不等式的证明、柯西不等式与均值不等式 课时训练

不等式的证明、柯西不等式与均值不等式■基础热身(10分)［优质试题•石家庄模拟］已知函数f(x)=|x+l|+|x-5|的最小值为m.⑴求m的值；⑵若a,b,c均为正实数，且a+b+c=m,求证:a2+b2+c2±12.(10分)［优质试题•衡水中学三模］已知实数a,b满足a2+b2-ab=3.⑴求a-b的取值范围；(2)若ab>0,求证:一+—+-三一.■能力提升3.(10分)［优质试题•巢湖模拟］已知函数f(x)=|2x-l|+|x+l|.⑴求函数f(x)的值域M；⑵若a丘M,试比较|a-l|+|a+l|,_—2a的大小.4.(10分)已知函数f(x)=|x+5|-|x-1|(x£R).⑴解关于x的不等式f(x)Wx；⑵记函数f(x)的最大值为k,若lga+lg(2b)=lg(a+4b+k),试求ab的最小值.5.(10分)已知a,b为任意实数.⑴求证:a4+6a2b2+b424ab(a2+b2)；⑵求函数f(x)=|2x-a4+(i—6a2b2—b4)|+2|x-(2a3b+2ab3-l)|的最小值.6.(10分)［优质试题•安阳二模］已知函数f(x)=2|x+l|-|x-l|.⑴求函数f(x)的图像与直线y=1围成的封闭图形的面积m；⑵在⑴的条件下，若(a,b)(aMb)是函数g(x)=—图像上一点，求一的取值范围.■难点突破7.(10分)［优质试题•武汉二模］已知a〉O,b〉O,c〉O,函数f(x)=|x+a|-|x-b|+c的最大值为10.(1)求a+b+c的值;⑵求-(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2的最小值，并求出此时a,b,c的值.&(10分)［优质试题•昆明模拟］已知a,b,c,m,n,p都是实数，且a2+b2+c2=l,m2+n2+p2=l.(1)证明:|am+bn+cp|W1；⑵若abcMO,证明:一+—+—三1.全国名校高考数学一轮复习优质课时训练汇编（附详解）全国名校高考数学一轮复习优质课时训练汇编（附详解）全国名校高考数学一轮复习优质课时训练汇编（附详解）课时作业(七十)解：(1)°.°f(x)=|x+l|+|x—5|三|x+l-x+5|=6,.*.m=6.(2)证明:，.，a2+b2^2ab,a2+c2^2ac,c2+b2^2cb,.°.2(a2+b2+c2)^2(ab+ac+bc),.°.3(a2+b2+c2)上a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2,又m=6,.•.a+b+c=6,Aa2+b2+c2^12.解：(1)因为a2+b2—ab=3,所以a2+b2=3+ab三2|ab|.当ab三0时,3+ab三2ab,解得abW3,即0WabW3；当ab<0时,3+ab三-2ab,解得ab三T,即TWab〈0.所以TWabW3,则0W3-abW4,而(a—b)2=a2+b2—2ab=3+ab—2ab=3—ab,所以0W(a-b)2W4,即-2Wa-bW2.⑵证明:由⑴知0〈abW3,因为_+_+一_=—+—二-=——+_=3—-=3—-_三0,当且仅当ab=2时取等号，所以一+—$三一.解：(lf(x)=-_根据函数f(x)的单调性可知,f(x)=f-=-，min所以函数f(x)的值域M二一.⑵因为aUM,所以a三-,所以0〈一W1,|a-l|+|a+l|二aT+a+l=2a三3.—二=/由a三-，知a-l〉0,4a-3〉0,所以—〉0,所以一〉一2a,所以|a-l|+|a+l|〉一〉_—2a.解：(1)当xW-5时，由-(x+5)+(x-l)Wx得-6WxW-5；当-5〈x〈l时，由(x+5)+(x-l)Wx得-5〈xW-4；当x±l时，由(x+5)-(x-l)Wx得x±6.因此f(x)Wx的解集为{x|-6WxW-4或x±6}.⑵易知k=6,则由lga+lg(2b)=lg(a+4b+k)n2ab二a+4b+6n2ab三4—+6nab—2—-320n(——3)(—+1)三On三3nab三9,所以ab的最小值为9.解：(1)证明:a4+6a2b2+b4-4ab(a