对灰色关联度计算方法的改进

IJ7i|0111]-.O；i".E3WI对灰色关联度计算方法的改进■曹明霞党耀国张蓉陆建峰计算方法记折线00一、引言在系统分析中，为了研究系统的结构和功能，就要建立适当的数学模型去描述系统。而这样做时，首要的工作就是要分析各种因素间的关系，找出系统的主要特征及主要关系，为分析研究提供必要的基础。灰色系统理论提出了灰色关联分析方法，自提出以来，众多学者就自己对灰色关联度的实质的理解而提出了不同的量化模型。就目前的情况来看，主要有以下的几种计算模型：邓氏关联度、T型关联度、斜率关联度、B型关联度、广义灰色关联度、灰色C型关联度、欧几里德关联度等。灰色关联分析方法是灰色系统理论中一个重要的组成部分，其基本思想是根据数据序列曲线的相似程度来判别因素间的关联程度，即曲线形状越相似，其关联度越大，否则越小。所以关联度的合理计算显得非常重要，然而目前有关关联度的各种计算方法中存在如下的欠缺。不具有规范性。这里的规范性是指：0VyM1且Yi=l当且仅当Xi(k)=X0(k)轻的程度。(6)当Xi围绕X0摆动时，且Xi位于00(xi(1)—xi(1)，xi(2)—xi(1)，...，xi(n)—xi)为Xi。令si=X0之上部分的面积与位于之下的面积相等时，£0i=l。这样，就不能正确地反映曲线相似的实质。二、改进的灰色绝对关联度的计算以及灰关联空间的定义目前提出的几种主要的灰关联度计算模型中存在着某种欠缺，主要是因为灰色关联理论体系不是很完备，因此有必要重新定义曲线的相似性及灰色关联空间。既然灰关联度是通过数据序列的几何关系的相似程度来度量的，我们首先要准确地给出曲线相似的定义，并且要充分地利用曲线相似这一点来给定一个比较合理的灰色关联度的计算公式，计算灰色关联度的前提条件是我们定义的灰关联映射应满足对称性。设系统行为数据序列为0#XdtnOil(i=0，l，2，...，m)，贝Q(1)当Xi为增长序列时，si±0；(2)当乂1为衰减序列时，siMO；(3)当Xi为振荡序列时，si符号不定。命题2设系统行为数据序列Xi=(xi(1)，xi(2)，...，xi(n))Xj=(xj(1)，xj(2)，...，xj(n))的始点零化像为：Xi=(xi(1)—xi(1)，xi(2)—xi(1)，...，xi(n)—xi(1))，记Xj=(xj(1)—xj(1)，xj(2)—xj(1)，...，xj(n)—xj(1))|si—sj|=|00#(X(t)—X(t))dt|0i0j设两个始点零化像曲线除了始点t0，终点tn以外还有l个交点，交点记为tk(k=1，2，...，l)，其中l为有限整数，则|si—sj|=+...+=%k=0l—1Xi=(xi(1)，xi(2)，...，xi(n))(i=0，1，2，...，m)记折线(xi(l)—xi(l),xi(2)—xi(l),...,xi(n)—xi(1)为Xi,(i=0,l,2,...,m)，令0#X(t)—X(t)dt+#X(t)—X(t)dt#X(t)—X(t)dt+#X(t)—X(t)dt0i0j0i0j01t10i0jtn0i0jt—1ttk+10i0jkt1t2+c(其中k=1,2,...,n；c为任意常数)，艮口两个序列平行或者重合。关联度的值不具有唯一性和对称性。因与其有关的因素很多，如系统行因素序列Xi的规为特征映射量序列X0、范化方式、序列长度、分辨系数不同，特别是规范化方式或取值不同，关联度就不同，从而不唯一。又X0对Xi的关联度与Xi对X0的关联度一般不等，即Y0i^#X(t)—X(t)dt0+0#X(t)—X(t)dttnOiOjt(1)si=nOil#Xdt(i=O,1,2,…，m),|s—s|=nOiliOOO上式中的tk^R,则(1)当Xi与乂［除了原点外无交点时：#(X—X)dt则灰色绝对关联度为：1+|sO|+|si|Oi=OiiO当Xi围绕XO摆动，且Xi位于XO之上部分的面积与位于XO之下的面积相等时Oi=1,此时的关联度明显具有不合理性。所以下面我们针对这种灰色关联度的计算公式来进行改进。首先定义曲线的相似性及灰关联空间。命题1设系统行为数据序列Xi=OOOOO|si—sj|=%(xi(k)-xj(k))+1OOk=2n—1(xi(n)-xj(n))00(2)当Xi与Xj除原点还有其它交点时，|si—sjI不可以简化为式的形式，只能先求出两数据序列始点零化像曲线的交点，然后带入(1)式来计算。定义1设系统行为特征序列X0=Fx000Yi0,即关联度不具有对称性。不同的分辨系数值会出现不同的关联序。如按一般取p=0.5，则恒有yi>0.33330。在通常的关联度的计算中，一般取相同的权重来计算。体现不出此重彼(k)，k=1，2，...，nG，因素序列Xi=Fxi(k)，k=1，2，...，nG(i=1，2，...，m)，若xi(k)=x0(k)+b，(k=1，2，...，n；b为常数)，则称Xi与X0完全相似。(xi(1)，xi(2)，...，xi(n))(i=0，1，2，...，m)基金项目：国家自然科学基金资助项目(70473037)；国家教育部博士点基金资助项目(20020287001)；江苏省自然科学基金重点项目(BK2003211)；南京航空航天大学博士创新基金资助项目(019004)29||理论耕声

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性质1若因素数据序列0Xi=性质1若因素数据序列0Xi=*xi(k),k=1,2,…，与系统行为特征数据序列X0=(0,1.0,2.0,3.0,1.5,3.0,6.0)X2=(0,n3(i=0,1,2,..,m)6.0)X1=(0,1.5,2.0,3.0,3.5,7.0)X000计算，得到的绝对关联度为：£01=0.9655,£02=0.8800,£03=0.7642故灰色绝对关联序为：X1$X2$X3该结果与我们根据实际发展势态进行定性分析的结论相吻合，说明改进的计算方法克服了原来计算式中的欠缺，从而使得计算出来的结果比较客观、合理、实用。四、结束语刘思峰等在《灰色系统理论及其应（第三版）中所述关联度是从整体上用》把握曲线的相似的，把离散的问题连续化，用积分的思想来解决，这种思路更适合于现实问题。因为不妨设我们研究的序列是时间序列，而时间是连续的，我们所收集到的数据只是它的发展过程中的某些离散点而已，所以，我们更应该从连续的角度来考虑问题。而且这种计算是建立在不改变序列的形状的基础之上的，并且避免了像其它几种由各个对应点关联系数赋予权重相同而求平均得到的关联度，所以这样计算出来的结果不容易失真。因而我们就在这种更具合理性的广义灰色关联度的基础之上做一些改进，克服了本文在引言中提到的问题，使得计算结果更加合理地体现了灰色关联度的实质：从序列曲线的相似程度来判定其数据序列间的联系紧密与否，两数据序列曲线之间所夹的面积越小，即两数据序列越相似，其关联度但是还有一些问题尚就越大，反之越小。待探讨，比如许多学者提出的正负关联性问题等。即有些文献提出的给数据序列每点的相关性定义正负相关性。本文认为这些先定义了每一点的关联系数的正负性，然后求平均得到的关联度的计算可能出现正负抵消现象，本来关联度很大而随之变为很小，甚至为零。这样就使得关联计算失去了意义。（作者单位/南京航空航天大学经济与管理学院）（责任编辑/亦民）XO=*xO（k），k=l，2，...，n3完全相似，则它们的始点零化像序列相等，即XO=Xi。定义2若灰关联度£Oi满足OV^OiM001，且£Oi=l充要条件是XO=*xO（k），k=l，2，...，n3与Xi=*xi（k），k=1，2，...，n3完全相似，则称关联度£Oi满足规范性。定义3设X=（Xi|i=1，2，...，n）为一个序列集，"Xi，XjEX，灰关联度满足：£ij=£-•.ji丫01=1.0000,丫02=0.8800,丫03=0.9418故灰色绝对关联序为：X1$X3$X2由上面的关联度的计算结果，我们得到的结论是XO与XI的关联程度最高，从而它们的序列曲线最相似，而X0与X2，则称关联度满足对称定义4|sO—siI越小，sOi性。越大，则称关联度满足接近性。定义5设X为系统因素集，。为灰关联算子集，"d£D满足以上定义的规范性、对称性、接近性，则(X，D)称为灰关联空间。在上面改进的灰关联空间的基础之上，我们来构造关联度的计算公式。定义6设序列XO=*xO(k)，k=l，2，...，n3和Xi=*xi(k)，k=l，2，...，n3，sO，si如上面命题1所示，|si—sOI如命题2所示，则称l+|sO|+|si|OiiO为XO与Xi的灰色关联sOi=度。所构造的关联度计算公式满足如下性质。唯一性：因为计算公式只与序列有关。的序列曲线最不相似。但是我们直观的从序列的发展势态来看，X1，X2与XO都呈现出比较接近的稳步增长的势头，显然要比X3与XO更接近一些；另外，单从规范性：即OVsOi<1，且sOi=1充要条件是XO=*xO(k)，k=1，2，.，n3与Xi=*xi(k)，k=1，2，...，n3完全相似。对称性：显然sOi=siO。三、实例例1已知XO为参考序列，X1，X2，X3为比较序列，其具体数据如下：X1与XO两个序列的发展势态来看，其关联度为1也不是很合理。出现计算结果与定性分析结果不太一致的主要原因是：当