决胜新高考-2023届高三年级大联考（试题解析）

决胜新高考一一2023届高三年级大联考

《数学》试题解析

本试卷共6页，22小题，满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上•将条

形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信

息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改

液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.若A={x|f-9W0},8={%|3%-aW()},且An3={x|-3<xWl},则。=

A.-9B.-3C.3D.9

【答案】C

【解析】由已知得人=[—3,3],B=因为Anb=[—3,1],所以。=3,故选C.

2.复数』的虚部是

A.B.-1C.|D.|

【答案】A

【解析】因为T与=中，所以复数z二的虚部是故选A.

1+2/5l+2i5

3.己知点A(2,l)在抛物线C：上，则C的准线方程为

A.x=~\B.x=1C.y=—1D.y=1

【答案】c

【解析】因为点4(2,1)在抛物线C：x2=2py±.,所以2P=4,p=2,所以抛物线

C：x2=4y,所以C的准线方程为y=-l,故选C.

4.在八包"；中，AD=3DC,则3团=

A.BA+4BDB.BA-4BDC.BD-4BAD.ABD-BA

【答案】D

【解析】因为3配=3（而+而）=3（丽+/而）=3（胡+&丽_事丽）=4而_新，故选

D.

5.某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布N（184,2.5?）.随机抽

取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为

A.0.8185B.0.84C.0.954D.0.9755

（注:若X〜NJ,/）,P（|X-4<cr）=0.683,P（|X-“<2cr）=0.954,

P(|X—“<3cr)=0.997)

【答案】A

【解析】S^jP(179<X<186.5)=P(184-2x2.5<X<184+2.5)

=0^4+(L^3=08185；故选A.

6.已知函数/1(x)=3sin(ox-9+g)(0<o<4,0</<(),若/母=-3,/(x)=/(|x|)>

则.埠)=

A.1B.1C.2D.|

【答案】B

【解析】因为f(x)=/(|x|),所以直线x=0是y=/(x)的对称轴，

所以一J+9=5+%r"eZ,又0</<兀，所以夕=孕，

623

又因为/母=3sin发3+5)=3cos(^<w)=-3,所以切=2+4攵，攵wZ,

又0<°<4,所以口=2,所以理)=3si呜+0得，故选B.

98

7.设a=0.01,b=e99,c=-In0.99,则

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

【答案】c

【解析】因为e、ex+l当且仅当x=0时取等号，

所以e99>-1|+1=表>志=0.01,所以b>a；

因为InxWx—1当且仅当x=l时取等号，

所以ci0.99=l嘴嘴7啾<6；

因为-lnx3—x+l当且仅当x=l时取等号，

所以c=-lnQ99>-0.99+l=0.01=a,所以a<c<6,故选C.

8.如图，ZX/RC内接于圆O,/W为圆O的直径，AB=10,BC=6,

CE>_L平面ABC,£■为4D的中点，且_________________

则点A到平面BCE的距离为

A.啦B.晅C.西D.短

3373

①异面直线座与AC所成角为60。；

②三棱锥D-8EC的体积为16百

注：从以上两个条件中任选一个，补充在横线上并作答.

【答案】C

【解析】选①，建立如图空间直角坐标系，则A(8,0,0),B(0,6,0),设。(0,0,/?),

则&4,0,务，B£?=(4,6，N),C4=(8,0,0),所以——,32.=4=[

228、斤将自百

h=4月.

选②，设8=/7,则匕榭3B£C=匕楂做.DCE，所以;X6X；X8X/Z=16G，力=48.

法一：平面BCE的一个法向量百=(行，0,-2),所以点A到平面3CE距离

公哥陪室，选C.

法二：因为乙如小畛=丫.核雄，设点A到平面BCE的距离为4，则

xx6x2\/7x</=-jx^x6x8x2\/3,所以4=8''^,选C.

法三：因为E为4)的中点，所以A到平面3CE的距离等于。到平面BCE的距离，在

平面48中，作。尸，CE交CE于点F,则可证。尸_1_平面3。£,所以即为A到平面

8CE的距离.因为：xDFx4b=^x8x4G,所以=当用，选C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.设正方体AB8-A4G。的棱长为1，则下列说法正确的是

A.BD1AQB.AC与平面ABCD所成的角为45°

C.两条平行直线A。，BC的距离为1D•点A平面的距离为平

【答案】ACD

【解析】因为AG在平面43CD内的射影为AC,又ACLBD,所以8£>J_A£,

故A选项正确；因为AG在平面他8内的射影为4C，所以NGAC即为AG

与平面AB8所成的角，因为ACxCG，所以NGACX£,故选项B错误；

所以两条平行直线A。，8c的距离为C£)=l,故

选项C正确；设点A平面ADB的距离为“，由等体积法可得手X2X4=3,

所以d=号,故选项。正确，因此选ACD.

10.已知函数f(x)=(x2-2x)e”,则

A.f(x)有两个极值点B./(x)有2个零点

C.f(x)不存在最小值D.不等式/(x)+2x<0对x<0恒成立

【答案】ABD

【解析】因为『(x)=(G-2x)e”,所以1(》)=(/一2把*=0,x=±y［2,所以f(x)在

(-00,-啦］上单调递增，［-应，及］上单调递减，［忘，+oo)上单调递增，所以

/(X)有两个极值点，故选项A正确；因为/(x)=0,x=0或2,所以f(x)有

两个零点，故选项B正确；因为当x<0时，f(x)>0,又f(x)在［-及，夜］上

单调递减，［&,+8)上单调递增，所以“X)存在最小值，故选项C错误；因

为y=-2x是y=f(x)在x=0处的切线，当x<0f!寸，函数f(x)的图象始终在

直线y=-2x的下方，所以不等式f(x)+2x<0对x<0恒成立，所以选项D正

确，故选ABD.

11.已知O为坐标原点，为实数，圆C：(x-3>+y2=9,点。(“，份在圆C外，以

线段CE>为直径作圆M,与圆C相交于A,8两点，且AB=普，则

A.直线A4与圆C相切B.。在圆(x-3)2+)，2=25上运动

C.\OM\<2\OC\D.|«+6|<10

【答案】ABC

【解析】因为点A在以CD为直径的圆M上，所以C4LD4,又点A在圆C上，所以

直线D4与圆C相切，故选项A正确；因为直角4c与直角△DBC全等，

AB=等，所以直角△/MC斜边CD上的高为三，所以CD=5,所以。在圆

（x-3>+y2=25上运动，故选项3正确；因为C£）=5,所以CM=^,所以M

在圆5-3）2+>2=空上，所以|OA/|W3+?<6=2|OC|,故选项C正确；因

为3-3）2+从=25,所以

a+〃=3+5cos，+5sin，=3+5x/^sin（6>+£）W3+5V5,因为3+5夜>10,所

以|〃+加<10不成立，故选项D错误，选ABC.

12.为了确保在发生新冠肺炎疫情时，能够短时间内完成大规模全员核酸检测工作，采用

“10合1混采检测”，即：每10个人的咽拭子合进一个采样管一起检测.如果该采

样管中检测出来的结果是阴性，表示这10个人都是安全的.否则，立即对该混采的

10个受检者暂时单独隔离，并重新采集单管拭子进行复核，以确定这10个人中的阳

性者.某地区发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，若该地区共有10万人，

设感染率为〃（每个人受感染的概率），则

A.该地区核酸检测结果是阴性的人数的数学期望为104（1-p）人

B.随机的10个一起检测的人所需检测的平均次数为11-10（1-p严次

C.该区采用“10合1混采检测”，需要重新采集单管拭子的平均人数为10“i-pi。）人

D.该区采用“10合1混采检测”比一人一检大约少用104[10（l-p尸-1]份检测试剂

【答案】BD

【解析】对选项A,设核酸检测结果是阴性的人数为X,则所以

£（X）=105（l-p）,故A错误;

对选项B,记随机的10个人所需检测的次数为Y,则y的可能取值为1,11,且

,（）

p（y=l）=（l_p）|。，p（y=n）=i-（i-p）,所以

E(K)=(1-p)t0+llx(l-(l-p)10)=11-10(1-p)'°，故选项B正确;

对选项C,记需要重新采集单管拭子的人数为Z,则所以

E(Z)=lO5[l-(l-p)10],故选项C错误;

对选项D,采用“10合1混采检测”需要检测试剂为104+105[1-(1-0力,所以比一

人一检少使用105-104-105+105(l-p)10=104[10(l-p尸-1],故选项D正确;

综上，选BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知圆柱的高为8,该圆柱内能容纳最大的球的表面积为36兀，则圆柱的体积为

【答案】72兀

【解析】因为球的表面积为36兀，所以球的半径为3,因为圆柱内能容纳最大的球的

表面积为36兀，所以圆柱的底面半径为3,所以圆柱的体积为72兀.

14.曲线y=*过坐标原点的两条切线的方程为,.

【答案】y=ex,y=-er

【解析】当时，设切点为(x0,e&),则切线方程为y=e&(x-%)+e阳，则切线经

过原点，所以为=1，所以切线方程为丁="，因为y=e凶是偶函数，所以

另一条经过原点的切线方程为y=-er.

15.已知椭圆(7：4+4=13>6>0),经过原点。的直线交C于A,8两点.P是C上

ab

一点(异于点A,8),直线3P交x轴于点£>.若直线A8,AP的斜率之积为/,且

ZBDO=ZBOD,则椭圆C的离心率为.

【答案】亭

[解析】设A(XQ,%),则B(-，一%).设Pd,y),

—*_*)=从

y-盟x%+%

则如,%=2-)—2，

大一/X1+XQ-XQa

因为ZBOD=ZBDO,所以又因为原屋即8=3，

所以一弧小号,所以，士与士=~，所以e=4

16.一个盒子中装有，(4W〃W10,〃cN")个小球，甲、乙两个同学轮流且不放回地抓

球，每次最少抓1个球，最多抓2个球.约定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢.若

乙有必赢的策略，则〃=.

【答案】6或9

【解析】如图（1）,当〃=4或5时，谁先抓球，则谁有必赢的策略，所以当〃=6时，

不论甲抓1个球，还是抓2个球，此时轮到乙抓时盒子中有5个球或4个球，乙均有必赢

的策略；当”=7或8时，如图（2）,甲第一次抓1个球，则甲第二次抓球时盒子中有5

个球或4个球，所以此时甲有必胜的策略，所以当〃=7或8时，谁先抓球，谁有必赢的

策略；当〃=9时，不论甲抓1个球，还是抓2个球，此时轮到乙抓时盒子中有8个球或

7个球，乙均有必最的策略；依次递推，当〃=3，%（根21,根£N*）时，乙均有必胜的策略

甲乙甲甲乙甲

21<1--剩部球

力=4甲必胜〃=7甲必胜

〜2—1飞2—-剩4个球

2<1-22<1--剩5个球

n=5毕必胜n=8甲必胜

1剩4个球

1—剜5个球1—剩8个球

n=6乙必胜n=9乙必胜

2—剩4个球2一剩7个球

1<1--利2球

n=10甲必胜

剩7个球

(1)（2）

（第16题）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

设S„为数列｛a,,｝的前〃项和，2,q,S”成等差数列.

（1）求｛”“｝的通项公式；

（2）证明•一1—+—5—...^—<1

91s•$+2+邑+2++5„+22

【解】（1）因为2,q,5,成等差数列，

所以2q=2+S,，所以S”=2a“—2,……2分

当〃=1时，q=24-2,4=2；

当心2时，S„=2a„-2,

Si=2%-2,

,4分

又因为qwO,所以对任意的〃eN*,均有4户0,

所以❷-=2,心2.

an-\

所以｛6,｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以。〃=2",〃wN*.....6分

(2)由(1)可得S“+2=2〃〃=2"+l....8分

所以------1---1---F…-I------

5,+2S2+25〃+2

_1+1++1.4(2"-11<1

-222j+，2-'~,1-22"+|2'...10分

2

18.(12分)

一△A…BC…的内"角…A,，…3,C…的一对边/分…别’为…a,…。，c，,己~知…4=券，—cosBcosC=《

36,

(1)求sinBsinC；

(2)若a=3,求△ABC的周长.

【解】⑴因为在AABC中，A=1,

所以cos(B+C)=cos(1一A)=-cosA=-；，...3分

所以8$3©0§。一5山85m。=一4，又因为COS3cosc=，,

26

所以sinBsinC=］；6分

(2)在△A5C中，由正弦定理±=±可得

sinBsinCsinA

而会k端/"又由⑴得sinBsinC等

所以bc=8；

由余弦定理可得后=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,

所以(Z?+c)2=q2+36c=33,所以人+。=屈，

所以ZVIBC的周长为3+屈12分

19.(12分)

如图，在正四棱锥尸-ABCZ)中，B4=AB=2,点/，N分别在上，且

PMBN

(1)求证：〃平面P8C：

(2)当；1=；时，求平面40N与平面尸3c所成二面角的正弦值.

【解】(1)证明：连接4V并延长交于点E

因为正四棱锥P-/15cD,

所以ABCD为正方形,

所噜嘲

又因为鬻=翳

所以答=鬻

所以在平面P4E中，MN//PE,

又MNU平面PBC,PEu平面「3C,

所以MV〃平面P3C.4分

(2)连接AC交加于点O,连接PO,

因为正四棱锥P-ABCD,所以P0,平面A8CD,

又O4,O8u平面AB8,所以PO_LOA,POJ.O8,

又正方形所以CW_L08.5分

以。乂，0瓦而为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系,

则4夜，0,0),B(0,a,0),C(-x/2,0,0),£)(0,-0,0),P(0,0,夜)，

因为,所以N(0,0,0),

则而=(-0,0,0),丽=(0,0,—伪,

设平面的法向量为阳=a，y，Z1）,

贝AN=-伉+Oxy=0,

'["「PA=y/2x]-y/2zt=0,

石=0

取♦y=0,%=（%,&,%）；...7分

Zj=0

PB=（0,72,-72）.PC=（-垃,0,-夜），

设平面PBC的法向量为w2=（x2,必，Z2），

n

、\2-PC=-72X2-V2Z,=0,

x2=1

取，必=-l，"2=（1，-1，-1）；……9分

z2=-]

所以|COS</l|>",>1=L—，

■8X及3

设平面40N与平面P3C所成的二面角为6,

贝!Jsin0=J1-cos<%,n,,

所以平面AMN与平面P8C所成二面角的正弦值为号.……12分

20.（12分）

有9只不同的实验产品，其中有4只不合格品、5只合格品.现每次取一只测试，直到

4只不合格全部辨别出为止.

（1）若最后1只不合格品正好在第6次测试时被发现，不同的情形有多少种？

（2）记4只不合格品全部辨别出来所需测试的次数为X,求X的分布列和数学期望.

【解】（1）最后1只不合格正好在第6次测试时被发现，

意味着前面5次测试中测试出3只不合格品，2只合格品，

所以共有C：C；A；=4x10x120=4800种不同情形.……4分

（2）X的可能取值为4,5,6,7,8....5分

"=4)=*六,

CCA：+A15

尸(X=5)=

126

C：C；A；+C；A；A；一一

P(X=6)=155

一126-42‘

CC；A：+C：A武

P(X=7)=

尸旌8)_3困_5

尸。一8)-囚和

所以X的分布列为

X45678

P15555

12612642189

E(X)=4+25+90+245+560=15410分

12621

所以X的数学期望为詈.12分

21.(12分)

已知函数f{x}=x-a\nx.

(I)若a=l,证明:f(x)>1；

(2)若/(幻在(1,+8)有且仅有唯一零点，求〃.

【解】(1)a=l时，f(x)=x-\nx,

则小)=1+号1

当0<x<l时，,f(x)<0,当x>l时，尸(x)>0,

所以/(%)在(0,1］上单调递减，口，+8)上单调递增,

所以/(%)可(1)=1；2分

(2)因为f(x)=x-alnx,所以尸(x)=l-.

当&W1时，因为当x>l时，f'(x)>0,

所以/(x)在(1,+8)上单调递增,

所以/(x)>〃l)=l>0.

此时/(X)在(1,+8)上无零点;4分

当°>1时，因为当x>l时，/,(x)<0=>l<x<tz,r(x)>0nx>a,

所以/(X)在(1,0上单调递减，在3,+8)上单调递增，

所以/(x)&/(a)=a(l-lna).

①当a=e时，/(%)&/(a)=0,

此时/(%)在(1,+8)上有唯一零点x=e；

②当1<a<e时，f(x)》f(a)=a(l-hia)>0>

此时f(x)在(1,+8)上无零点，不满足题意；...6分

③当a>e时，因为/(l)=I>0,f(a)=a(l-lna)<0,

且丫=/(x)在［1,0上图象连续不断，

所以f(x)在(1,a)上有唯一零点；……7分

由(1)可得x>Inx,所以e">Ine"=a,

令P(x)=ex-x2,x>e,则P'(x)=ex-2x,x>e,

P\x)=ex-2>ee-2>0,所以P'(x)在(e,+8)上单调递增，