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文档简介

第二节二重积分的计算一直角坐标系下二重积分的计算二极坐标系下二重积分的计算三小结一直角坐标系下二重积分的计算二重积分仅与被积函数及积分区域有关,为此,先介绍：1.积分域D（1）X—型区域如果积分区域为：a.平行于

y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个。

X—型区域的特点（2）Y—型区域a.平行于

x轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个。如果积分区域为：

Y—型区域的特点2.X—型区域下二重积分的计算

(曲顶柱体的体积)则由几何意义其中此为平行截面面积为已知的立体的体积。截面为曲边梯形面积为：yzo若ƒ(x,y)≤0仍然适用。2）积分次序X—型区域

,先Y后

X；3）积分限确定法域中一线插,内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。为方便，上式也常记为：1）上式说明二重积分可化为二次定积分计算；3.Y--型域下二重积分的计算同理，Y－型区域也为平行截面面积为已知的立体体积。于是1）积分次序Y--型区域,先X后Y；2）积分限确定法“域中一线插”,须用平行于X轴的射线穿插积分区域。注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限，一定要做到熟练、准确。4.利用直角坐标系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；（2）根据积分域类型及被积函数,确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果。0区域为组合域如果积分区域既是X－型，又是Y－型,

则有：如图，则：解：［X－型］［Y－型］解：例2-120解：例31010解：积分区域如图xy0231原式a解：原式解：例6先去掉绝对值符号，解：二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）［Y－型］［X－型］小结二

极坐标系下二重积分的计算当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。1.直系与极系下的二重积分关系（1）极系下面积元素的变换（2）二重积分转换公式（3）注意将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行“三换”：2.极系下的二重积分化为二次积分用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限。作过极点的射线与平面区域相交不多于两点，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。（1）区域如图1具体地图1（2）区域如图2图2图3（3）区域如图3（4）区域如图4图4解：解：解：解：在极系下：例11求球体被圆柱体所截得的立体（含在圆柱体内的部分）的体积。o2a解：计算二重积分应该注意以下几点

先要考虑积分区域的形状，看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单，还要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。首先，选择坐标系。其次，化二重积分为二次积分。

根据区域形状和类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限

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