类比推理分类例析

类比推理分类例析类比推理是各种逻辑思维方法中最富于创造性的一种方法．这是因为类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物，也不象演绎推理那样受到一般原理的严格制约．它可以跨越各类事物的界限，进行不同事物的类比，既可以比较事物的非本质属性（如形式和研究方法），又可以比较事物的本质属性．现例析如下：一、外在形式和表面现象的类比例1在中，两直角边，，斜边上的高为，则．该结论的证明很简单．类比它，在立体几何中有何发现？解：我们猜想，在立体几何中，也有类似的一个公式：在三棱锥中，若三条侧棱、、两两垂直，且长度分别为，顶点到底面的距离，则．证明如下：如图1，连结并延长交于点，连结，∵，，∴平面，∴，．∵平面，∴，∴平面，∴．∵，∴在中，，在中，．∴，即．结论中的三条侧棱两两垂直，可等价变为三个侧面两两垂直．评注：本题是从二维平面到三维空间的一个升维类比，仅从形式上就可得出类比的结论，正确与否必须证明．例2已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上除点外的任一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值．试对双曲线写出类似的性质，并加以证明．解：类似性质为：若是双曲线上关于原点对称的两个点，是双曲线上除点外的任一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值．证明如下：设点，，则．∵点在双曲线上，∴，．故（定值）．评注：本题是由椭圆到双曲线的同级类比，仅从表面形式上便可得出类比的结论，叙述时要与原结论保持形式上的一致．二、研究方法上的类比例3已知命题：“若数列为等差数列，且，，则．”现已知数列为等比数列，且，，若类比上述结论，则可得到_ ____．解：设公差为，则，∴．类比此推导方法易知：设公比为，由知，，∴，∴．故应填．评注：本题从形式上难以类比出结论，但从已知结论的推导方法上不难类比得到等比数列的推导方法，从而推导出结论．所以本题更加注重研究方法和思路上的类比．三、本质上的类比例4如图2所示，圆心在原点，半径为的圆交轴正半轴于点、是圆上两个动点，它们同时从点出发沿圆周作匀速运动，点逆时针方向每秒转，点顺时针方向每秒转，试求它们第5次相遇时各自转过的弧度数．解：由点的角速度分别为弧度/秒，弧度/秒，易知第5次相遇点共转过了5周，即弧度，设时间为秒，由知，（秒），所以转过的弧度数分别为（弧度），（弧度）．评注：本题是圆周上的相向运动．类比直线上相向运动的本质规律：距离之和＝速度之和×时间，易得圆周上相向运动的本质规律：角的弧度数之和＝角速度之和×时间，貌似复杂的问题抓住本质就可迎刃而解．演绎推理“防疫站”防疫一：偷换论题例1求证：四边形的内角和等于360°．证明：设四边形是矩形，则它的四个角都是直角，有，所以，四边形的内角和等于．剖析：上述推理过程是错误的，犯了偷换论题的错误．在证明过程中，把论题中的四边形改为了矩形．防疫二：虚假论据例2已知和是无理数，试证：＋也是无理数．证明：依题设和是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，所以＋也是无理数．剖析：上述推理过程是错误的，犯了虚假论据的错误．使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数．防疫三：循环论证例3在中，，求证：．证明：因为，，所以．剖析：上述推理过程是错误的，犯了循环论证的错误．本题的论证就是人们熟知的勾股定理．上述证明中用了“”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误．防疫四：推理错误设，且，，．求证：．