命题演算基础知识

命题演算基础知识3/14/20231第一页，共二十一页，2022年，8月28日命题命题公式真值函项在命题逻辑中，规定只有符合下面要求的符号式才是有意义的，有意义的符号式又称为命题公式或合式公式，简称为公式。

1．命题变项是公式。

2．如果A和B是公式，那么

A，AB，AB，AB以及AB都是公式。

3．只有按照以上两点组成的符号式才是公式。3/14/20232第二页，共二十一页，2022年，8月28日真值形式的一个重要特征就是函项性。换句话说，真值形式中的命题变项的真值决定着该真值形式的真假，两者构成一种函数关系。这种函数被称为真值函项。每一个真值形式都是一个真值函项。真值函项的数目是由公式中的变项的真假组合决定的。3/14/20233第三页，共二十一页，2022年，8月28日

第六节真值表的判定作用有了联言命题、选言命题、假言命题和负命题的真值表，我们可以利用它们作为工具来判定更为复杂的复合命题（即多重复合命题）的真值情况。例如，我们要判定（pq）（pq）的真值，便可以利用真值表。其步骤是：3/14/20234第四页，共二十一页，2022年，8月28日

p

q真真真假假真假假第一，先列出p和q的真假情况：3/14/20235第五页，共二十一页，2022年，8月28日第二，写出（pq）和（pq）的真值：

p

q

pq

pq真真真真真假假真假真假真假假假假3/14/20236第六页，共二十一页，2022年，8月28日

第三，判定“（pq）（pq）”的真值：

p

q

pq

pq（pq）（pq）真真真真真真假假真真假真假真真假假假假真3/14/20237第七页，共二十一页，2022年，8月28日

真值表还可以用来判定复合命题形式之间是否具有等值关系。例如，我们要判定“（pq）”与“（pq）”是否等值，可以利用真值表，其步骤是：3/14/20238第八页，共二十一页，2022年，8月28日

第一，先列出p、q、p和q的真假情况：

p

qp

qpqpq真真假假真假假真假真真假假假真真3/14/20239第九页，共二十一页，2022年，8月28日第二，分别写出“（pq）”与“（pq）”的真值：

p

qp

qpqpq真真假假假假真假假真真真假真真假真真假假真真真真3/14/202310第十页，共二十一页，2022年，8月28日

现在我们看不等值的例子。

判定“（pq）”与“（pq）”这两个复合命题是否等值。

p

qp

qpq（pq）pq真真假假真假假真假假真真假真假真真假真假真假假真真假真真3/14/202311第十一页，共二十一页，2022年，8月28日还可以判定是否矛盾。

判定“（pq）”与“（pq）”这两个复合命题是否矛盾。

p

qp

q

pq

pq真真假假假真真假假真真假假真真假真假假假真真真假3/14/202312第十二页，共二十一页，2022年，8月28日简化真值表法简化真值表法又称归谬赋值表，其主要的思想是使用反证法。先假定被判定的公式为假，假如能够从这一假定推导出形如pp的逻辑矛盾，即说明假定不成立，该公式不可能为假，由此可以断定该公式为重言式。假如从假定该公式假推不出矛盾，则表明该公式在某些赋值（真假组合情况）下为假，因此可以断定该公式不是重言式。具体方法如下：

1．列出被判定的公式。

2．假定该公式为假，在公式的主联结词下面标上表示假值的符号，如假。F、0等。

3/14/202313第十三页，共二十一页，2022年，8月28日3．根据五个基本真值联结词的真值表，从后到前，从支命题到命题变项，依次对公式中的各部分公式赋值。4．检查赋值中是否出现矛盾。如果其中有一个变项既取真值又取假值，即出现pp这种形式的逻辑矛盾，证明被判定的公式不可能为假，只能为真，即该公式为重言式；反之，如果没有出现矛盾，证明被判定的公式在某种赋值情况下为假，因此，该公式不是重言式。3/14/202314第十四页，共二十一页，2022年，8月28日命题逻辑自然推理系统3/14/202315第十五页，共二十一页，2022年，8月28日命题演算是命题逻辑的形式系统。所谓形式系统是指用没有具体语义内容的人工符号语言表示的系统。也就是说，在形式系统中只考虑符号与符号之间的关系，不考虑这些符号具有什么具体的意义，而公式的证明被看成符号的变形，不考虑公式之间在内涵上有什么联系。使用人工符号语言系统的目的在于避免自然语言的歧义性，保证演算的严谨性和可靠性。形式系统中的符号、公式等不能始终没有意义，必须对它们作出解释，例如说p、q、r等是命题变项，是析取，其含义由真值表定义，就是对这些符号给予了解释，这是运用语义方法所作的解释，叫做语义解释。经过解释，符号、公式等有了一定的意义。3/14/202316第十六页，共二十一页，2022年，8月28日

形式系统通常是由两部分构成的。第一部分是形式语言，包括初始符号和形成规则。初始符号表示系统中使用的基本概念，这些符号是不加定义的。有些初始符号通过语义解释之后变成初始概念，如“”这个初始符号经过解释之后表示“否定”。初始符号可以组成各种各样的符号序列，但什么样的符号序列在系统中有意义则由形成规则来规定，符合形成规则规定的符号序列是合式公式，不符合形成规则规定的符号序列不是合式公式。3/14/202317第十七页，共二十一页，2022年，8月28日形式系统的第二部分是演绎系统，包括公理、推理规则和定理。公理是某些被挑选出来的重言式，是推导其他重言式的出发点，在系统中是不加证明的。有公理的系统称为公理系统。有的系统没有公理，只有推理规则作为推理的依据，这样的系统称为自然推理系统。推理规则是证明过程中必须遵循的规则。定理是证明的结果。

3/14/202318第十八页，共二十一页，2022年，8月28日

命题演算可以根据是否使用公理分为两种系统，一是命题逻辑自然推理系统（自然演算），一是命题逻辑的公理系统（公理化演算）。自然推理系统是没有公理的推理系统。推理的出发点是推理时引入的假设。与公理系统相比，自然推理系统的特点是，无论在变形规则还是推理规则方面都更接近自然科学尤其是数学中常用的推理规则，因此称为“自然推理”。3/14/202319第十九页，共二十一页，2022年，8月28日命题逻辑自然推理系统包括以下部分：（一）形式语言一、初始符号。（1）命题变项：p，q，r，s，p1，（2）联结词：否定

，析取，合取，蕴涵，等值。（3）辅助符号：（，）。

3/14/202320第二十页，共二十一页，2022年，