篇注2振动利用工程中的若干非线性问题研究

Ph.D.STUDYONSEVERALNONLINEARPROBLEMSINTHEVIBRATIONUTILIZATIONPh.D. Li WenBangchun MechanicalDesign&Theory SchoolofMechanicalEngineering&AutomationNortheasternUniversity,Shenyang 摘振动利用工程作为振动工程的一个分支，已在工业及人们的日常生活中发挥愈来愈重要本文以振动利用工程为对象，研究分析了机械振动利用工的几个典型的非线性问题，并首章用工有性系分渐时，工具有滞回作用力的系统是振动利用工较为常见的非线性系统，有着广泛的工程背景。第三章首先对滞回模型的基本特征作了分析，讨论了模型参数对滞回特性的影响，并可根据滞回线含慢变参数的振动系统是工又一类典型的非线性系统。第四章对具有慢变参数的非线性系在第四章中本文还针对实际过一些复杂慢变系统的特殊性，首次提出了一种含双参数的慢变系统，并对这种系统参数渐近法求出了一次近似解。双参数慢变系统的提出为进一步研究复第五章对利用人工增加采油量的机理进行了探讨。研究了振动对含油层的影响，提出了制约非变性质的介质中的问题求得了近似解。由于介质的不均匀性，速率在过，幅值发料阻尼而耗散的机制从理论及实验上作了定性的研究。建立了结构在高频情况下的波模型，对StudyonSeveralNonlinearProblemsintheVibrationAsabranchofvibrationengineering,utilizationofvibrationhasbeenyedanimportantroleinindustrydepartmentandourdailylife.Thedevelopmentofothersubjectsprovideswidefutureforthevibrationutilization.Inpractice,theproblemsinthevibrationutilizationarenonlinearthatiscausedbyvariousfactors,andshowdifferentforms.Buttheessenceofnonlinearlyisthesame.Iftheseproblemsweresolvedbylineartheory,itwouldcauselargeerror,orobtaintheresultsthatareincontradictorywiththepractice.Basedonthebackgroundofvibrationutilizationinthisthesis,severaltypicalnonlinearproblemsinvibratingmachinesareresearched,andthenonlinearproblemsofwaveutilizationareyzedtoprovidetheoreticbasisforstudyingdeeplytheessenceofnonlinearwaveandbetterusingwaveenergy.Inchaptertwo,firstly,thesystemswithnonlinearinertia invibratingmachineareyzed.Theconceptsofequivalentdam,equivalentmassandstiffnessareused,soastoobtaintherateofequivalentdamandequivalentnaturefrequencythatareexpandedinseriesofsmallparameter.Inthiscase,theprocesstosolvetheequivalentsolutionissimplerthanthattouseKBMmethod,whichavoidsomeinconvenientasresultofvaryingmassandalsoprovideagoodwaytosolvethiskindofproblemsinpractice.Furthermore,theeffectofthepiece-wiselinearinertiaonvibrationsystemisdiscussedbaseontheobjectvibrationcentrifugerthatistwodegreesofdomsystemwithnonlinearinertiaHysteresissystemisanonlinearsystemthatoftenappearsinengineering.Inchapterthree,thebasicfeatureofhystereticmodelandtheeffectofmodelparametersonhystereticcharacteristicsareyzed.Thenitispresentedthattheexistenceofhystereticdamcanbedeterminedaccordingtotheshapeofhystereticcircle.Accordingtothedeformcharacteristicofthevibratingcrushingandvibratingpressing,atwo-waysymmetrywithintervalandasingle-wayasymmetrichystereticmodelsarepresentedinthebroadsense.Finally,inthischapter,thecyclicandchaosmotionsofhystereticsystemarealsoresearched.Inengineeringfield,itisofinterestingtoyzethecharacteristicsofvibratingsysteminfrequency.Thefeatureoffrequencyusuallycanbedescribedbytransformfunctioninlinearsystem.Buttherearenoamaturewaytodescribethefeatureoffrequencyinnonlinearsystem.TherelationofinputandoutputwithnotimevaryingandnonlinearcanbeexpressedbyVoltrraseries.Usingtheseries,thenonlinearsystemcanbe asinfinitelinearsystems.ForusingVoltrraseriestodescribethehystereticsystem,inthispaper,thenon-yticalmodelofthehystereticsystemcanbetransformedtoanyticalmodel.Thusthemodelthatnotonlycandescribethenonlinearhysteresis,butisanyticalmodel.Inordertoshowthefeasibilityofthismethod,thecalculatingresultsarecomparedbetweenbyVoltrraseriesandbynumericalmethod,andthetwomethodshaveagoodcoincidence.Intheendofthischapter,eachordertransformfunctioniscalculatedbyusingVoltrraseriestoyzethefeatureoffrequency.Itisshowthatthereareonlyoddordertransformfunctionsinthehysteresissystem,theevenordertransformfunctionsareInchapterfour,itisyzedthattheeffectsoftheexcitingfrequencywithslowchangingonnon-autonomousrotorsystemandproposedthatchangingthesupportingstiffnesscandecreasevibration.Inpractice,thechangingofstiffnessisacompleteprocess,therefore,thesolvingmethodofpiece-wisehasbeenpresentedforslow-changingsystemtosimplecalculationandimproveprecision,whichthechangingofstiffnessistreatedasthenonlinearprocesswithpiece-wiselinear.Inaddition,itisworthmentioningthatslow-changingsystemwithtwoparametershasbeenstudiedforthefirsttimeinthedissertation,andtheapproximatesolutionisgainedbyusingasymptoticmethodoftwoparameters.Inchapterfive,themechanismofincreasingthetyofoilextricationwithcontrollableepicenterisdiscussed.Firstly,theeffectofvibrationonlayerwithoilisyzed,anditisshowthattherearethreebasicfactorstorestrainthepermeatingflowinunevencrevicesofdynamicsticking.Secondly,itisdiscussedthattheeffectsofvibratingloadwithsuper-lowfrequencyonthesethreefactors,andthedelayeffectofthedisturbance withsuper-lowfrequency.Besides,experimentsweremadeabouttheresponsecharacteristicsoflayerwithoilundervibrationandatthedifferentdistanceofepicenter.Theninthischapter,thecharacteristicofelasticwavepropagationisstudiedwhentheepicenterisoperating,andalsodiscussedtheproblemsofnonlinearwaveinunevenslow-changingmedium,thensolvedtheapproximatesolutionofnonlinearwaveequationbymulti-scalemethod.Becauseoftheunevenofmedium,therateofspeedwillbedeformed,asresulttheshockwavewillhappenatcertaincondition.Oceanwaveisalsoatypicalproblemofnonlinearwave,itisofbenefittostudyforutilizationtheoceanwave.Atlastinchapterfive,basedontheobjectofshallowwaterwaves,theapproximatesolutionofnonlinearwaveKDVequationisgotbysmallparametermethod,andshowthenonlineardisperseeffectofshallowwaterwaves.Inchaptersix,anewhealthmonitoringideacapableofin-siteon-lineincipientdamagedetectionincomplexstructuresisproposedbaseontheprincipleofhigh-frequencyimpedancetechnique.ThevarietiesofthehealthofengineeringstructuresappearasthechangeofitsdynamicimpedancethatcanbeshownbyelectricimpedanceofPZT(piezoceramic).Atthebeginofthischapter,thebasicprincipleofhighfrequencyimpedancetechniqueisintroduced,onthebaseofwavepropagationtheory,themechanismsofenergydissipationwhichiscausedbynon-conservativejointdiscontinuitiesandmaterialdaminthestructureareinvestigatedqualitativelybytheoryandexperiment.Themodelofwavepropagationissetupinhighfrequency,whilethenon-conservativejointofbeamisdescribedbypiece-wiselinearmodel.Thetheoryandexperimentshowthatthenonlinearismorepractical.Moreover,anothermechanismofenergydissipationthatiscausedbystructuredamisinvestigatedandtheenergydissipatedisgivenintermsofthespecificdamcapacityofthestructure,fromwhichaficationofenergydissipationispossible.Andfinally,thenewhealthmonitoringtechniquewhichusethewaveproducedbyPZTactuatortodetectthedamagesinengineeringstructuresisproposed.Fromtheviewofexperiment,somedamagesareevaluatedbyhighfrequencyimpedanceinformation.Itisshowthatthistechniqueisfeasible.:utilizationofvibrating,nonlinearinertiasystem,hystereticnonlinearsystem,chaos,slow-changingsystem,slow-changingsystemwithtwoparameters,controllableepicenter,nonlinearelasticwave,nonlinearshallowwaterwaves,waveinformation,healthmonitoringofstructure,highfrequencyimpedance,PZT-目第1章绪 第2章具有非线性惯性力的振动系统的研 第3章滞回非线性系统的研 第4章具有参数慢变的非线性振动系统的研 第5章波能利用与波动非线性问题研 第6章波动信息在工程结构健康诊断技术中的应 PZT的机电耦合特 波模 波模 第7章结 附录A：作者简 期间 1其它机械设备的振动，家用电器、钟表摆的振动，及噪音、电磁、光、声等等；同样在社会经济生活中，的升跌和振荡、社会经济的发展都遵循着某种振动规律[2]。 物料的是工矿企业应用较广的一种工艺过程，大部分开采出的矿物原料都需要经过破碎才到达200MPa时，破碎过程耗能较高，使物料难以或过磨，所用设备也很复杂。将振动引入破碎工艺则地解决了传统工艺的缺陷。到管分的率因分同些内与其它流化床相比，振动流化床有以下主要特点：1)床层强烈地振动，使流化床的稳定性，均匀性及流化性得到改善，降低床层中的传热传质阻力，从而使干燥速度增大，时间缩短。2)由于固体在高频和小振幅下振动，有助于粘性或易结团的细小颗粒的流化。3)机械振动促进流化，使空气振动压实[`19]20]振动时效就是通过对工件施加周期性应力，迫使工件在其频率范围内产生振动。在振动过作、减少、变形小、缩短生产周期和节约能源等优点。振动打桩机是利用机械联动的两个相等的不平衡转子在同一转速下反转而产生上下方向的振动。在振动作用下，桩附近的土壤变为象有粘性的液体那样，即使是本身重量较小的装置，也能够3个振动，钢球的格罗兹内油田，在天然影响下，平均日产量增加45%。我国工作者也发现，在1975年海城和1976年前后，在胜利、大港、辽河油田油气产量明显增加。上述种种激振，不需井上或井业，因此可免掉因占井作业所造成的产量损失；一点振动，可使多口油井40千瓦，电力足够供应一个小城镇使用。这个电,燃油掺水超声燃烧节油技术是我国特有的有效节能措施之一，被国家列入重点推广的应用项目，已产生了明显的经济效益和社会效益。它是采用流体动力超声器进行燃油掺水，并配有一级射流器、监测仪器、超声波声级计、含水份测示仪、仪表，形成一套完整的工艺流程为达到良好的效果，须使水珠均匀的分散在油中。器有喷口和哨两个部分组成。产生一定频率的振动。该液流与哨相撞，当液体频率与固有频率一致时，在液体射流片的带动下，使哨与液流片发生，产生强声波，从而产生空化现象，在空化场中出现几千甚至几万个大气压的冲击波，将工质。关于哨机理一种比较全面地符合实验的假设是：从喷口中喷射中的水片和周围介质的对称波。在水片很薄的这种液哨中对称波起很小的作用，即水片按称振动。有一定固有振动频刃和喷口间形成稳定的波振动。当波的频率和的固有频率一致时，在此体系中即形成，发射出最强的声波。由此可知，哨是一个流体动力式自激励振动体系，只要水流速度、水片厚度及喷口到刃尖的距离确定之后，水片本身的固有频率就一定。当水片和的频率一致时才发射出切削力F变为以F为幅值的高频脉冲切削力。肤或粘膜透入内，从而得到治疗的效果。超声美容是将超声用于美容的尝试。超声频率越于皮肤后，皮肤表面细胞易活跃渗透，使血液循环和新陈代谢加快，溶解吸收快，从而达到美 电路。电子振铃电路的元件是一块集成电路，是由整流电路和振荡电路构成。输入的铃流心脏是的重要，心脏的跳动是以化学能为能源的，二尖瓣与如同阀门，控制着的规律与频谱，结合其它学科的技术，人们已经制出许多种实用型心膊器和人工心脏，如引起振动利用工的非线性因素主要有：1)振动机械各部件之间的间隙、挡块和摩擦；2）机、振动给料机和振动落砂机等，都是通过对物料进行加工或处理的机械[1]。在完成这些工艺过程振动压实与振动破碎过，物料随着带有振动的压实和破碎机构的运动，将产生弹性与塑性在波能与波动利用中，弹性波在土壤介质中的，由于介质的非线性特性，使其呈现典型的总之，振动在工的应用几乎包揽了非线性振动的所有现象，研究振动利用工的非线性但大多数研究局限于振动系统理论上的研究，离工程实际还有相当的距离，或者对工的一些非文献[26]研究了弱非线性惯性式振动机械的振幅稳定性问题，分析了振动机工作点的选择对对于慢变系统，文献[28]研究了具有慢变参数的弱非线性系统的问题。文献[29]用KBM法研第五章作为波能在工的利用，首先探讨可控震源振动采油的机理，根据渗流理论和流变学究；对可控震源工作时弹性波的特性以及不均匀介质中的非线性波动问题作了研究；同时对海2该系统的方程时，质量、阻尼和刚度参数不仅与时间t有关，而且有时还是系统的速度及加速度的函xacosu1(a,)2u2(a,)

MeM0M12M2cec12c2kekk12k2

2 c12c2 2M 2(M0M12M2 c1[1(c2M1)]2(M)2M0 M0

21(2M1),

M 2cM式中2cM

2 k0k12k2 MM k0[1(k1M1)2(k2M2k1M1)] M M M (0122)222012(2202) 1 1 e(0)2{1 (1 1) [(2 21 1) (1 1)2]} 2 M

2 M M

4 M0(0)2，1 0(1 1) k M 1[( M k1M1)1(k1M1)2 20 M k0M0 4k0 M0 1[k2M2k1M11(k1M1)22da

aa2(

M1)]a1e1

d

22 (a,) (a,) (a) M k

[(g(i)(a)g(i)(a))cos (h(i)(a)h(i)(a))sinn 10 M02 1n0h(i)(a)h(i)

(a)a

2M0g(i)(a)g(i) (a) (fMi(a,)fki(a,))

2Ma g(i)

2 2a2 g(i) h(i)hce,i1

2a0

[fMi(a,)fki(a,)] sin(nm)tcosnm)t(nm为正整数)的各次谐波。非情况(nmn,m为正或负的整数(2.1.13)Nxacosiui(a,,t)O(N1iu1a,,tu2a,,ta、相位角及激振频率的函数。设a与可由以下微分方程给出

1da[a1

2]a

e1a

2)]a

d

12211u1(a,,t)M0[2(nm)2 n

[gmn(a)cos(mn)hmn(a)sin(mn 1(a) 22f0(a,,)g(0)

1

1(a)

f0(a,,)f(acos,asin,a2cos,sin,cos,2sin) 式中t；g，h为富氏系数。由此可以进一步确定u2，2，2。 情况，p(p和q是某两个互质的数)，利用表示两个频率之差， 2(p)2 q因为pt，所以方程(2.1.19)q

xacosu1(a,,pt)2u2(a,,pt) a与da[1(a,)22(a,)3]ad1(a,)22(a,)3

u1、1、1

q f(0)(a)ei[ntm(ptq t)

n (p)2(nmp)其 f(0) 2f

nq(m1)p0 420 (a,) iq2 f 42p 0 (a,)q iq2f

2 42ap 0 其中p,~q xacos(t da eiq

2f(a,,

0

d

eiq22f(a,,

42ap 0 pqm1及m2沿转子轴线方向运动的二自由度非线性微分方程2-1m2x2(x,x)k2x2c2x20 d

F(x)mmx1cos2 mk

k

q e2x(x,x)(cc01)xk1xk01(xe1 x (cc02)xk1xk02(xe2 xx1x212m10、m21(包括m0)2的距；为锥体锥角之半；k2为m2与基础间弹簧的刚度；c1、c2x1和x2成正比的阻尼系数；xx1x2为转子的相对位移；Rf为摩擦系数；k、m为物料开q、ed、z分别为物料m2x2K(x1x2)k2x2Q2

其 Kkke m1m10mmsin2kekk01(011sin201)k02(021sin202 01arccos(e1d)/ar 02arccos(e2d)/式中ke为等效线性化得出的弹簧刚度，d1，而反向滑行指数和抛掷指数都小于1。这时，非线性作用力可表示如下

Q1Q11Q2Q1c2

mk

fcos(2Rcosx1sin

(e2d)xe1Q12 (cc01)xk1xk01(xe1d xe1 (cc02)xk1xk02(xe2d x(e2d1(2)2(2)(km122)/KK/(Kk2m222m1m2j4[(Kk2)m1Km2]j2Kk20,j

x1(2)x(2)acos1(2) x2 0

acos x0acos,tm(x2x)2Q(2)2E(2) 20 rrr1

r m

1(2)2m

(2)2

E

E2方程(2.2.9)中a和daae(2)Err(2)cos/m(2 de(2)Err(2)sin/ma(2 式中e(2)、e(2(2)

20r 2

(2)

{20a1(13)2a(sin2msin2)(cos cos)}22am 2 22Q(2)(a,)(2)2 2m20 r2{12a(1sin22 1sin2 am21 2a(mk sin2m 23 da

d0 m2a2[((2)22)24(2)22)]E(2) arctg(

E(2)E11(2)E22e率，一般为(0.85~0.95)2)，为提高计算精度，可以按下述方法进一步求系统改进的一次近似解。设exss(2)acosus(2)(a,),s 1

(2)(a,)eintd

0 e

n2)

xs

acos

(2)

221n2 1 2)cosn2(c01dn1c02dn2)sinn 2cos sin(n1)01sin(n1) n n 2cos sin(n1)02sin(n1) n n dn2

n

ndn1sin(n1)01sin(n1)n n是振动机械非线性特性的具体表现。若取振动离心机的参数k01K2.5,k020,edar0.5，由于k01k02，则为不对称系统，振动离心机轴向振动的位移与加速度的各次谐波成分为x1=a[cos+0.1148cos2+0.0215cos3+0.00229cos4 对于对称的分段线性非线性系统k01k02)，当e1e20.5ark01K2.5时，位移和加速度的x1a[cos0.043cos30.0028cos5 当振动离心机的某些零部件的固有频率与这些高次谐波成分的频率相近时，可能会产生，使其动变形及动应力增大。因此应当尽量避免零部件发生高次谐波。通常设计时，使零部件的固有频率大于系统工作频率的5倍。因为这种情况下，高次谐波成分的幅值已明显减小。y方向的加速度，而在平行

图2- yx方向的作用力存在着 mp为工作机体质量；mm为物料质量；fs为阻力系数(不包括物料阻尼)；kk0分别为主振弹角；Fm(x、x、x)x方向物料对机体的非线性作用力。K e2K,mqK

mmmf(gSsin qe式中f为物料对机体的滑动摩擦系数；k与mq2-6图2-5所示的振动通常在近情况下工作，由渐近法可求得在定常运动的情况下的一次近似解的振幅a与相位角a 2(a)2]222

arcctg(2e(a)emem其

(a) 1 (f

)

(fa1cos

ps 2mps

a1cos

e(a)

k

mmm(sin2

Fa12F

(x,x)sind12 mF mF

2

1cossin2

1cossin2

f(gsin1sinsin2)

mKmf(gsin1sinsin2)e b

2F(x,x)cosd

1 gcos1sin(

sin ff

gcos1sin(

q 当正向滑始角 、正向滑止角 可按(2.3.5)与(2.3.6)式计算出一次近似情况下的振幅与数0、、a、2-7所示的四种运动状态：1)只有正向滑动的运动状态，如图2-7a)。动形式所组成。2)正向滑动与反向滑动有两次间断的运b)，其基本运动形式的组合方式为相对静止—正向滑动—相对静止。3)正向滑动与反向滑动只有a，物料对应不同的运动状

sin2

m 1cos n=300r/min22，4340，f=0.95力系数fm，如表2-1。kmeK1234Km最大，fm最小；当正反向滑动无间断时，Km最小，fm最大。些高次谐波成分将会使系统产生高次谐波的振动，即u1的振动方程可写为：n(Fgm(x,x,x,t)(ancosjtbnsin

Ssint 其中u1(,t)u(,t) cos (acosjtbsin 2 n2mj 求解时比直接用渐近展开要简便，避免了由于质量为变量而代来的麻烦，使其在求解过物理意3滞回系统是包括了非线性刚度及非线性阻尼的典型的非线性系统，在振动利用工具有广泛的实际背景。在工，滞回非线性一般来自工程材料特别是复合材料的非线性特性，接触面的摩关系，这种关系本质上是结构与系统变刚度能量损耗特征的描述。此外，这种关系还具有“”在工具有滞回恢复力的结构和元件很多。钢丝网类减振器是一种在工程上应用较广的新型许多智能材料如压电陶瓷、形状合金等输入电压与位移之间都表现出滞回的特性[62]。的内阻尼；非线性减振器因干摩擦而引起的滞回；振动压实过由于物料弹塑性变形而引起的滞回；土木工程结构混合控制防震系统在、风力等外界激励作用下呈现出的滞回特性等等。另一类是负阻尼型的，它补充能量而使系统的振动加强，例死区的继电器特性。性是一种具有多值性的非解析系统，因此建立一个具有一般性能的滞回非线性的数学模型是很]x滞图3-1双线性滞回模型的滞回曲 图3-2双线性滞回物理模型回模

A、、n决定。因xcxkxzu(t)

1设系统受正弦激励作用，即u(tBsin(t经四阶龙格-库塔数值求解式(3.2.1)，将计算结果绘制成z-x滞回曲线，从而可进行定性分析。kA值相当于增大系统刚度k，在其它参数不变的情况下，Ak增加则因刚度增加使系统变形减小，因而耗能也减小。3-3是方程(1)与取1，B300，n1，1，1，c0，k0zz

3-3AdzAsig(x)zzn1z

dz

值等于常数A。 3-4与当0，0时，系统表现为软弹簧性质，即系 3-5滞回曲线，其它参数与图3-3(a)相同，由图可见，时，特性的耗能大于时的耗能。

3-6

图3-7(a)和(b)分别是n=1.5与n=2时的滞回曲线，其它模拟参数，A2000，kc0，B40，31，由图可见，n较小时，曲线比较光滑，没有明显的塑性变化范围，而n

3-7n

g(xxzcxkxzg(xxzg～x3-8n=1，k=0，B=300，=31(a)c=20，0g 3-81800。假定5x5x图3-9双向对称有间隙的滞回模 图3-10振动破碎单力学模破碎机系统工作过，动锥与定锥的相对运动形式，物料变形过程以及变形空间的不同，使滞回特性呈现出其特有的特点，带间隙的双向对称滞回模型是根据物料变形特点一种具有典型工x方向往复运动，动锥与机体之间是依靠物

kx

x 1sgn( exx2 F(x)k2x2sgn(

xx2,x xx4,xexx4,x4k2exasin，在x=e时，对应的相角1arcsine，2aarcsinx2

arcsinx3,

arcsinx4a02km0

xasin0

A1(a)

k1a(cos

1)k2a(cos

B(a) [()1(sin2sin2sin2 k [(3

)1(sin22sin

2

[(41)cos1(21)cos2(43)cos4ea

k1a(cos

1)k2a(cos

kk1[()1(sin2sin2sin2

2[(3)1(sin2sin2sin2)] 2(41)cos12(21)cos22(43)cos3-11(a)所示的单自由度系统。物

假定物料滞回力线性滞回模型近似代替曲线型滞回环，由于振动轮在压实前与物料有一定轴向下为正，振幅为a，则偏移量d由能量平衡条件得d(12)ae2

(2)2a2

o1e d图3-11a)振动轮-土壤滞回系 图3-11b)单向不对称带间隙滞回模如图3-11(b)。滞回力可以用下式表示： x1 exx2 F(x)k2x x2x

x4xx3exx4

k1为物料的加载弹性刚度；1k1(ae2k2x2F2；3k1x3F34k2e。ea

[k1d(cos1cos2sin4)k2d(cos2cos1sin4k1a(cos

cos21cos241)k2a(cos

cos24cos221) ke1[k1d(cos1cos2cos4)k2d(cos2cos4sin1)11

(

)

2)

(sin2sin2sin2 k2a(sin

(43)cos44sin1Barcsin(e1)aVolterra函数级数理论来描述非线性系统Volterra函数级数来研究，为此，须首先研究Volterra函数级数理论研究滞回非线性系统频域特性提供可Volterra函数级数展开，然后推导出该系统的各阶传递函数，分析其频域特性，并对其结果进 yf(y)

即y即yg(y)f(y) 用Volterra函数级数来研究其频域特性。但是要将(3.2.3)式表达为Volterra级数，一般条件是 (x2)x(x222)22[1 2] 22 (x2 2] 2(12 2 z，可给定参数3，假设z233 z2[1(z23)3] 2

f(y) z2Axz22(1 )x2(1

3 (Ab3)xa2za2x b3 (

式 a

112，b31

111

3

222

z2 其中，B300，31，计算步长为T0.001，给定参数0.1，0.9，A1000xz 图3-12解析化后的滞回曲 图3-13解析化前后响应曲线的比u(t)与输x(t)之间的关系：x(t)xh()u(t)d h(,)u(t)u(t)d 1 h(,h(,,)u(t)u(t)u(t)dd 3 12 3h(,)u(t)u(t)dd n hn(1,,nnVolterra核函数。而且，对于任何j0hn(1,,j，，n) 可以用此无穷级数精确地描述非线性系统。这个级数是由xf(u1,u2,,un)的 Volterra级数是把线性系统一维卷积表达式扩展到非线性系统卷积表达式，反之可以认为，一维Volterra的一阶核是线性系统的单位脉冲响应函数。因而，Volterran阶核代表了非线性系统n阶脉冲响应函数。对于线性系统，要了解其频域特性，通常是对脉冲响应函数进行拉氏变换；x(t)xn xn(t)hn(1,2,,n)u(ti)d

ni

其中H(s,s,,s) h(,,,)exp[(ss＋s)]ddd 1 1 1 2 n U(s)是输入的一维拉氏变换，Hn(s1,s2,…,sn)n阶传递函数，它反映了非线性系统的频显然，要分析非线性系统的频域特性，必须确定该系统的各阶传递函数。由(3.3.11)式可知，于相同的输入可能得到相同的输出，因而，对应于n个变量的所有排列，就有可能有n的阶乘个 h(1,2,,n) h(1,2,,n H(s,s,,s)

H(s,

,,

azx bxz20 3 0 D A

i

i

i yiDyiu

i a(z)(x) b(x)(z)2 i1 i 式 z

y1Dy10

sX1(s)kX1(s)cX1(s)Z1(s)U sY1(s)DY1(s)0U(s)

X1(sX1(s)s2kcs(Ab3(sa2

H(s)X1(s)

1(Ab

s2kcs

(sa2 y2 (s1s2)Y2(s1,s2)DY2(s1,s2 [(s1s2)ID]Y2(s1,s2)因 [(s1s2)ID]

Y(s,

)X(s,s)

2

)X2(s1,s2)

Dy3

zx

bxz2

211311 (s1s2s3)Y3(s1s2s3)DY3(s1s2s3) aZ(s)X(s)X(s

bX(s)Z

)Z(s)

21 1 1331 1 13 2

(s1s2s3)X3(s1,s2,s3)X3(s1,s2,s3(s1s2s3)X3(s1,s2,s3)kX3(s1,s2,s3)cX3(s1,s2,s3)Z3(s1s2s3)(s1s2s3)Z3(s1,s2,s3)(Ab3)X3(s1,s2,s3)a2Z3(s1s2s3)

X(s,s,s)H(sss)s1s2s3H1(s1)H1(s2)H1(s3)U(s1)U(s2)U(s3)[A 1 (sss) A

(Ab)

其 A 3，B

2s1

3(s2a2)(s3a2H(s,s,s) X3(s1,s2,s3 U(s)U(s)U(s H(s,s,s)H(sss)H(s)H(s)H(s s1s2s3[A 3(sss) H(s,s,s) H(s,s,s

1[H(s,s,s)H(s,s,s)H(s,s,s) 3 中的H(s,s,s)1H(sss)H(s)H(s)H(s)2s1s2s3(A 1 3(sss) Aa2Ab3)

s1

s2

s3B

b3(Ab3)2

a)(s

a)(s

a

2

2

2a2 现在考虑Volterra级数的四阶输出项，观察方程(3.3.18)，在(zi)(xi) 中以及在

xzzxzzxz

21 12 11 y4Dy40 g b3(xzzxzzxz其 g

(zxxzxxzxx) 21 11 12 21 12 11

(ss

00W 3s4)Y4(s1,s2,s3,s4)DY4(s1,s2,s3,s4WW(s1,s2,s3,s4a2[Z2(s1,s2)X1(s3)X1(s4)s3s4Z1(s1)X1(s2)X2(s3,s4)s2s3s4Z1(s1)X2(s2,s3)X1(s4)s2s3s4]/2b3[X2(s1,s2)Z1(s3)Z1(s4X1(s1)Z2(s2,s3)Z1(s4)s1X1(s1)Z1(s2)Z2(s3,s4)s1]/

H(s,s,s,s) X4(s1,s2,s3,s4 U(s)U(s)U(s)U(s 现在考虑滞回系统的n阶输出项。在方程(3.3.18右边第三项中，(z)(x)2 i i n n

i

ii1

i1

Dyn

n

0 n

2zjxijxni3xjzijzni 2i1j 3i1j Yn(s1

,

)

)I 0W )) z(s,WW(s,s,, ,,s ,,s ,,s1 其 n

j12i1

i b3x(s,

,,s

,,s

,,s j1i1

i

3 5 H(s,s,,s) Xn(s1,s2,,sn

U(s)U 2)U(snn为偶数，则在方程(3.3.52)中，由于三个因子相乘的阶数为偶数，其中必有一个因子

x(t)t101

)u(t

u(t)Bu(t)B[exp(jt)exp(jt)]

1)[0111111x(t)

h()exp(j)d]exp(jt)

)exp(j)d]exp(jt)}x(t)B[H(j)exp(jt)H(j)exp(jt)]

H(jHj)exp(jt是exp(jt)的共轭函数，所以方程(3.3.59)x(t)BRe{H(j)exp(BH(j)cos[t(

H(j)H(j)exp[j( x(t)B3B2

[H2(j,j)]BRe[H1(j)exp(B344Re[H3(j,j,j)exp(jt)]2Re[H2(j,j)exp( 34 2Re[H4(j,j,j,j)exp(j2t)]4Re[H3(j,j,j)exp( Re[H5(j,j, Volterra级数非零解，则3x(t)BRe[H( 3B

(j,j,j)exp( )exp(

4

Re[H3(j,j,j)exp(4现求上式右边第一项，令方程(3.3.26)中的sH1(j)

[k22(Ab3)]j[c2a

(Ab3)22a HRk22(Ab32a

HIc

22a

H1(j)

1HR2HI(j)arctg(HI

HI

HI)

HI所 现在求方程(3.3.63)右边第二项，令方程(3.3.41)中s1s2j，s3jRe{H3(j,j,j)exp(jt)}AAH1(j)4cos[tAA21( 其 AA

FRGR2 FI33a3a23232b3a2(Ab32GRa4 GI2a(a22 AARGRFRGI AAIGIFRGR 3(Ab3 FR2FI

32 GR2GI AAI

AAIAAI

AARAARAAarctg(AAR

AAI actg(AAI)

AAI0,AAR AAI0,AAR现在求方程(3.3.63)右边第三项，令方程(3.3.41)中s1s2s3jRe{H3(j,j,j)exp(j3t)}BBH1(j)3H1(j3)cos[3tBB31()其 BB

3(Ab3)WR ZR

2 3 WRa2 WI[a2b(A2 3 ZRa2(a22)62 ZI3(a22)2a BBRZRWRZIWR2WIWR2WI

BBIZIWRZR BB2

ZR2ZI

BBI

BBIBBI

BBRBBRBBarctg(BBR

BBI arctg(BBI)

BBI BBR BBI BBRx(t)BH1(j)cos[t1()]3B3AAH1(j)4cos[tAA21(14

BBH1(j)

A1BH1(j)3B3AAH1(j)4exp[j(1()4A31B3BBH1(j)3H1(j3)

3-14k=0了在0处有一个峰外，在0/3H1j3的作用，即次谐波。此外，由图可见，三次谐波的幅值相对一次谐波的幅值来讲小的多，因此，用Volterra级数描述该非线性还未见有。因此对滞回系统的混沌研究无疑将具有意义。本节对滞回系统的周期运动及混对滞回系统方程式(3.3.1)，当(n=1)时，其不动点为

0,0,0)和Y0

Ak(

A, )k(

Df(Y0f在不动点Y0Jacobi矩阵。在不动点Y0(0,0,0)Jacobi矩阵为 0Df(Y0) 0

3c12(kA) 个零根，所以为Pitchjork分叉。在不动点Y0( k()

, k(

处的Jacobi 0Df(Y0) 0

3c12k cc2 1 2,3 由于10，当c14kPitchjork3-43-173-53-6对应的相图，可见模型参数 a) b)3-15Aa) b) c)=02,=0 b)=02,=-0 c)=01,=03-17参数n=1 b) a)c=20,==0 b)c=0,==1 c)c=20,==1

3-19滞回系统当某些特定参数变化时，将导致更复杂的非线性行为—3.2节所研究的滞回模型(3.2.1)和(3.2.2)当取A=0，0，n=2/33时有 2 ycykxz2z3yz

tk<0时，除(0,0)t=0的庞卡莱截面上得到奇怪吸如图3-20a，图3-20b为其相图，参数取c=0.05,k=--0.9,B=11.5,=1.0。当B<11.5，其余3-22奇怪吸是一种整体稳定而局部不稳定的运动状态，因为滞回系统是耗散系统，耗散运动最终要收缩到空间的有限区域，即吸上来，但从局部来看，该吸用局部线性化方法描述它的运动轨道又是不稳定的，这就形成这样一种局面：整体收缩，局部膨胀，亦即吸之外的运动轨道将收缩到吸上来，而达到吸内部之后，它们的运动轨道又相互排斥。 图3-20滞回系统的奇怪吸及相图3-22a庞卡莱截 图3-22b相本章对振动利用工广泛存在的滞回非线性系统特性进行了系统全面的分析。采用微分形式的数学模型对工的滞回现象进行了细致的描述。讨论了模型参数对滞回特性的影响。模型参数Vol级数理论研究滞回非线性线除了有基频成分外，还有1/3次谐波成分。Vol级数方法计算的非线性系统的响应与数值方法计算的结果对比，两者吻合非常好，说c、kB含慢变参数的振动系统也是振动利用工一类典型的非线性系统。与一般参变系统相比，其”[144]工的许多振动问题都具有参数慢变的特征。在火箭发射过，不断地燃烧和消耗,在子在故障发生与发展过具有刚度慢变的特征。此外在转子启动和停车过，如果转子存在偏心，在启动和振动过，就会产生随时间慢变的不平衡激振力，其振幅也是慢变的。有时由于支承原因转子系统的刚度也具有慢变特征。又如在矿山中广泛使用的提升机，在运行过钢丝绳长一长度慢变的摆；中的柔性转子绕惯性中心作变角速度旋转时，振动方也会出现含慢变参数的恢复力或激振力。同样，弹性波在地球这种不均匀性介质中的，由于介质的不均匀d[m()dx]k()xf(,,x,dx t为正的小参数；是慢变时间，tm(k()为干扰力的相位角)

设

其中u

是角s的以2为周期的函数，1；sr 备研究 daA(,a,)2A(,a,) d()

2r

A,A,B,B与无关，差值(sv( 将(4.2.2)式和(4.2.3)式代入(4.2.1)式，并把方程右边部分进行泰勒展开，令同阶的系数相等可得到关于u1、u2的表达式，同时使用解中不出现永年项的补充条件，即可求得A 42(rsv)21B1i(rsv)D22D1 1a 42(rsv)2其 D 22Feircos(s)dd(s 22m()0 2D 22F0eirsin(s)dd(s)22m()0 2xacos(s 其中a

转子系统的振动问题是工程实际中常见的问题。如果转子存在着偏心，在启动和制动过，4-1为一转子在激励频率和刚度慢变时的频率特性图。可以看出，激励频率慢变使曲线产生剧烈的波动并影响稳定区域，刚度的慢变会使不平稳的共振幅 振幅其中mevdcxkx(

c1cx/m E1ev2()

其中a和

daEcosadca v 2d dv

由于转子在实际运行过，刚度的变化是一个复杂的非线性过程，为了对上式数值积分简便D1kd

0k()D2kd 1 式中kd为慢变刚度系数，反映了刚度变化的速率；D1 D2为常数，分别对应)

1,2取0.01,m12.4kge0.04mk(0)3.2106Nm,c10.2s1,v628s1，用四阶龙格－库塔kd=10时效果最好。 从变刚度支承转子实验[40]的振动信号三维谱阵图也可看出kd=10时，工作最平稳。这说明， 以往所研究的慢变非线性系统都是单参数的，即慢变参数仅与有关。但在实际问题中，有时在慢变参数系统中会出现存在两个慢变时间1和2(11t22t)的系统，系统的慢变尺度不再d[m(1,2)dx]k(1,2)x1f1(1,x,x)