年新教材高一数学暑假作业一新人教A版

高一数学暑假作业一、单选题设集合A={x|-2<x<4}，B={2,3，4，5}，则(∁A.{2} B.{4,5} C.{3,4} D.{2,3}已知z=2+i，则z(zA.6+2i B.4-2i C.6-2i D.4+2i某工厂12名工人的保底月薪如表所示，第80百分位是(    )工人保底月薪工人保底月薪128907285022860831303305092880429401033255275511292062710122950A.3050 B.2950 C.3130 D.3325设D为△ABC所在平面内一点，BC=3DC，则A.AD=-13AB+23AC 甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为(    )A.23 B.13 C.16如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1A.312B.66

C.34古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为(    )A.198π立方丈 B.1912π立方丈 C.19π8立方丈 如图所示，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=CD=6，AC⊥BC，∠B=60o，现将△ACD沿AC边折起，并连接BD，当三棱锥D-ABCA.4π B.8π C.12π D.16π△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a+b=2ccosB，若CD是角C的平分线，AD=27，DB=7，求CDA.3 B.2 C.22 D.二、多选题设i为虚数单位，复数z=(a+i)(1+2i)，则下列命题正确的是(    )A.若z为纯虚数，则实数a的值为2

B.若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是(-12,2)

C.实数a=-12是z=z-(z-为z的共轭复数2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，则7个有效评分与9个原始评分相比，变化的数字特征是(    )A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差已知角α，β，γ，满足α+β+γ=π，则下列结论正确的是(    )A.sin(α+β)=sinγ B.cos(β+γ)=cosα

C.sinα+γ已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D是边AC上，且AC=3AD，点E是BC边上任意一点(包含B，C点)，则AE⋅A.-56 B.-16 C.已知四边形ABCD是等腰梯形(如图1)，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB.将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB(如图2)，连结AC，AB，设M是AB的中点.下列结论中正确的是(    )A.BC⊥AD B.点E到平面AMC的距离为63

C.EM//平面ACD D.四面体ABCE的外接球表面积为5π三、单空题某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，12，8.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为______．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=(22,-22)，n=(sinx,cosx)，x∈(0,π).若m//n，则x=______.若存在两个不同的已知函数f(x)=x+1，g(x)=2|x+2|+a若对任意x1∈[3,4]，存在x2∈[-3,1]，使f(已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，点D，E分别是PB，BC的中点，PA=3，PD=DE=2，PE=22,AD=13，AE=17，则球O的表面积为四、解答题从①B=π4，②a=32sinB这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．

已知△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．

(1)求角A；

(2)已知b=6，且____，求如图，在直角△ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点，|AB|=3，|AC|=6．

(1)用AB，AC表示AD和EB；

(2)求向量EB与

由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻于2019年10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公斤，第三代杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展.某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值k(70≤k<100)为衡量标准，质量指标的等级划分如表：质量指标值k90≤k<10085≤k<9080≤k<8575≤k<8070≤k<75产品等级ABCDE为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，在以组距为5画频率分布直方图(设“频率组距=Y”时，发现Y满足：Y=3n-39300,n≤16a⋅220-n,n>16，n∈N*，5n≤k<5(n+1)．

(1)试确定n的所有取值，并求a；

(2)从样本质量指标值不小于85的产品中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中一次性随机抽取2件产品，求至少有1件A级品的概率；

(3)求样本质量指标值k的平均数k-(如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G．

(Ⅰ)证明：G是AB的中点；

(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．

在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

①函数y=f(x-π12)的图象关于原点对称；

②函数y=f(x)的图象关于直线x=2π3对称

已知函数f(x)=4sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)，f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为π2，____．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数g(x)=f(x)cos2x在[-π如图，在半圆柱W中，AB为上底面直径，DC为下底面直径，AD为母线，AB=AD=2，点F在AB上，点G在DC上，BF=DG=1，P为DC的中点．

(1)求三棱锥A-DGP的体积；

(2)求直线AP与直线BF所成角的余弦值；

(3)求二面角A-GC-D的正切值．

已知函数f(x)=log2(x-1)．

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)设g(x)=f(x)+a，若函数g(x)在(2,3)上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；

(3)设h(x)=f(x)+mf(x)，是否存在正实数m，使得函数y=h(x)在[3,9]内的最小值为4？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵A={x|-2<x<4}，∴∁RA={x|x≤-2或x≥4}，

∵B={2,3，4，5}，

∴(∁RA)∩B={4,5}，

故选：B．

先求出集合A的补集，再根据集合的基本运算即可求(∁【解析】解：∵z=2+i，∴z(z--i)=(2+i)(2-2i)=4-4i+2i+2=6-2i，

故选：C．

直接利用复数代数形式的四则运算即可求解．

本题考查复数代数形式的四则运算，属于基础题．

3.【解析】解：这组数据从小到大排列为：

2710，2755，2850，2860，2880，2890，2920，2940，2950，3050，3130，3325；

由12×80%=9.6，所以这组数据的第80百分位是第10个数据，为3050．

故选：A．

把这组数据从小到大排列，由12×80%=9.6，得出这组数据的第80百分位是第10个数据．

本题考查了百分位数的计算问题，是基础题．

4.【答案】C

【解析】解：∵BC=3DC，∴D为线段BC靠近C点的三等分点

∴BD=23BC=23AC-23AB，

∴AD=AB+BD【解析】解法一：甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，

基本事件总数n=C43A33=24，

抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件个数m=C43C11A22=8，

则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为p=mn=824=13．

故选：B．

解法二：甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，

假设从高到底为甲、乙、丙、丁，

从这四位同学中随机抽出三人排成一排，

基本事件总数有24个，分别为：【解析】解：如图

取BC中点O，连接AO，

∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，∴AO⊥BC，

又正三角形ABC的边长为1，∴AO=32．

而平面BAC⊥平面B1BCC1，且平面BAC∩平面B1BCC1=BC，

∴AO⊥平面B1BCC1，又四边形B1BCC1是边长为1的正方形，

∴四棱锥A-B【解析】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，

则2πr=2，2πR=3，得r=1π，R=32π．

又圆台的高为1，

∴圆台的体积V=13π×1×(1π2+1π×32π+94【解析】解：由题意，当平面ACD⊥平面ABC时，三棱锥的高最大，此时体积最大，

AD=CD=6，AD⊥CD，

∴△ACD的高为3，D是投影在AC的中点

∵平面ACD⊥平面ABC，

∴三棱锥的高为3，AC=23，BC=2，AB=4

又∵AC⊥BC，∠B=60o，

∴平面ABC外接圆半径r=AB2=2，

设球心O到圆心O'的距离为d，

可得R2=r2+d2……①

R2=(12BC)2+(3-d)2……②【解析】解：由余弦定理知cosB=a2+c2-b22ac，

∵2a+b=2ccosB，

∴2a+b=2c⋅a2+c2-b22ac，即a2+b2-c2=-ab，

由余弦定理知，cosC=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12，

∵C∈(0,π)，

∴C=2π3．

由角分线定理知ACBC=ADBD=277=2，

设BC=x，则AC=2x，

在△ABC中，由余弦定理知，【解析】解：复数z=(a+i)(1+2i)=(a-2)+(2a+1)i；

对于A：当a=2时，z为纯虚数，故A正确；

对于B：z在复平面内对应的点在第三象限，可得a-2<02a+1<0，解得a<-12；故B不对；

对于C：共轭复数Z-，需满足2a+1=-2a-1，可得a=-12，故C正确；

对于D：由z+|z|=x+5i，即2a+1=5，可得a=2，故D正确；

故选：ACD．

根据复数的性质依次对各选项判断即可；【解析】解：从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，其中位数是不变的，其他数字特征均会发生变化．

故选：BCD．

一列数，去掉最大值和最小值，不会改变中间值，即中位数，故而得解．

本题考查统计中数据的数字特征的概念与含义，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．

12.【答案】AD

【解析】解：由于角α，β，γ，满足α+β+γ=π，∴α+β=π-γ，∴sin(α+β)=sin(π-γ)=sinγ，故A正确；

∵α+β+γ=π，即γ+β=π-α，∴cos(β+γ)=cos(π-α)=-cosα，故B错误；

∵α+γ2=π-β2，∴sinα+γ2=sinπ-β2=cos【解析】解：如图，

∵点E是BC边上任意一点(包含B，C点)，

∴可设AE=λAB+(1-λ)AC，其中0≤λ≤1，

∴AE⋅BD=[λAB+(1-λ)AC]⋅(AD-AB)=[λAB+(1-λ)AC]⋅(【解析】解：在图1中，过C作CF⊥EB，

∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，

∵CD=1，∴EF=1．

∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，∴AE=BF=1．

∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1．

连接CE，则CE=CB=2，

∵EB=2，∴BC2+EC2=BE2，得∠BCE=90°，则BC⊥CE

在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，∴AE⊥平面BCDE．

∵BC⊂平面BCDE，∴AE⊥BC．

∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC．

若BC⊥AD，又BC⊥AE，AE∩AD=A，∴BC⊥平面AED，

过一点E与BC垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故A错误；

由AE=1，EC=2，得AC=3，又BC=2，

∴S△ABC=12×2×3=62，而S△BCE=12×2×1=1，

设点E到平面AMC的距离为h，

由VA-BCE=VE-ABC，得13×1×1=13×62×h，

即h=63，故B正确；

假设EM//平面ACD，

∵EB//CD，CD⊂平面ACD，EB⊄平面ACD，

∴EB//平面ACD，

又∵EB∩EM=E，∴平面AEB//平面ACD，

而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB//平面ACD矛盾．

∴假设不成立，故EM与平面ACD不平行，故C错误；

连接MC，

∵△AEB为Rt△，△ACB为Rt△，且M为AB的中点，

∴MA=MB=ME=MC，即M为四面体ABCE的外接球的球心，

∴四面体ABCE的外接球的半径为12AB=1212+22=52，

则四面体【解析】解：平均数为15×(x+y+10+12+8)=10，即x+y=20①，

方差为15×[(x-10)2+(y-10)2+(10-10)2+(12-10)2+(8-10)2]=2，即(x-10)2+(y-10)2=2②，

由①②解得x=9，【解析】解：①因为m//n，所以22cosx+22sinx=0，即sin(x+π4)=0，

所以x+π4=kπ，k∈Z，即x=kπ-π4，k∈Z，

因为x∈(0,π)，所以x=3π4．

②由题意知，|m|=1，|n|=1．

因为|n+m|=t|n|，所以|n|2+|m|2+2m⋅n=t2|n|2，且t>0，

所以1-t2+1+2(22sinx-22cosx)=0，即t2-2=2sin(x-π4)，

若存在两个不同的x值，使得|n+【解析】解：若对任意x1∈[3,4]，存在x2∈[-3,1]，使f(x1)≥g(x2)，

可得f(x)min≥g(x)min，

由f(x)=x+1在[3,4]递增，可得f(x)的最小值为f(1)=4，

g(x)=2|x+2|+a在[-3,-2]上递减，在[-2,1]递增，可得g(x)的最小值为g(-2)=1+a，

所以4≥1+a，

解得a≤3【解析】解：由PA=3，PD=2，PE=22，AD=13，AE=17，

得PA2+PD2=AD2，PA2+PE2=AE2，

可得PA⊥PB，PA⊥PE，

又PB∩PE=P，∴PA⊥平面PBC，

∵D，E分别是PB，BC的中点，且PD=DE=2，∴PC=4，PB=4，

又PE=22，∴BC=2BE=42，有PB2+PC2=BC2，

得PB⊥PC，

将三棱锥放在长方体中，外接球的直径等于长方体的对角线，设外接球的半径为R，

则(2R)2=32+42+42=41，

∴外接球的表面积S=4πR2=41π．

故答案为：41π．

由已知求解三角形可得PA、PB、PC两两互相垂直，然后利用分割补形法求解．

本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，训练了分割补形法，是中档题．

19.【答案】解：(1)因为sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，

由正弦定理可得a2=【解析】(1)由已知利用正弦定理可得a2=b2+c2+bc，根据余弦定理可求cosA=-12，结合范围0<A<π，可求A的值．

(2)选择①时，由A=2π3，B=π4，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，根据正弦定理asinA=bsinB，可得a=3，利用三角形的面积公式即可计算得解；选择②时，a=32sinB，根据正弦定理解得sinB=22，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，根据正弦定理可得a=3，利用三角形的面积公式即可计算得解．

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

20.【答案】解：(1)以A为原点，AC、AB所在直线分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(0,3)，C(6,0)，D(2,2)，E(1,1)．

∴AB=(0,3)，AC=(6,0)，AD=(2,2)，EB=(-1,2)，

设AD=mAB+nAC，则(2,2)=(6n,3m)，解得m=23，n=13，∴【解析】(1)以A为原点，AC、AB所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，逐一写出A、B、C、D、E的坐标；设AD=mAB+nAC，EB=λAB+μAC，可列出关于m、n、λ和μ的方程，解之即可；

(2)由(1)知，EB=(-1,2)，EC=(5,-1)，再根据平面向量数量积的坐标运算即可得解．

本题考查平面向量的基本定理和数量积运算，遇到规则图形建立坐标系，借助平面向量的坐标运算可简化试题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

21.【答案】解：(1)根据题意，k∈[70,100)，按组距为5可分成6个小区间，

分别是[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100)．

因为70≤k<100，由5n≤k<5(n+1)，n∈N*，

所以n=14，15，16，17，18，19，

每个小区间对应的频率值分别是5Y=3n-3960,n=14,15,165a⋅220-n,n=17,18,19.

所以3×(14+15+16-39)60+5a(8+4+2)=1，

解得a=1100．

(2)由(1)中的数据，得

k∈[85,90)的频率为1100×220-17×5=0.4；

k∈[90,95)的频率为1100×220-18×5=0.2；

k∈[95,100】的频率为1100×220-19×5=0.1，

利用按比列分配分层随机抽样抽取的7件产品中，

k∈[85,90)的有4件，分别记作A1，A2，A3，A4；

k∈[90,100)的有3件，分别记作B1，B2，B3，

从抽取的7件产品中任取2件产品，则样本空间Ω={A1A2,A1A3,A【解析】(1)根据题意，k∈[70,100)，按组距为5可分成6个小区间，根据题意可得n=14，15，16，17，18，19，分别算出每一组的频率，按照频率之和为1，再计算a的值．

(2)分别计算出k∈[85,90)，k∈[90,95)的频率，k∈[95,100】的频率，利用按比列分配分层随机抽样抽取的7件产品中，k∈[85,90)的有4件，分别记作A1，A2，A3，A4；k∈[90,100)的有3件，分别记作B1，B2，B3，再利用列举法得从抽取的7件产品中任取2件产品，样本空间的个数，事件A=“随机抽取的2件产品中至少有一件A级品“个数，再由古典概型公式，计算出P(A)．

(3)分别算出每一组的概率乘以各自组中值之和，即可得出答案．

本题考查统计与概率，解题中注意分层抽样，古典概型的应用，属于中档题．

22.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵P-ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，

∴PD⊥平面ABC，

又AB⊂平面ABC，

则PD⊥AB，

又E为D在平面PAB内的正投影，

∴DE⊥平面PAB，

又AB⊂平面PAB，

则DE⊥AB，

∵PD∩DE=D，PD、DE⊂平面PDE，

∴AB⊥平面PDE，

又PG⊂平面PDE，

则AB⊥PG，

又PA=PB，

∴G是AB的中点；

(Ⅱ)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．

∵正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，

∴PB⊥PA，PB⊥PC，

又EF//PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，

又PA∩PC=P，PA、PC⊂平面PAC，

因此EF⊥平面PAC，

即点F为E在平面PAC内的正投影．

连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，

所以D是正三角形ABC的中心．

由(Ⅰ)知，G是AB的中点，

所以D在CG上，

故CD=23CG．

由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，

所以DE//PC，

因此PE=23PG，DE=13PC．

由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，

可得DE=2，【解析】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、判定，属于中档题．

(Ⅰ)根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；

(Ⅱ)由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．

23.【答案】解：(1)补充①函数y=f(x-π12)的图象关于原点对称，

∵f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为π2，

∴T2=π2，即T=π，

∴ω=2πT=2ππ=2，

∴f(x)=4sin(2x+φ)，

∵f(x-π12)=4sin[2(x-π12)+φ]=4sin(2x+φ-π6)，

又∵函数y=f(x-π12)的图象关于原点对称，

∴φ-π6=kπ,k∈Z，即φ=π6+kπ，

又∵0<φ<π2，

∴φ=π6，

∴f(x)的图象解析式为f(x)=4sin(2x+π6)．

补充②函数y=f(x)的图象关于直线x=2π3对称，

∵f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为π2，

∴T2=π2，即T=π，

∴ω=2πT=2ππ=2，

∴f(x)=4sin(2x+φ)，

∵函数y=f(x)的图象关于直线x=【解析】(1)根据已知条件，可推得周期，进而确定ω的值，再结合对称轴或对称中心的性质，即可求解f(x)的解析式，(2)根据三角函数的二倍角公式、两角和公式，可将原式化简为f(x)=2sin(4x+π6)+1，结合x的取值范围，即可求出f(x)的值域．

本题主要考查三角函数的图象和性质，根据已知条件求出函数的解析式是解决本题的关键，要求学生熟练掌握公式，属于