筋，混凝土结构示意图见图21，GPR剖面图见图22。图21.混凝土中含有四排横向短钢筋图22.混凝土含有四排横向短钢筋GPR剖面图算例12.混凝土中含有四列纵向长钢筋，混凝土结构示意图见图23，GPR剖面图见图24。图23.混凝土中含有四列纵向短钢筋图24.混凝土含有四列纵向短钢筋GPR剖面图2.4.2算例13.混凝土中含有圆形空洞模型，反演区域，空间步长，时间，时间步长，采用雷克子波作为鼓励源，其中心频率。混凝土结构示意图见图25，纵向剖分260个节点，横向剖分1000个节点，声波反射剖面图见图26，时间采样2036个，道数49道。图25.混凝土含空洞结构示意图图26.混凝土含有四列纵向短钢筋声波反射剖面图算例14.混凝土中含有小圆形钢筋大圆形空洞模型，混凝土结构示意图见图27，声波反射剖面图见图28。图27.混凝土结构示意图图28.混凝土含声波反射剖面图算例16.混凝土中含有纵向裂缝模型，混凝土结构示意图见图29，声波反射剖面图见图30。图29.混凝土结构示意图图30.混凝土含声波反射剖面图算例17.混凝土中含有纵向裂缝模型，混凝土结构示意图见图31，声波反射剖面图见图32。图31.混凝土结构示意图图32.混凝土含声波反射剖面图算例18.混凝土中含有纵向裂缝模型，混凝土结构示意图见图33，声波反射剖面图见图34。图33.混凝土结构示意图图34.混凝土含声波反射剖面图2.5小结本节给出了电磁涉及声波在混凝土介质中传播的数学模型，数值算例中所给出的模型根本上都是含有空洞、钢筋或二者共存的情况，通过数值算例中给出的剖面图，我们认为电磁涉及声波无损检测根本能够识别钢筋、裂缝这样的目标体，并且对目标体的形状和大小比拟敏感，可以通过这样的剖面图的图像特征来确定混凝土内部的结构。第三章信号处理3.1信号分析3.1.1快速傅里叶变换〔FFT〕模拟信号在时域和频域如图1、2、3所示。图1.模拟信号在时间域分布图图2.模拟信号在频率域分布图〔未去噪〕图3.模拟信号在频率域分布图〔去噪〕在信号处理中，第一步就是将时间信号转化为频率信号，通过FFT把信号的频率域的特征读取出来，具体地说就是经过如下离散傅里叶变换：这里分别表示信号的离散频率函数和连续时间函数，分别表示采样数和采样点频率域和时间域序号。这个变换就是图1和图2之间的变换关系，而图3那么是在图2的根底上对频率设置阈值，降噪音局部去掉，在本信号中我们选取截止高频为20000MHz，截止低频为60MHz。3.1.2一维Hilbert变换在混凝土检测技术中，瞬时相位谱是一个非常重要的手段，我们在本工程中将其实现，主要是通过所谓的Hilbert变换技术，将离散信号转化为解析信号，这样就会得到原始信号的瞬时相位谱信息。具体变换如下，假设原始信号为，频率表示为，，这里分别表示频率域信号的实部与虚部，这两个函数并不是孤立的，他们之间的关系就是所谓的Hilbert变换，具体形式如下：。其实，Hilbert变换还有如下特性：〔1〕幅频特征是全通性的；〔2〕相频特征是负九十度。两者统一考虑后可以表示为：所谓的瞬时相位谱就是将该信号的相位表示出来，如图4所示：图4.模拟信号瞬时相位谱分布图3.1.3小波变换提到信号分析，就不得不提小波分析，小波分析作为比拟成型的信号分析手段在很多实际应用领域都表达了不可替代的作用，我们先将小波分析的概念简单介绍一下。连续小波变换小波就是函数空间中满足下述条件的一个函数或者信号：表示非零实数全体。有时，也称为小波母函数，上式称为容许性条件。对于任意的实数对，其中，参数必须为非零实数，称如下形式的函数为由小波母函数生成的依赖于参数的连续小波函数，简称为小波。其中a为尺度参数，b为平移参数。对于任意一个函数，它的连续小波变换的定义为:=其逆变换为:正交多分辨分析多分辨分析定义：假设以下条件成立，那么中的一串闭子空间列称为依尺度函数的多分辨分析：1.〔嵌套性〕2.〔稠密性〕3.〔分立性〕4.〔尺度性〕5.〔平移性〕6.〔标准正交基〕函数，且是的标准正交基。该定义是由Mallat和Meyer引进的，它详细地阐述了多分辨率空间的数学性质。由定义不难看出：(1)对，函数族是子空间的一个标准正交基，被称为尺度参数。为了防止混淆，我们特别强调：尺度参数是分辨率的倒数。(2)假设是到子空间的正交投影算子，那么对，有正交小波的尺度方程和构造方程对，定义如下的子空间：容易验证，子空间序列具有下述性质：〔1〕；〔2〕；〔3〕。因此，根据〔2〕可知，为了得到空间的标准正交基，只需构造每一个子空间的标准正交基；再由〔3〕得到，这只需构造的标准正交基就足够了。这样，关键的问题就是构造函数，使得函数族是的标准正交基。由于而且有标准正交基,所以，必存在唯一的系数序列，使得通常称它为尺度方程。所以有即=另一方面，待构造的小波函数，应该存在序列，使得称之为构造方程。所以有==即。在本工程中，借助上面介绍的多分辨分析的手段对接收信号进行处理，利用的小波是‘sym2’，一共做了32级分解，现在将小波变换后的图像展示如下：图5.模拟信号12级分解图图6.模拟信号6级分解图图7.模拟信号1级分解图从上面的图中可以看出，随着分解级别的逐渐降低或者说随着分解空间的逐渐增大，信号的高频局部逐渐显现，小波信号不仅能够起到去噪的作用，而且还能将信号的光滑局部和奇异局部分开，这样对信号的认识更加准确。虽然高频局部随着分解级别的降低逐渐显现，但是，我们还是能够看出，这些高频局部的信号振幅是急剧降低的，这样从另一个侧面也能说明，小波分析也能够将各个频率段的信号的能量别离开，这一特性对于混凝土的无损检测有着重要的作用。3.1.4二维瞬时振幅、瞬时相位、瞬时频率GPR或声波反射信号可表示为，对进行Fourier变换，导出信号的频谱，再进行Hilbert变换，可求出的Hilbert变换。通过及可以求得〔3-1〕(3-2)(3-3)其中，，分别为的瞬时振幅、瞬时相位、瞬时频率。瞬时振幅波形反映了给定时刻反射信号能量大小及能量衰减情况，利用它可以推测地下介质的性质。瞬时相位波形反映地下介质相位的变化，地下介质电磁性差异常引起相位的变化，因此利用它可推测地下介质的连续性。另外瞬时相位大小与反射波的振幅无关，因此利用它可研究地下深层介质的性质。瞬时频率波形也反映了地下介质性质的变化，利用它可推测地下介质的形状及性质。图8.GPR剖面图图9.瞬时相位谱3.1.5二维小波变换Mallat二维塔式快速小波变换的分解过程如图10所示。表示每两行中抽取一行表示每两行中抽取一行表示每两列中抽取一列图10二维小波分解示意图Mallat算法通过一组分解滤波器H〔低通滤波器LPF〕和G〔高通滤波器HPF〕对信号进行滤波，然后对输出结果进行下二采样〔指隔一取一〕来实现小波分解，分解的结果是产生长度减半的两个局部，一个是经低通滤波器产生的原始信号的平滑局部，另一个那么是经高通滤波器产生的原始信号细节局部。重构时使用一组h和g合成滤波器对小波分解的结果滤波，再进行上二采样〔相邻两点间补零〕来生成重构信号。多级小波分解通过级联的方式进行，每一级的小波变换都是在前一级分解产生的低频分量上的继续，重构是分解的逆运算。低频分量上的信息比拟丰富，能量集中；高频分量上的信息分量多为零，细节信息丰富，能量较少。图11.GPR剖面图图12.尺度1的sym2小波分解3.2信号去噪3.2.1二维中值滤波设为离散二维信号，对于一个中心位于的(2N+1)×(2N+1)的方形滤波窗口，可以定义一种根本子窗口为：〔3-3〕那么多级中值滤波的输出定义为：〔3-4〕其中，median[·]表示一般中值滤波(MF)。图13.GPR剖面图图14.中值滤波3.2.2二维均值滤波设二维数据的形式可示为:〔3-5〕式中:S(x,y)为理想数据,Ni(x,y)为噪声。由于有噪声存在,导致图像的质量下降。图像噪声概率分布虽不能确了解,但可假定噪声为互不相关且均值为0的随机噪声。即:式中:E{}表示数学期望算子。在一幅图像内部,以像素为单位,求周围相邻像素的均值并赋值给中心像素,就会起到类似滤波的效果,当做平均处理的噪声图像数目增加时,其统计平均值就越接近原始无噪声图像。这种运算的实质是求窗口内的所有像素点的平均值,然后将其赋给中心像素点,作为中心像素点的滤波输出。这个取均值的模板其实是一个低通滤波器。因图像细节信息主要分布在高频区域,因此均值滤波的过程会导致图像变模糊。如果模板选取过大,那么这种模糊会加剧;模板选择越小,去噪能力会下降。因此模板大小的选择实际上是去噪能力和保存图像细节的一种折中。这种方法在实际应用中的最大困难在于把多幅图像配准,以便使相应的像素能正确地对应排列。图15.GPR剖面图图16.均值滤波3.2.3Karhunen-Loeve变换K-L变换是在统计意义上压制随机信号的一种滤波方法。在获取任何一幅图像的过程中，不可防止地混杂许多随机干扰因素，即得到的图像中含有很多随机成分，一般称其为随机图像。如对同一个地质环境屡次采集数据成像，每次得到的图像都不尽相同。K-L变换正是针对这类广泛的随机图像提出的，对图像施加K-L变换以后，由变换结果恢复的图像将是对原图像在统计意义上的最正确逼近。具体算法如下：假设X是N维向量，寻求正交矩阵A，使得A对X的变换Y的协方差矩阵Cy为对角阵。计算步骤如下：(1)由的N阶多项式,求矩阵Cx的特征值(2)由求Cx的N个特征向量(3)将A0,A1,...,AN-1归一化，即<Ai,Ai>=1,i=0,1,,N–1；(4)由归一化向量可构成归一化正交矩阵A=[A0,A1,,AN-1];(5)由Y=AX实现对信号X的K-L变换。Y的协方差Cy为对角阵由以上算法可知，K-L变换能够将一组数据变换为另一组互不相关基的加权和,因此可对地震数据做以下处理:给定信号可以构造另一组信号。在此是第i道重新构造的信号,设B为矩阵A的逆，且bij为B的元素。M为重新构造时所使用正交基的个数,目的在于利用尽可能少的基信号在一定误差范围内恢复出原信号。对于给定的m误差分析如下：〔3-6〕K-L变换将数组转换为一组互不相关的(正交的)基。每条基向量对应的特征值是对这条基向量的量度，特征值越大，基在这组向量中的作用就越大；特征值越小，基在这组向量中的作用就越小。在恢复原始信号时，只取特征值足够大的基就足以将信号恢复出来；也可以根据需要提取相关性强的信号而不考虑误差大小，对M进行适中选取而到达目的。图17.K-L变换3.2.4FIR频率滤波一个数字滤波器的系统函数可以用系统函数表示为：(3-7)由此可直接由此式可得出表示输入输出关系的常系数线性差分方程为：〔3-8〕由此可看出，数字滤波器的功能就是把输入序列通过一定的运算，变换成输出序列。数字滤波器根据单位脉冲响应h(n)的时间特性可分为无限长单位脉冲响应(IIR，infiniteimpulseresponse)数字滤波器和有限长单位脉冲响应(FIR，finiteimpulseresponse)滤波器两种。从离散时间域来看，假设系统的单位冲激响应延伸到无穷之长，称之为IIR系统，假设系统的单位冲激响应是一个有限长序列，那么称之为FIR系统。图18.GPR剖面图图19.FIR频率变换3.2.5预测反褶积预测反褶积去除屡次波的主要依据是因为屡次波在地震记录中有规律性的时差。设地震子波满足最小相位条件,反射系数为白噪声,屡次波步长,那么包含屡次波和一次波的地震记录为〔3-9〕从预测误差来看,有〔3-10〕显然,上式中第二项与预测值屡次波相吻合,第一项与预测误差，一次波相吻合。从子波角度来看,预测反褶积相当于子波截尾处理。计算出预测因子后,可以褶积地震记录得到预测值,再由上式得到去噪结果。3.2.6稀疏反褶积对提取的一道地震记录作自相关。地震记录的自相关系数与地震子波的自相关系数成比例,故地震记录的自相关函数能用来求解未知的子波自相关得到R序列。自相关得到R的序列形成了一个Toeplitz矩阵。用传统的Levinson迭代算法,采用递推过程对系统进行降阶求解后,可以得到反褶积算子。反褶积算子可以通过恢复缺失的频率成分来提高频带的宽度。地震道数据和反褶积算子褶积得到初反射系数序列。根据，其中是子波，是Kroneckerdelta函数,称作的逆。用反褶积算子得到初始的子波,这里要求子波是最小相位,反射系数是白噪声。实际计算得到的是形成的褶积矩阵的逆与的乘积。用直接求逆的方法来计算反射系数。这里目标函数为〔3-11〕式中,C是由w(t)构成的褶积矩阵;x是要求的反射系数序列;y是实际的地震记录;σ,δ和λ是调整系数。在假定误差高斯分布、未知参数用柯西先验概率来求出的前提下,目标函数可以由贝叶斯函数导出。对目标函数极小化得。其中整个目标函数参加调节项Q,产生的解具有最小的结构即最大的稀疏性。3.3实际资料的处理初步处理工程勘探与检测的实测资料，形成成像成果剖面，对实际信号进行一维、二维分析，滤涉及反卷积。3.3.1探地雷达资料的处理测线道数120，采样间隔0.587ns，采样点数512。图1.实际数据GPR剖面图图2.增益图图3.实际数据第58道Hilbert变换图4.实际数据第1道FFT变换图5.实际数据第47道尺度7的小波变换图6.瞬时相位谱图7.尺度2的二维Db4小波变换图8.均值滤波图9.中值滤波图10.去背景图11.水平压缩图12.垂直压缩图13.以下图为K-L滤波，上图为残差图14.F-K滤波图15.F-X反褶积图16.预测反褶积图17.稀疏反褶积3.3.2声波反射资料的处理测线道数103，采样间隔0.008ms，采样点数1000。图1.实际数据声波反射剖面图图2.增益图图3.实际数据第58道Hilbert变换图4.实际数据第35道FFT变换图5.实际数据第47道尺度2的小波变换图6.瞬时相位谱图7.尺度1的二维Db4小波变换图8.均值滤波图9.中值滤波图10.去背景滤波图11.水平压缩滤波图12.垂直压缩滤波图13.以下图为K-L滤波，上图为残差图14.F-K滤波图15.F-X反褶积图16.预测反褶积图17.稀疏反褶积3.3小结本节给出了数值模拟结果及实际数据的信号分析和处理方式，电磁涉及声波在混凝土中传播的规律并没有在剖面图上完全显示，我们需要对其进行信号分析，通过Hilbert、FFT、小波变换等分析工具进一步得到了信号所包含的内容，对混凝土内部的构造有更深的了解。数值算例中有数值频散产生的杂波，实际数据中含有干扰波，我们通过各种滤波手段压制干扰波，提高信号的信噪比，为分析混凝土内部构成及以后的反演工作做准备。第四章混凝土检测的屡次覆盖方法研究4.1屡次覆盖观测系统屡次覆盖观测系统是为实现共深度点叠加而设计的一种观测系统，它适用于探测背景比拟复杂的测区，是压制规那么干扰波，提高信噪比的最主要的方法。为了使测线范围内的界面上全部反射点都能得到相同次数的观测，选用本观测系统时，首先需依据地震仪的记录道数N和要求的共深度点叠加次数n以及道间距Δx，设计一个合理的激发点距d。激发点距d、激发点距与道间距的比值ν由式〔4-1〕确定。〔4-1〕式中S是一个系数，单边激发时为1，双边激发时为2，如选用24道仪器，6次覆盖时，激发点距d=2Δx，ν=2。外业工作时，从测线一端开始，完成第一个激发点的激发接收，获得一张共激发点记录后，激发点和接收排列同步沿测线移动一个激发点距d〔即ν＝2个道间距〕，再激发接收。重复上述步骤，直到完成全测线的测量，得到多张共激发点记录。采用上述有规律的激发和接收，即可实现对测线范围内的界面上每一个反射点都能得到相同次数的测量。通过对共激发点记录抽取共深度点〔或共中心点〕道集，进行速度分析、滤波、动校正和共深度点叠加，可有效压制干扰波，从而获得信噪比拟高的水平叠加时间剖面。目前，浅层反射多采用有一定偏移距、单端激发六次或十二次覆盖的观测系统，24道接收的单端激发6次覆盖观测系统如图1。图1屡次覆盖观测系统4.2速度分析浅层反射资料的动校正精度和水平叠加剖面的质量，主要取决于叠加速度的准确程度。水平叠加剖面的时深转换精度主要取决于层速度或平均速度〔或有效速度〕。速度参数可以用以下方法求取。依据直达波时距曲线的斜率求表层速度。依据折射波时距曲线，用斜率倒数求层速度，用截距时间求层厚度，进而计算平均速度。适用于水平界面。〔4-2〕由折射波时距曲线，用交点法求有效速度Vef。〔4-3〕由单边反射波时距曲线，用x2-t2坐标法求覆盖层有效速度Vef、。适用于界面倾角φ<15°的界面。〔4-4〕图2.共中心点处为钢筋的速度分析图3.共中心点处为混凝土及钢筋〔分两层〕的速度分析图4.共中心点处为混凝土、空气及钢筋〔分三层层〕的速度分析4.3动校正动校正，又称正常时差校正，是将共中心点道集中源检距不同的记录道减去正常时差变换成零偏移距记录道〔即将来自同一界面同一点的反射波到达时校正为共中心点处双程垂直时间〕的一种处理方法。动校正的目的是使各道反射波的到达时相同，在叠加时可以同相位叠加，得到振幅最强的反射波。共反射点时距曲线方程有如下形式：〔4-5〕当源检距时，，t0即为共中心点自激自收的双程垂直反射时间。源检距不同的记录道的动校正时间即正常时差为：〔4-6〕当界面倾斜时，共中心点道集的时距曲线方程为：〔4-7〕式中，t0=2h/v为共中心点O处的双程垂直反射时间；h为共中心O处的界面法线深度。〔4-8〕vφ为倾斜界面以上介质的等效速度。φ为界面倾角。与水平界面相比，倾斜界面共中心点道集中所记录的反射时间不是同一点的反射，而是一小段界面上的反射的结果。在t0相等时，由于vφ>v，所以倾斜界面的共中心点道集时距曲线要平缓些。倾斜界面上的正常时差公式与水平界面相当，为：〔4-9〕只是速度为等效速度veφ=v/cosφ考虑到倾斜界面共中心点道集速度分析所提供的最正确叠加速度实际上就是等效速度veφ，所以进行动校正时总是把界面当作水平进行处理，然后共中心点道集的双曲线形状的反射波同相轴被拉平直了。图5.共中心点处为钢筋的动校正图6.共中心点处为混凝土、空气及钢筋〔分三层层〕的动校正4.4水平叠加水平叠加是将经过静校正和动校正后的共中心点道集内各记录道进行同一时刻的振幅相加，称为水平叠加。〔4-10〕式中，k为采样点序号；i为叠加道序号；n为叠加次数；Aki为经动静校正后参与叠加的记录道输入；Ast为共反射点记录道叠加的结果。因为动校正是针对一次反射波的速度进行的，使一次反射波接近同相位叠加，叠后振幅明显加大〔可能增加n倍，n为覆盖次数〕。而对屡次波和其它干扰波〔包括规那么干扰波如折射波、侧面反射波、声波和其它类型干扰波等背景噪音〕，由于动校后存在剩余时差，不仅不可能做到同相位叠加甚至还会互相抵消。以下算例中每一组图中的第一个图是混凝土模型的内部构成，第二个图是单发单收的剖面图，第三个图是水平叠加后的剖面图。图7.两排横向钢筋水平叠加结果图8.单个钢筋水平叠加结果图9.上层小空洞下层小钢筋水平叠加结果图10.上层小钢筋下层小空洞水平叠加结果图11.上层小空洞下层大钢筋水平叠加结果4.5小结本节提出了屡次叠加的观测系统，并详细分析了基于此观测系统的各种工具，其中包括速度分析、动校正，为最后的水平叠加做准备。根据接收数据起始点、偏移距、点距的变化可以实现对探测区域共中心点的叠加次数，也可以相应地减少共中心点叠加次数，进而增加所要探测的供中心点个数。屡次叠加的观测系统可以通过重复多个单发单收或单发多收的观测方式叠加构成，从数据量来讲，它要比单个的单发单手或单发多收系统数据量大，提供了更高的分辨率；另外，数值算例的结果证明屡次叠加有效地压制了杂波，提高了信噪比。第五章二维混凝土检测反演研究反演工作，是一个大规模的计算问题。混凝土是一种非均匀各向异性复合材料，其无损探测问题是一个对分辨率要求很高的问题，想要实现稳定、快速、高效、全局收敛的精细反演方法是一个非常困难的问题，必须考虑用特殊的方法从多个方面综合加以解决。这主要包括：以Maxwell方程及声波正问题为约束的有界变分正那么化泛函的构造，它可有效克服Tikhonov正那么化方法过度光滑的问题，适合于对边界不光滑介质和裂缝的检测；反演过程中敏感度矩阵与向量的乘积的计算问题〔从而大幅度减少存储量〕；稀疏矩阵技术的应用，从而实现全局收敛反演并最大幅度地提高效率等。在前面的正演研究根底上，本章主要研究二维混凝土检测的反演研究，并且在将H1正那么化或者说是全变差正那么化应用到该问题中，取得了一定的成果，并且测试了观测系统对于反演效果的影响。5.1模型的建立5.1.1方程的提出一个反演问题通常是与正演问题密切相关的，在此基于第二章中建立的正演模型，来建立混凝土检测的反演模型。无论电磁波模型还是声波模型都可以近似地描述成