山东省济南市2023年中考数学一轮复习第四章几何初步与三角形第四节解直角三角形练习

PAGEPAGE1第四节解直角三角形1．(2022·云南)sin60°的值为()A.eq\r(3) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)2．(2022·湖州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么cosB的值是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5) C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)3．(2022·广东)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,3) C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)4．(2022·兰州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(3,5)，BC＝6，那么AB＝()A．4 B．6 C．8 D．105．(2022·南宁)如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10m，∠B＝36°，那么中柱AD(D为底边中点)的长是()A．5sin36°m B．5cos36°mC．5tan36°m D．10tan36°m6．(2022·福州)如图，以点O为圆心，1为半径的弧交坐标轴于A，B两点，P是eq\o(AB,\s\up8(︵))上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，那么点P的坐标是()A．(sinα，sinα) B．(cosα，cosα)C．(cosα，sinα) D．(sinα，cosα)7．(2022·岳阳)如图，一山坡的坡度i＝1∶eq\r(3)，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200m到达点B，那么小辰上升了__________m.8．(2022·广州)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝eq\f(15,8)，那么AB＝________．9．(2022·白银)美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°.假设AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)10．(2022·宜昌)△ABC在网格中的位置如下图(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，以下选项中，错误的选项是()A．sinα＝cosα B．tanC＝2C．sinβ＝cosβ D．tanα＝111．(2022·益阳)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)()A.eq\f(h,sinα) B.eq\f(h,cosα) C.eq\f(h,tanα) D．h·cosα12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，那么tan∠BCD的值是________．13．(2022·黑龙江)△ABC中，AB＝12，AC＝eq\r(39)，∠B＝30°，那么△ABC的面积是_____________．14．(2022·邵阳)如图，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后火箭到达B点，此时仰角是45°，那么火箭在这n秒中上升的高度是________km.15．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝eq\f(1,3)，cosC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2).求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．16．(2022·达州)如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东段N有20km.一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km.(1)假设轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？(2)假设轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．(参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)要题加练7解直角三角形的应用1．如图，某山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°，那么该山坡的高BC的长为__________米．2．(2022·宁波)如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，那么旗杆高BC为_____m．(结果保存根号)3．(2022·大连)如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里．(结果取整数)(参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)4．(2022·荆州)全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，假设CD＝10米，那么此塑像的高AB约为________米．(参考数据：tan78°12′≈4.8)5．如图1，滨海广场装有可利用风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6m，DE＝1.8m，∠CDE＝60°，且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°，AB＝1.5m，CD＝1m．为保证长为1m的风力发电机叶片无障碍旋转，叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5m，求灯杆OF至少要多高？(利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保存两位小数)6．(2022·菏泽)如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42m高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮李明计算⑪号楼的高度CD.7．(2022·青岛)如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．假设打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．(结果保存整数)(参考数据：sin67°≈eq\f(12,13)，cos67°≈eq\f(5,13)，tan67°≈eq\f(12,5)，eq\r(3)≈1.73)参考答案【夯基过关】1．B2.A3.D4.D5.C6.C7．1008.179．解：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE＝x，在Rt△DEB中，tan∠DBE＝eq\f(DE,BE)，∵∠DBC＝65°，∴DE＝xtan65°.又∵∠DAC＝45°，∴AE＝DE.即132＋x＝xtan65°，解得x≈116，∴DE≈248.答：观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．【高分夺冠】10．C11.B12.eq\f(3,4)13.21eq\r(3)或15eq\r(3)14.20eq\r(3)－2015．解：(1)如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC＝eq\f(\r(2),2)，∴∠C＝45°.在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1，∴AE＝CE＝1.在Rt△ABE中，tanB＝eq\f(1,3)，即eq\f(AE,BE)＝eq\f(1,3)，∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4.(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝eq\f(1,2)BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC＝eq\f(\r(2),2).16．解：(1)如图，延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥l于点E，过点A作AF⊥l于点F，∵∠BEC＝∠AFC＝90°，∠EBC＝60°，∠CAF＝30°，∴∠ECB＝30°，∠ACF＝60°，∴∠BCA＝90°.∵BC＝12km，AB＝36×eq\f(40,60)＝24(km)，∴AB＝2BC，∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°.∵∠ABC＝∠BDC＋∠BCD＝60°，∴∠BDC＝∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝12km，∴所需时间为eq\f(12,36)h＝eq\f(1,3)h＝20min.即轮船照此速度与航向航行，11：00到达海岸线．(2)∵BD＝BC，BE⊥CD，∴DE＝EC.∵BC＝12km，∠BCE＝30°，∴BE＝6km，EC＝6eq\r(3)≈10.2km，∴CD＝20.4km.∵20＜20.4＜21.5，∴轮船不改变航向，可以停靠在码头．要题加练7解直角三角形的应用1．1002.10eq\r(3)＋13.114.585．解：在Rt△ACB中，AC＝sinB·AB，∵AB的倾斜角为43°，AB＝1.5m，∴AC≈0.6820×1.5＝1.023(m)．如图，过点E作EG⊥地面于G，过点D作DH⊥EG于点H.∵∠CDE＝60°，∴EH＝cos∠CDE·DE＝cos60°×1.8＝0.5×1.8＝0.9(m)，∴DF＝6－0.9＝5.1(m)．由题意得OA≥1.5，∴OF＝DF＋CD＋AC＋OA≥5.1＋1＋1.023＋1.5＝8.623(m)．答：灯杆OF至少要8.63m.6．解：如图，作AE⊥CD，那么AE＝BD，AB＝ED.∵CD＝BD·tan60°＝eq\r(3)BD，CE＝BD·tan30°＝eq\f(\r(3),3)BD，∴AB＝CD－CE＝eq\f(2\r(3),3)BD，∴BD＝21eq\r(3)，∴CD＝BD·tan60°＝eq\r(3)BD＝63.答：⑪号楼的高度CD为63m.7．解：如图，过B作BD⊥AC交AC于点D.由题意可得∠ABD＝67°，∠CBD＝30°，AB＝520.在Rt△AB