题型分类教案：基本不等式2.2

高一新教材：基本不等式【知识讲解】要点一：基本不等式1.对公式及的理解.（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2.由公式和可以引申出常用的常用结论①（同号）；②（异号）；③或要点二：基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）方法二：代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.要点诠释：特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.要点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.要点四：用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.【一正二定三相等】，，给出下列推导，其中正确的有.（1）的最小值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为.【思路点拨】利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.（3）∵，∴，（当且仅当即时取等号）∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即【一正二定三相等2】下列不等式中恒成立的是（）

A.B．C．D．A【应用技巧1-凑数法】（1）已知，求证:【思路点拨】对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.【解析】（当且仅当即,等号成立）.（2）求函数()的最小值.【思路点拨】本题采用“配分母”的办法，所以整式部分一定应为（x-5）的倍数.【解析】∵，∴∴（当且仅当即时，取等号）故当时，函数()的最小值为32.（3）设，求函数的最小值为_______________思路：考虑将分式进行分离常数，，使用均值不等式可得：，等号成立条件为，所以最小值为答案：【应用技巧2-变形法】已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值.【思路点拨】要求的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.【解析】由，得∵x＞0，y＞0，∴y＞9∵y＞9，∴y－9＞0，∴（当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4）∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.【应用技巧3-妙用特殊值】已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值.∵，∴∵x＞0，y＞0，∴（当且仅当，即y=3x时，取等号）又，∴x=4，y=12∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.【应用技巧4-直接套公式】（1）已知，，，求的最大值.∵，，，即，可得，（当且仅当时，等号成立）故当时，的最大值为16.（2）已知，求的最小值解：所以即，可解得，即（3）已知，且，则的最大值是________思路：本题观察到所求与的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即，代入方程中可得：，解得：，所以最大值为4【应用技巧5-构造法】已知，则的最小值为______________思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为，所以可将构造为，从而三项使用均值不等式即可求出最小值：【应用技巧6-换元法】若都是正数，且，则的最小值为__________．【答案】.【解析】设都是正数，且，则，当且仅当时取等号，故答案为【提升训练】1.知，则的最大值为.

答案：6；2.已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()

A．3B．4\f(9,2)\f(11,2)答案：B；解析∵8－(x＋2y)＝2xy＝x·(2y)≤(eq\f(x＋2y,2))2.∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4.当x＝2，y＝1时取等号．3.已知正数a，b满足a＋b－ab＋3＝0，则ab的最小值是________．答案9；解析∵a＋b－ab＋3＝0，∴ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3.令eq\r(ab)＝t，则t2≥2t＋3.解得t≥3(t≤－1舍)．即eq\r(ab)≥3.∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时，取等号．4.若，且，则xy有（）

Ａ．最大值64Ｂ．最小值Ｃ．最小值Ｄ．最小值64答案：D；5.若实数满足，则的最大值是______________。答案：；6.若对任意x＞0，恒成立，则a的取值范围是________．答案:【解析】又∴∴7已知正数a，b，c满足，则的最大值为_____________．【答案】【解析】【分析】利用求根公式得到，表示目标，借助均值不等式求最值.【详解】∵∴，∴，，当且仅当a=c时取等号.8.已知正实数满足，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】构造与已知条件有关的等式关系．x+y