《圆周角和圆心角的关系》第1课时示范公开课教案【九年级数学下册北师大版】

《圆周角和圆心角的关系》教学设计第1课时一、教学目标1.理解圆周角的概念及其相关性质；2.掌握圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题；3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程；4.经历探索圆周角和圆心角的关系及其相关推论的过程，体会分类讨论、归纳等数学思想方法.二、教学重难点重点：掌握圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.难点：理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境【回顾】教师活动：教师出示问题，引导学生回顾旧知.问题1：什么叫圆心角呢？你能指出图中的圆心角吗？预设答案：顶点在圆心的角叫做圆心角.图中∠BOC是一个圆心角.【情境导入】在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置对球门的张角(如图中的∠ABC)有关.就角度大小而言，球员在B，D，E中的哪一个点处射门更容易些？还是都一样？教师活动：引导学生观察图形，在图中，点A，B，D，E，C在同一个圆上.当球员分别在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.因此，要解决这个问题就是要研究同一条弧(AC)所对的三个角：∠ABC，∠ADC，∠AEC之间的大小关系.这节课我们一起来探究一下吧！学生思考并回答.学生思考并回答.通过复习圆心角的概念，为学习圆周角的概念奠定基础.通过射门游戏的情境引入并提出问题，引发学生思考，激发学生探索新知的欲望，培养学生运用知识解决实际问题的能力.环节二探究新知【观察思考】问题2：在上述足球运动员射门游戏中，球员在B，D，E这三个位置形成的三个张角有什么特点呢？预设答案：这三个角的顶点在圆上，它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.教师活动：引导学生类比圆心角的特点，观察∠ABC，∠ADC，∠AEC三个张角的特点，教师可以适当提示，重点是观察这三个张角的顶点、边与圆的位置关系，教师汇总并补充，得出结论：像这样的角，叫做圆周角.【归纳】圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.(两个条件必须同时具备，缺一不可)【想一想】下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.预设答案：（1）（5）（6）是（2）不是，顶点不在圆上（3）不是，边AC没有和圆相交（4）不是，顶点不在圆上【做一做】如图，在⊙O中，∠AOB＝80°.请你画出几个所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴交流.预设答案：通过测量发现，这几个圆周角相等.∠ACB＝∠ADB＝∠AEB小结：同弧所对的圆周角相等.追问：这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？∠ACB＝∠ADB＝∠AEB＝∠AOB【议一议】问题3：若改变∠AOB的度数，上面的结论仍然成立吗？用所学的知识来证明一下吧！【探究】已知∠ACB是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角.求证：∠ACB＝∠AOB.分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：(1)圆心O在∠ACB的一条边上，如图①；(2)圆心O在∠ACB的内部，如图②；(3)圆心O在∠ACB的外部，如图③.（1）圆心O在∠ACB的一边上(如图①)证明：∵∠AOB是△AOC的外角∴∠AOB=∠CAO+∠ACB∵OA＝OC∴∠CAO=∠ACB∴∠AOB=2∠ACB∠ACB＝∠AOB.追问：你能将后两种情况转化为图①的情况去解决吗？证明：当圆心O在∠ACB的内部时，连接CO并延长交⊙O于D.∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝∠AOD+∠DOB＝(∠AOD+∠DOB)∴∠ACB＝∠AOB.当圆心O在∠ACB的外部时，连接CO并延长交⊙O于D.∵∠ACB＝∠DCA-∠DCB＝∠DOA-∠DOB＝(∠DOA-∠DOB)∴∠ACB＝∠AOB.【归纳】你能用语言描述这个结论吗？∠ACB＝∠ADB＝∠AEB＝12∠AOB圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.由圆周角定理可以推出：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.【想一想】你能解决射门游戏中的问题了吗？当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门柱A，C形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC的犬小有什么关系？你能用圆周角定理去解决它吗？预设答案：∠ABC＝∠ADC＝∠AEC，同弧或等弧所对的圆周角相等.【议一议】在得出本结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴交流.预设答案：类比、分类讨论、归纳认真思考，积极回答学生思考并回答.抢答学生动手操作并反馈.学生测量并交流反馈.学生小组合作，交流并反馈.学生试着去证明，然后交流反馈.学生在老师的引导下总结归纳.学生思考并反馈.学生思考并反馈.通过辨认圆周角，巩固学生对圆周角概念的理解与掌握.通过分类讨论的方法探究圆周角与圆心角的之间关系，培养学生分类、归纳的证明思想，感知数学问题的探究过程，体会数学证明的严谨性.让学生试着用刚才的方法去证明，检验学生的学习效果，培养学生利用所学知识解决问题的能力.归纳所学知识，培养学生总结概括的习惯，便于学生更好地应用所学知识.让学生总结证明过程中所使用的方法，为后续探究新的知识奠定基础.环节三应用新知教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.【典型例题】例1如图，在⊙O中，∠BOC＝50°，求∠BAC的度数.分析：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.解：∠BAC＝∠BOC＝×50°＝25°例2如图，点A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，在图中标出的8个角中，哪些是相等的角？分析：同弧或等弧所对的圆周角相等.解：∠1＝∠4∠2＝∠7∠3＝∠6∠5＝∠8学生认真思考并作答.学生思考并作答.通过练习，让学生进一步巩固圆周角及其圆周角定理的知识，并能利用圆周角定理及其推论解决问题.环节四巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.【随堂练习】1.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为()A.30°B.40°C.50°D.60°答案：A2.如图，在⊙O中，∠A＝40°，求∠OBC的度数.解：∠BOC＝2∠BAC＝80°在△OBC中，∵OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝×(180°-80°)＝50°3.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.证明：∵∠BAC＝∠BOC∠ACB＝∠AOB∠AOB＝2∠BOC∴∠ACB＝2∠BAC自主完成练习，再集体交流评价.通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力