静力学-空间力系

空间力系

实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用线往往是不在同一平面内的，即空间力系，空间力系是最一般的力系。本章将研究空间力系的简化和平衡问题第四章空间力系空间汇交（共点）力系，空间力偶系,空间任意力系,空间平行力系。几何法：平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用？§4–1空间汇交力系直接投影法1、力在直角坐标轴上的投影（解析法）间接（二次）投影法合力在x、y、z轴的投影为2.空间汇交力系的合力汇交力系合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。即方向余弦合力矢FR的大小和方向余弦为

大小例题4-1解：力F的大小力F的方向余弦及与坐标轴的夹角为xyqβγzFFxFyFzA已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受的力F的三个正交分量Fx，Fy，Fz的大小各为4.5kN，6.3kN，18kN，试求力F的大小和方向。力F的方向余弦以及与坐标轴的夹角为已知力沿直角坐标轴的解析式为试求这个力的大小和方向解：由已知条件得所以力F的大小为例题4-2

在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影如下表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。由上表得解：F1F2F3F4单位Fx1202kNFy1015－510kNFz341－2kN例题4-3所以合力的大小为合力的方向余弦为合力FR

与x，y，z

轴间夹角3.空间汇交力系的平衡条件和平衡方程空间汇交力系平衡的必要与充分条件为：该合力等于零，即由FR的大小可得平衡方程例题4-4如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂节点O，其上作用有铅直载荷F。钢丝OA和OB所构成的平面垂直于铅直平面Oyz,并与该平面相交于OD，而钢丝OC则沿水平轴y。已知OD与轴z间的夹角为β，又∠AOD=∠BOD=q，试求各钢丝中的拉力。

取O点为研究对象，受力分析如图所示，这些力构成了空间共点力系。解：

力F2，F3的方向通过q角和β角来表示，q是这两力各自对坐标平面Oyz

的倾角，β是这两力在坐标平面Oyz上的投影对z轴的偏角。

故求这两力在y轴和z轴上的投影时，须先将它们投影到Oyz

平面上。

力F2

在平面Oyz上的投影为：并与z轴成β角。故力F2在y，z轴上的投影分别为:

力F3的投影可用同样方法求出。

力F2与x轴之间的夹角为90o－q，故它在该轴上的投影为：联立求解可得列平衡方程§4-2力对点的矩与力对轴的矩1.力对点的矩以矢量表示——力矩矢

对平面力系，由于各力与矩心均位于同一平面内，因此用代数量表示力对点的矩就可以包含它的全部要素。但对于空间力系而言，由于各力与矩心所构成的平面的方位不同，用代数量就不足以概括其全部要素。为此引入力矩矢MO(F)来描述空间力对点的矩。

如图所示,以r表示力作用点的矢径，则力F对点O的矩可以定义为即：力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。显然，上式的模等于三角形OAB面积的两倍，正好是力对点矩的大小，方位垂直于力矩作用面，指向按右手螺旋法则来确定。这样空间力对点的矩的作用效果完全可以用上面定义的力矩矢MO（F）来表示。力矩矢MO（F）是定位矢，矢端必须位于矩心O。不可随意挪动。由矢径和力的解析表达式可得力矩矢的解析形式上式在x、y、z轴上的投影分别为2.力对轴的矩

工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力使刚体绕定轴转动的效果，有必要了解力对轴的矩的概念。2.力对轴的矩力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。（4–6）空间力对轴的矩与平面力对点的矩类似，也可以用解析式表示如下z同理可得其余二式3.力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系

比较力对点的矩的解析表达式和力对通过该点的轴的矩的解析表达式可得例题4-5

手柄ABCE在平面Axy内,在D处作用一个力F，如图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为q。如果CD=b，杆BC平行于x轴,杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F对x，y和z三轴的矩。力F

沿坐标轴的投影分别为：

由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有解：

在直角弯杆的C端作用着力F，试求这力对坐标轴以及坐标原点O的矩。已知OA=a=6m，AB=b=4m，BC=c=3m，q=30º,β=60º。

由图示可以求出力F

在各坐标轴上的投影和力F

作用点C的坐标分别为：

解：x=a=4my=b=6mz=c=－3m

则可求得力F

对坐标轴之矩以及对原点O之矩的大小和方向。

力F

对坐标轴之矩为：力F

对原点O之矩方向余弦：力F

对原点O之矩大小：§4–3空间力偶1、力偶矩以矢量表示力偶矩矢空间力偶的三要素（1）大小：力与力偶臂的乘积；（3）作用面：力偶作用面。（2）方向：转动方向；力偶的转向为右手螺旋法则。从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。2、力偶的性质力偶矩因（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。=(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。=(5)力偶平衡只能由力偶来平衡。定位矢量?力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）滑移矢量?3.空间力偶系的合成

任意个空间分布的力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。==合力偶矢的大小方向余弦为平衡方程是合力矩偶矢为零，即空间力偶系的平衡条件

工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。例题4-10将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点所以合力偶矩矢的大小合力偶矩矢的方向余弦解：A§4-4空间任意力系向一点的简化•主矢和主矩1.空间任意力系向一点的简化理论根据也是力线平移定理。刚体上作用空间任意力系F1，F2，…，Fn.。用力线平移定理，将所有力向任意选定的简化中心O平移，同时附加一个力偶。这样，原空间任意力系就被空间汇交力系和空间力偶系等效代替。并有关系然后，再分别将汇交力系和力偶系合成，得到一力FR‘和一力偶MO。该力的大小和方向称为原力系的主矢，作用线过简化中心O；该力偶称为原力系对简化中心O的主矩。从上可得主矢与简化中心O的选择无关，主矩与简化中心O的选择有关。1.空间任意力系的简化结果分析力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心O的位置无关。力系可合成为一个合力，合力的作用线过简化中心O，大小和方向与主矢相同。此时分三种情况讨论。可进一步简化成一合力合力的大小和方向与主矢相等，作用线距简化中心O的距离原力系简化成力螺旋，即力与力偶作用面垂直。例如力螺旋不能进一步的合成为一个力或力偶。这是最一般的情况，可进一步简化成力螺旋。因此，在一般的情况下空间任意力系可合成为力螺旋。空间任意力系的平衡§4–5空间任意力系的平衡方程1.空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的必要与充分条件是：该力系的主矢和对任意点的主矩都为零。即平衡方程是空间任意力系的平衡方程除了上面的一般形式外，还有四矩式，五矩式和六矩式。

例如对空间平行力系，不失一般性，假定取z轴与各力平行，如右图所示，则空间任意力系的6个平衡方程中有3个为零，即因而空间平行力系的平衡方程只有下面的3个xyzOF1F2F3Fn由空间任意力系的平衡方程还可导出其它特殊类型的力系的平衡方程。

涡轮发动机的涡轮叶片上受到的燃气压力可简化成作用在涡轮盘上的一个轴向力和一个力偶。图示中FO

，

MO,斜齿轮的压力角为q，螺旋角为β，节圆半径r及l1,l2尺寸均已知。发动机的自重不计，试求输出端斜齿轮上所受的反作用力F以及径向推力轴承O1和径向轴承O2处的约束力。

例题4-13

取整个系统为研究对象，建立如图坐标系O1xyz，画出系统的受力图。

其中在径向推力轴承O1处的约束力有三个分量。在径向轴承O2处的约束力只有两个分量。

在斜齿轮上所受的压力F可分解成三个分力。周向力Fy

，径向力Fx

和轴向力Fz

。其中：解：由以上方程可以求出所有未知量。系统受空间任意力系的作用，可写出六个平衡方程。

水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4m，r2=0.2m.套在C轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力F1=3400N，F2=2000N，套在D轮上的胶带与铅垂线成夹角q=30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，拉力F3和F4以及两个径向轴承处约束力的大小。

例题4-14

以整个系统为研究对象，建立如图坐标系Oxyz，画出系统的受力图。

解：

为了看清胶带轮C和D的受力情况，作出右视图。

下面以对x轴之矩分析为例说明力系中各力对轴之矩的求法。力FAx和FBx平行于轴

x，力F2和F1通过轴

x。它们对轴x的矩均等于零。

力FAz和FBz对轴x的矩分别为－0.25Faz和1.25FBz

。

力F3和F4可分解为沿轴x和沿轴z的两个分量，其中沿轴x的分量对轴x的矩为零。所以力F3和F4对轴x的矩为－0.75（F3+F4）cos30o

系统受空间力系的作用，可写出五个平衡方程。又已知F3=2F4，故利用以上方程可以解出所有未知量。

如图所示三轮小车，自重Ｐ=8kN，作用于E点，载荷F1=10kN，作用于C点。求小车静止时地面对车轮的约束力。例题4-15

以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行力系，受力分析如图。列平衡方程解方程得解：

在图中胶带的拉力F2=2F1，曲柄上作用有铅垂力F=2000N。已知胶带轮的直径D=400mm，曲柄长R=300mm，胶带1和胶带2与铅垂线间夹角分别为q和β,q=30o,β=60o

，其它尺寸如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。列出6个平衡方程解：以整个轴为研究对象，主动力和约束力组成空间任意力系。解方程得又有

F2=2F1§4-6重心1.平行力系中心合力的作用点的位置只与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与方向无关。