专转本模拟试题与解析一

24150120一、选择题（6424分，在每小题给出的四个选项中，只有1、x0是f(x)xsin1的 xA、可去间断 B、跳跃间断 2、若x2是函数yxln(1ax)的可导极值点，则常数a 2A、

B、 C、

D、 3、若f(x)dxF(x)C，则sinxf(cosx)dx B、F(sinx)C、F(cos) D、F(cosx)是D在第一象限的部分，则：(xycosxsiny)dxdy（ DC4(xycosxsin5、设u(xy)arctanxv(x,y)yAu

x2x2yBu C、u D、u 6、正项级数(1)un、(2)

3，则下列说法正确的是 （1二、填空题（6624分，请把正确答案的结果添在划线上exex7、

xsin 8f(xlnx在区间1e上满足拉格朗日中值定理的 9、1x1 11 11、交换二次积分的次序1

f(x,y)dy12、幂级数(2n1)xn三、计算题（8864分f(x)2sin

x13、设函数F(x)

在内连续，并满足：

f(0)0f(0)6a xcos d214yy(x由方程ysinttcostdxdx215tan3xsecxdx1160arctanxdx1 17z

)f(uvxxy18A(3,1,2)L:x4y3z x2x19、将函数f(x) 展开为x的幂级数，并写出它的收敛区间2xx220、求微分方程xyyex0满足 e的特解四、证明题（918分21x33x10在1,1(x)

x22f(x

x

其中函数xx0(0)0,(0)1f(x)x0五、综合题（1020分23y22xx0y1X 24f(xf(2)1F(u)1dyyf(x)dx(uF(uF(2)一、选择题（6424分，在每小题给出的四个选项中，只有1、x0是f(x)xsin1的 x f(xx0处连续的定义为limf(xf(x0f(xx0处f(xx0f(xx0f(x的间断点。而初等函数在定义区间之内均是x0 左右极限均存在：第一类

而limf(x)limxsin10x0 2、若x2是函数yxln(1ax)的可导极值点，则常数a 2A、

B、 C、

D、 函数f(x)极值点的必要条件，若xx0处可导且为极值点，则f(x0)y(2)

即，

12

0，于是a123、若f(x)dxF(x)C，则sinxf(cosx)dx B、F(sinx)C、F(cos) D、F(cosx)解析：该题不定积分的基本概念以及凑微分法f(xf(xsinxf(cosx)dxf(cosx)dcosxF(cosx)是D在第一象限的部分，则：(xycosxsiny)dxdy（ DC4(xycosxsin

解析：该题函数奇偶性（对称性）的二重积分在对称区域上的积分性质Dxf(x,yyf(xyy是偶函数，则有D1D的上半区域。Dyf(x,yxf(xyx是偶函数，则有D1D的右半区域。

f(x,y)d0Df(x,y)d2f(x,y)d f(x,y)d0Df(x,y)d2f(x,y)d yy Dx4oD4D1D2D3D4(xycosxsiny)Dxydxdy

cosxsiny

xydxdyD3

cosxsinyD32cosxsinydxdy5、设u(xy)arctanxv(x,y)yAu

，则下列等式成立的是 x2yBx2y C、u D、u x2x2u

1

，v(x,y)

1ln(x2y2)x x

x2 v

2y

uv 2x2

x2 6、正项级数(1)un、(2)

3，则下列说法正确的是 （1 若正项级数u收敛，则uk

(k1一定收敛，因为当nn

0uku

uk收敛。若正项级数u发散，则

(k1 1

n1

n性不能确定。如un

1与un

2（请读者自行验证C其它选项可以举反例二、填空题（6624分，请把正确答案的结果添在划线上exex7、

xsin 解析：求极限时，先判断极限类型，若是

以转化为

limexex2xlimexex2limexex

xsin

1cos

12limexe

lim(exex)

8、函数f(x)lnx在区间1,e上满足拉格郎日中值定理的 一点f(ef(1f(e1f(

f(xx

f()1

e1

e1 9、1x1 11解析：该题奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质

f(x)af(x)dx11

0f(x)dx,f(x)a a

01=2arctanx12(0) 0（0向量或由条件3412,1k64k0k10 11、交换二次积分的次序1

f(x,y)dy

D:

1x

D

0y11

11y

xy故1

f(x,y)dy0

f(xy)dx12、幂级数(2n1)xn的收敛区间 ann解析：对于幂级数anx，如果

或lim

收敛半 ，收敛区间为R收敛半 ，收敛区间为R,R。若幂级数n

axn缺少的奇次项（偶次项）极限不存在（不是无穷x本题

2n 1，所以R 1

n2n 对于幂级数a(xx)nx

t 三、计算题（8864分f(x)2sin

x13、设函数F(x)

在内连续，并满足：

f(0)0f(0)6aF(xx0连续，等价于limF(x)F(0)limf(x)2sinxlimf(x)lim2sin

解得a8limf(x)f(0)2

f(0)2 xcos d214yy(x由方程ysinttcostdxdx2

d2

y （各自对参数t导数的比值

（将t 间变量，本质为复合函数求导dydt

costcosttsin t

csct sin15tan3xsecxdx解析：该题三角函数的积分，熟记三角函数，常用导数tan3xsectan2xtanxsec(sec2x1)dsecsec2xdsecxsec1sec3xsecx31160arctanxdx1解析：该题定积分的分部积分，注意u的选择函数”的优先顺序选择u，另外部分凑成某个函数的微分（那个函数即为v）1 11d(1x21原式xarctanx001x2dx42

11ln(1x2) 1ln 17z

)f(uvxxyx,y,z的关系网络图1z z2 1，2分别表示sinxx对应的路径z

2 cosxf1，xycosx(f122y)2ycos18A(3,1,2)L:x4y3z 解析：求平面方程，基本方法是使用点法式，求出平面上的一个定点和法向量n nnsAB1

8(x39y122(z2)0，即8x9y22z59x2x19、把函数f(x) 展开为x的幂级数，并写出它的收敛区间2xx2nf(xx0展开，展开成形如axnnxx展开，展开成形如a(xx)n n其中展开成形如axnnxnxn

1x

1

1xx2x3

1xxnxxn

1x(x)2(x)3(x)n1(x)n因为1dxln(1xcx1dxln(1x1ln(1x

01(nx(nxn1n（3）ln(1x)x

1x((n(2nsinxx

因为(sinx)cosxx((ncosx

（1如果以上五个函数需要展开成形如a(xx)nxx

1(xx0

1(xx)(xx)2(xx)3(x(xx)n0 f(x)

x(2 22

1)1

x 22 1 222

1x2 3n0

，收敛域为1x1111

1xx2x3xn1(ax)(ax)2(xn

1x

(ax)n(ax)n1例如：将函数cos2xx的幂级数。cos2x1cos2

(cos2x)2cosx(sinx)例如：将函数ln(2xx的幂级数。(nx(nxn1nln(1x)x ln(2x中的21，也即需要单位化，可提取2ln(2x)ln[2(1x)]ln2ln(1x (2n(2n

( ( ( ln[1()]() 例如：将函数arctanxx(arctanx)

1

1(x2

111111xx2x3xnx换为x2

11

再由关系式arctanx

x(arctanx)dx0

x dx 01 x2ln(2xx只需将ln(2xln[2(1xln2ln(1x (2n(2n

x( ( (x ln2()

x的幂级数，只需在cosxx20、求微分方程xyyex0满足 e的特解dyP(xyQ(xye dxye dx xyyex0dy1

ey e

1dx

1

exy

x

exdxC xxx xxx ex因为y(1)e，eeC，所以C0，故特解为y xxydxPyxQy

P(y)dy P( xxe Q( dy 四、证明题（918分21x33x10在1,1f(x)在某区间ab，证明：令f(x)x33x1f(1)f(1)0

x1,1，且f(130

f(1)10f(x在(1,1f(x)3x233(x21，当1x1f(x)0f(xx33x10在1,1(x)

x22f(x

x

其中函数xx0(0)0,(0)1f(x)x0f(xx0连续，等价于limf(x)f(0limf(x)lim(x)lim(x)(x)(0)1

f(0)

x(x)f(0)limf(