高中数学人教A版（2022）必修第一册教案：3.2.1单调性与最大（小）值

第三章函数的概念与性质单调性与最大（小）值教学设计一、教学目标1.理解增函数、减函数的概念，经历概念的形成过程，会用函数增减性的概念判断函数在某一区间上的增减性，会求给定函数的单调性.2.理解函数最大（小）值的概念及其几何意义，会求函数在某一区间上的最大（小）值.3.会运用函数图象理解和研究函数的单调性.二、教学重难点1.教学重点理解函数单调性的概念；判断函数的单调性；求函数的最大（小）值.2.教学难点判断函数的单调性.三、教学过程（一）新课导入上节我们学习了函数的定义和表示法，知道函数y=f(x)(x∈A)描述了客观世界中变量之间的一种对应关系.通过画图我们能更直接的研究函数的性质.(学生分析P76的三个图形的性质，老师引导并补充)（二）探索新知探究一：实例探究（引出单调性，从初中学过的二次函数图象入手，学生更容易理解，接受）在初中，我们利用函数图，像研究过函数值随自变量的增大二增大（或减小）的性质，这一性质叫单调性.下面进一步用符号语言刻画这种性质.先研究二次函数的单调性.画出它的函数图象，可以看到：图象在y轴左侧部分从左到右是下降，也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小.用符号语言描述，就是任意取，得到，那么当时，有.这时，我们就说函数在区间上是单调递减的.（老师分析函数左侧的图象，右侧的图象让学生讨论分析，老师及时补充纠正）图象在y轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当x>0时，y随x的增大而增大.用符号语言描述，就是任意取，得到，那么当时，有.这时我们就说函数在区间上是单调递增的.（老师给学生时间分组讨论思考题，画出图象分析）思考：函数各有怎样的单调性？的图象如图(1)，图象在y轴左侧从左到右是下降的，也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小，用符号语言描述就是任意取，则，当时，有，所以在区间上单调递减的.类似地，在区间是单调递增的.的图象如图(2)，图象在y轴左侧从左到右是上升的，也就是说，当x<0时，与y随x的增大而增大，用符号语言描述就是任意取，则，当时，有，所以在区间上是单调递增的.类似地，在区间上是单调递减的.探究二：单调性的定义(从上面描述的三个图象中，可归纳总结出单调性的定义.)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间：如果，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.如果，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.（同学分组讨论P77的第二个思考题，老师在学生的基础上在补充举例，让学生更全面的了解单调性的定义.）探究三：单调性的应用（老师把例题展示在PPT或黑板上，让学生独立思考后在进行讲解）例1根据定义，研究函数的单调性.分析：根据函数单调性的定义，需要考察当时，还是.根据实数大小关系的基本事实，只要考查与0的大小关系.解：函数的定义域是R.，且，则由，得.所以①当k>0时，.于是，即.这时，是增函数.②当k<0时，.于是，即.这时，是减函数.例2物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此应用函数的单调性证明.分析：根据题意，只要证明函数是减函数即可.证明：，且，则由，得；由，得.又k>0，于是即所以，根据函数单调性的定义，函数是减函数.也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.例3根据定义证明函数在区间上单调递增.证明：，且，有由，得所以又由，得于是即.所以，函数在区间上单调递增.定义法判断函数单调性的一般步骤：①取值：在指定区间内任取，且②作差变形：作差，利用因式分解、配方等方法进行变形③判号：判断的符号④定论：确定函数的单调性探究四：函数的最大（小）值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)，都有；(2)，使得.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.（学生仿照最大值定义给出最小值定义，老师在规范用词）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)，都有；(2)，使得.那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值.（老师提醒学生两条缺一不可，并说明其原因）例4“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？解：画出函数的图象，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数，我们有：当时，函数有最大值于是，烟花冲出后是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.例5已知函数，求函数的最大值和最小值.分析：由函数的图象可知，函数在区间上单调递减.所以，函数在区间的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：，且，则由，得，于是，即.所以，函数在区间上单调递减.因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值.在x=2时取得最大值，最大值是2；在x=6时取得最小值，最小值是.（三）课堂练习1.下列函数在上为减函数的是()A. B. C. D.QUOTE答案：A解析：对于A,对称轴是,在上为减函数，对于B,在上为减函数，不合题意，对于C,上为增函数，不合题意，对于D，是常函数，不合题意，故选：A.2.判断函数在上的单调性并证明你的结论答案：在上是减函数，在上是增函数.证明：设任意，则又设,则 ∴∴在上是减函数又设，则∴∴在上是增函数.3.已知函数．(1)证明：函数在区间上是增函数；(2)求函数在区间上的最大值和最小值．答案：（1）证明：；设，则：；∵；∴，，；∴；∴；∴在区间上是增函数；（