湖北某中学高考数学二轮复习考点解析11：平面向量及其运用考点透析

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析11:平面向量及其

运用考点透析

【考点聚焦】

考点1:向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.

考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.

考点3：向量的模与角的计算。.

【考点小测】

[(浙江卷)设向量满足a+Z+c=d,aJL&Ja|=l,|b|=2,则©2=

(A)l(B)2(C)4(D)5

2.(2003年天津高考题)。是平面上一定点，4、B、C是平面上不共线的三个点，动点。满

^OP-OAI,1(IHI)'2G[0，+°O)，则尸的轨迹一定通过欧的()

\AB\\AC\/

(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心//X

3.(广东卷)如图1所示，。是AJBC的边上的中点，则向量丽=

B

A.-BC+-BAB.-BC--BAC.BC--BAD.BC+-&4图〔

2222

4.(湖南卷)已知|£卜2出|0,且关于x的方程X?+|£|x+0有实根，则Z与否的

夹角的取值范围是()A.[0,2]B.[2,p]C.[2,型]D.[2,p]

63336

5.(全国卷I)已知向量久6满足同=1,网=4,,且ab=2,则4与b的夹角为

.nC兀C兀C冗

A.—B.—C.—D.—

6432

6.(山东卷)设向量0=(1,-2)力=(一2,4卜=(一1,一2),若表示向量4/,42c,2(a-c),d的有

向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为

(A)(2,6)(B)(-2,6)(C)(2,-6)(D)(-2,-6)

7.(上海卷)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()

(A)AB=DC；(B)AD+AB=AC；

(C)AB-AD=BD-,(D)AD+CB=0.

8.(北京卷)若三点Z(2,2),8(a,0),C(0,b)(abw0)共线，则的值等于_______.-

ab2

9.(2005年全国卷H)点P在平面上作匀速直线运动，速度向量—(4,-3)(即点P的运

动方向与v相同，且每秒移动的距离为觇个单位.设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒

后点P的坐标为(10,-5)

10.(湖南卷)已知直线办+by+c=0与圆O：f+J=i相交于人、B两点，且|AB尸JL

■—]

则CM-OB=.——

2

【典型考例】

【考型1】向量的有关概念与运算

此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练

掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.

例1：已知Q是以点4(3,-1)为起点，且与向量5=(-3,4)平行的单位向量，则向量。的终点坐

标是.

思路分析：与Q平行的单位向量e=±旦

方法,：设向量。的终点坐标是(x,y),则。=(x-3,y+l),则题意可知

_1218

X=121189

4(x-3)+3(y+1)=0］或■

解得55555

(X—3)2+(y+D1

y=Ty

134

方法二与向量6=(-3,4)平行的单位向量是土g(-3,4),故可得Q=±(-g,g),从而向量a

的终点坐标是(x,y尸。一(3,-1),便可得结果.

点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分

共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.

例2：已知|a|=l,|〃|=l,®与1的夹角为60°,x=2a一4则x与y的夹角的余弦是

多少？

思路分析：要计算x与y的夹角0,需求出的值.计算时要注意计算的准确性.

解：由已知|a|=|b|=l,a与b的夹角a为60°，得a♦Z>=|a|步|cosa=g.0

要计算x与y的夹角仇需求出|r|,[y|,的值./1

肝=3=(2«—6)'=4«2—4«•)+/=4—4Xg+1=3,y\

222221―60°\

\yr=y=(3b-a)=9b--6b•a+a2=9~6X-+1=7.产------

2A8

x,y=(2a—b),(3Z>—a)=6a,b—2a~—3b~+a•b

—la,b~2a2—3b2=7X——2—3=——,

22

3J21

Xx•j=|r||y|co50,即一一=VJXV7cos仇cosO=-.....

214

点评：①本题利用模的性质•『=/，②在计算xy的模时，还可以借助向量加法、减法的

几何意义获得:如图所示，设方="AC=a,AD=2a,ZBAC=60°.由向量减法的几何意义,

得丽=7万一万=加一尻由余弦定理易得|而|=百，即国=百，同理可得[y[=J7.

【考型2]向量共线与垂直条件的考查

例3.平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-l,3),若点C满足

0C=a0A+p0B,其中a,[3GR且a+0=l,求点C的轨迹方程。.

解：(法一)设C(x,y),则OC=(x,y),由OC=(x,y)=a(3,l)+伙-1,3)=(3a/,a+3在)

二,=3"一"，(可从中解出a、尸)又•.七+夕=1消去a、夕得x+2y-5=0

y=a+3/3

(法二)利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A,B,C三

点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x+2y—5=0,

例4.已知平面向量a=(JL-1),b=(JL,正).(1)若存在实数攵和，，便得x=a+(P—3)b,

22

j=-Aa+/b,且x_Ly,试求函数的关系式k=%t)：(2)根据(1)的结论，确定k=f(t)的单调区

间.

思路分析：①欲求函数关系式k=f(t),只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的

等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？(导数法、定义法)导数法是求单调

区间的简捷有效的方法？

A”，、、+产—2后-3V3Z2-2V3-2

解：(1)法一：由题意知x=(------------------,-----------------------),

22

I

y=(-t—k,1+k),又x_Ly

22

22

乂t-2V3-3z1尻、.V3/-273-26,

故力•产-----------X(—t—V3k)+----------------------X(——t+k)=0.

2222

.1,3

整理得：t—3t—4k=0,即k=—t——t.

44

]A/3

法二：■=(百，—1),b=(—,；・.同=2,例=1且a_Lb

13

Vx±j,Ax-j=0,即一kk『+t(t2—3)例2=0,・..t3—3t—4k=0,即k=—t3—

1333

(2)由(1)知：k=qt)=-t3--t.•*'=10)=-t3--,

4444

令k'VO得一令k'>0得t<一l或t>l.

故k=Rt)的单调递减区间是(一1,1),单调递增区间是(-8,-1)和(1,+8).

点评：第(D问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的

坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直

的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算

过程大大简化，值得注意).第(2)问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识

交汇点处的综合运用.

例5：已知平面向量5=(、回，-1),b=(-,—),若存在不为零的实数k和角a,

22

使向量己=万+(sina-3)6,2=-k5+(sina历,且5，2,试求实数k的取值范围.

139

解：由条件可得：k=—(sina——)2——，而一iWsinQW1,

4216

...当sina=-1时，k取最大值1；sina=1时，k取最小值一

2

又：。).・.k的取值范围为［-p0)U(0,i］.

点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查

了向量与三角函数、不等式综合运用能力.

例6：已知向量Z=(1,J5)石=(一、历,1),若正数k和t使得向量

(=)+(/2+1)加］=—左)+”垂直，求k的最小值.

t

解：xA.y<^>x-y=0即［a+(/2+1)/>］•(-ka+-/))=0

~*2+1■>2I->—)->-*

o-ka+--------b+-。・6-%(厂+1)。・6=0

tt

*/a=(1,V2),b=(—V2,l),.\\a|=V3,\b|=V3

a，b=-ypl+V2,代入上式一3k+3-———=/+—>2

tt

当且仅当t=L即t=l时，取“=”号，即k的最小值是2.

t

【考型3】向量的坐标运算与三角函数的考查

向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强

了对双基的考查.

例7.设函数f(x)=a・b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,JJsin2x),x£R.(1)若f(x)=l

—月/可一?，y],求X；⑵若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|<y)

平移后得到函数卜=©)的图象，求实数m、n的值.

思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等

基本技能，

解：(1)依题设，f(x)=(2cosx,1)•(cosx,V3sin2x)=2cos2x+V3sin2x=1+2sin(2x+—)

6

由1+2sin(2x+—)=1—V3,得sin(2x+工尸----

662

71,)兀乃,、兀一57C,7TTC冗

——————,・——W2x+——W—,/.2r+——=———,HPx=——

33266634

(2)函数歹=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x—m)+n的图

象，即函数y=f(x)的图象.

由(1)得f(x)=2sin2(x++1,.[加[V],m——n=l.

点评：①把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移

后的对应点所组成的图象是C',明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也

就找到了此问题的解题途径.②一般地，函数y=f(X)的图象按向量a=(h,k)平移后的函数

解析式为y—k=f(x—h)

例8：已知。=(cosa,sina),b=(cosf^sin/i)(0<a<fi<7r),(1)求证：与a-A互相垂直；

(2)若加+力与。用的模大小相等伏目/WO),求£一a

解：(1)证法一：Va=(cosa,sina),b=(cos。,sin。)

•\a+b=(cosa+cos夕,sina+sinp},a-b=(cosa-co邓,sina-sinp)

.•.(a+5).(Q-0)=(cosa+cos厅,sina+sinQ•(cosa-cosB，sina-sinfi)

=co/a-co/队si/a-sirrp=Q

.*.(a+b)A-(a-b)

证法二：Va=Qcosa,sina),b=(cosQc加液)，同=1,\b\=1

(a+b)(a-b)=a2-/>2=|a|2-|Z>|2=0；.(a+b)_L(a・b)

证法三:,：a=Qcosa,sina)J)=(co邓原呻)A|a|=l,

记。4=a,OB=b,则1041=|051=1,

又，。、A.8三点不共线.

由向量加、减法的几何意义，可知以。403为邻边的平行四边形04cB是菱形，其

中OC=a+b,BA=a-b,由菱形对角线互相垂直，知(a+Z>)J_(Q-b)

(2)解:由已知得阿+〃与|a-泌I,

又\ka+b\~=(kcosa+cos^)2+(ksina+sin/i)2=ki+\+2kcos(fi—(i),

\ka+b\2~(cosa-kcos/3)l+(sina-ksin^')2=k1+1-2kcos(J3~a),

2kcos(fi—a)=-2kcos(fi—a)

又•：k丰0:.cos田一*=0

71

0<a<fi<7t0<0—a<n,a=一

注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向

量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用

数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明.

【考型4］向量运算的几何意义与解析几何

由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合

与转换的桥梁和纽带，文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程。

例9：设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心,A(0,2),B(0,一2)且丽=LAB(X

GR).(I)求点C(x,y)的轨迹E的方程；(II)过点(2,0)作直线L与曲线E交于点M、N

两点，设浜=而+而，是否存在这样的直线L,使四边形OMPN是矩形？若存在，求

出直线的方程；若不存在，试说明理由.

思路分析：(1)通过向量的共线关系得到坐标的等量关系.(2)根据矩形应该具备的充要条

件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得k的值.

Y*U.Y*

解：(1)由已知得Gig,：),又GH=24B,；.飞,0)

22

VCH=HA.•.(工一力2+/=($2+4即会+宁=](*彳±2百)

(2)设/方程为尸k(x-2),代入曲线E得(3k2+l)x2-12kx+12(k2-l)=0

设N(xi，pi),M(x2,及)，则A+X2=7V5x2=——；--

3k~+13k+1

"：OP=ON+OM,：.四边形OMPN是平行四边形.

若四边形OMPN是矩形，则丽，两

12(公—1)+尸J2(比2—1)_24/

+4)=0Wk=±V3

x2+y｝力=03上2+1'3左2+13二+1

...直线1为：尸y=±JJ(x-2)

点评：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题.

例10：已知椭圆方程±+y2=1,过B(-1,0)的直线/交随圆于C、D两点，交直线x=

4

—4于E点，B、E分CZ)的比分入1、入2.求证：入1+入2=0

解：设/的方程为y=k(x+l),代入椭圆方程整理得

(4k2+l)x2+8kx+4(k2~l)=0.

8k24k2-4

设C(xi,y),DG2J2),则Xi+%2=一

24k2+VX'X2-412+1

由。8=48。得(―1—X]，—y)=4(乙+)

v+1.一-*

所以一1一天=4(^2+1),4=—1—.同理，记E(—4/Q,CE=；l2E。

X.+1

得一4一天=/l,(x,+4),42=-^^A2.+22=_^L±1_A11

2222

'x2+4'x2+lx2+4

2受+5(：+x[+8其中2可2+53+川+8=2•竺二-5・半+8=0,

121222

(x2+l)(x2+4)4k+\4k+\

4+A，2=o.

例U：给定抛物线C:4=&,F是C的焦点，过点F的直线/与C相交于A、B两点.设/的斜率为1,

求方与无夹角的余弦。

解：C的焦点为F(1,0),直线，的斜率为1,所以/的方程为y=x—l,

将y=x—1代入方程y2=4x,并整理得x?—6x+1—0

设A),B(》2,y2),则有M+X2=6,XIX2=1,

从而。4,OB—xiXs+j^ij1?—2XIX2—(xi+xz)+1——3

\OA\'\OB\Jx：+」•Jx；=A/41,

c°s@，丽=丽西=一迥

\/网网41

例12.已知点G是4ABC的重心,A(0,-l),B(0,1),在x轴上有一点M,满足|而又|=|疏

GM=XAB(九GR).⑴求点C的轨迹方程；

⑵若斜率为〃的直线/与点C的轨迹交于不同两点P,Q,且满足|而|=|丽1，试求左

的取值范围.

［分析］本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基础知识，又考查动点

的轨迹，直线与椭圆的位置关系.通过向量和解析几何间的联系，陈题新组，考查基础知识

和基本方法.按照求轨迹方程的方法步骤，把向量问题坐标化，几何问题代数化.

XV,‘一

解：⑴设C(x,y),则：GM=2LAB(九GR),；.GM〃AB,

又M是x轴上一点，则M(§,0).X|MA|=|MC|,

(0+1)2=J(1_x)2+y2,整理得、_+y2=l(x*0),即为曲线C的方程.

⑵①当kO时，/和椭圆C有不同两交点P,Q,根据椭圆对称性有I而1=1丽].

②当kWO时，可设/的方程为尸kx+m,

y=kx+m

2

联立方程组\x,消去乃整理行1)=0(*)

S=i

•••直线/和椭圆C交于不同两点，

/.A=(6*m)2-4(1+3^2)X(m2-1)>0,即1+3必—n?>。.(1)

设P(X]J1),Q(T2j2)，则Xl,、2是方程(*)的两相异实根，.'-XI+x2=—2

…山一一口X1+x)3km,m

则PQ的中点N(x()jo)的坐标是x()=-----^=-------，Vo=Exo+m=-------

2l+3k2l+3k2

3kmm

E[JN(1+31?'1+31?)

m.

----+l+3k2

又|AP|=|AQ|,AAN1PQ,：.k-k^=k-1+登一——=-1,/.m=------

3km2

―1+31?

1i网21.北2

将m=^—~~代入(1)式，得1+3F—(L_L.)2>O(kWO),

22

即F<1,/.A：e(-l,O)U(O,1).

综合①②得，上的取值范围是(一1,1).

对题目的要求：有较大的难度，有特别的解题思路、演变角度，要有一定的梯度.

【课后训练】

1.已知向量a=(1,2)/=(-2,-4),|c|=括,若(a+6)-c=/,则a与第J夹角为()

A30°B60°C120°D150°

2.已知点MI(6,2)和M?(1,7),直线尸nx-7与线段M1M2的交点分有向线段M1M2

的比为3：2,则的值为()

3.已知a,b是非零向量且满足(a-2b)±a,(b-2a)lb,则a与b的夹角是()

7T7T2兀57r

A-B-C—D—

6336

4.已知向量OB=(2,0),向量0C=(2,2),向量CA=(0cosa,J^sina),则向量OA

与向量丽的夹角的范围为()

Tt「兀5兀_157171rr兀57tr

Ar[0,-]BL—，—」C[r—，一]D,——]

44121221212

5.设坐标原点为O,抛物线丁=级与过焦点的直线交于A,B两点，则OA•OB=()

33

ABC3D-3

44

6.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足丽=6云+入()，

九e[0,+8),则点P的轨迹一定通过4ABC的()

A外心B内心C重心D垂心

7.点尸在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同，且

每秒移动的距离为M个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的

坐标为()

A(-2,4)B(-30,25)C(10,-5)D(5,-10)

8.已知向量“We,\e\=\,对任意/6R,恒有|。一®冽a-e|,则()

—»—*—•—»—»—>—♦—»-*—*—•

AaA.eBaL(a—e)CeA-(a—e)D(a+e)±(o—e)

9.P是△ABC所在平面上一点，若方・丽=丽・正=正・百，则P是aABC的(D)

A外心B内心C重心D垂心

10.△ABC中，^a4+b4+c4=2cz(a2+b2),则NC度数是：

A60°B45°或135°C120°I)30°

11.已知向量a=(cos0,sin。)，向量b=(JJ,—l),则|2a—b|的最大值是

12.把函数y=2f—4x+5的图像按向量a平移，得到产2f的图像，且a，b,c=(l,-1),b-c=4,

贝IIb=____________

13.已知平面上三点Z、B、C满足||=3,|BC|=4,|CA|=5,则

AB»BC+BC»CA+CA»AB的值等于.

14.在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2,

则OA・(OB+OC)的最小值是.

15.已知向量a=(sin。，1),b=(l,cos。)，

(I)若aLb,求6；(II)求Ia+bI的最大值.

16.06年江西卷)如图，已知aABC是边长为1的正三角形，M、N分别是

边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G,

兀2%

设NMGA=a(—<a<-―-)

33

(1)试将aAGM、AAGN的面积(分别记为，与S?)

表示为a的函数

(2)求卜=4十—I的最大值与最小值

22

S.S2

17.已知定点F(l,0),动点P在夕轴上运动，过点P作PM交x轴于点M,并延长MP至

点N,且丽•丽=0,丽=丽.(1)求动点N的轨迹方程；

⑵直线/与动点N的轨迹交于A、B两点，若万L砺=-4且4后<|/8区4廊，

求直线/的斜率的取值范围.

18.已知两点M(-l,0),N(1,0),且点P使丽•丽，1PMPN,丽•而成公差小

于零的等差数列.(I)点P的轨迹是什么曲线？

(H)若点P坐标为(X。、为)，记。为丽与乐的夹角，求tan。.

答案与提示：

一5

1.C提示：设3=(x,y),m(5+/))-c=(-1,-2)\x,y)=-x-2y=-9又

1=逐，所以不工=x+2y=|方|•|万|・cosa,得cosa=—g,a-120°,

33

6+-xl2+-x7

2.D提示：设交点M(xy),x=—七一=3,y=—、一=5,代入直线方程可得.

1+-1+-

22

3.B提示：a?-2b・a=0且b'—2a・b=0,相减得IaI=IbI,代入其中一式即可.

4.D提示：点C的轨迹是以(2,2)为圆心，、后为半径的圆.

5.B提示：设A(xiji)，B(》242)，OA•OB=/》2+乃力=攵牛I+%丁？，将直线

方程尸k(x—0.5)代入抛物线方程消去x可得为力.

6.B提示：=表示N6方向上的单位向量，表示ZC方向上的单位向量,

\AB\\AC\

ABAC

Fr+Wr在/BAC的平分线上，故P点的轨迹过三角形的内心.

|AC||AC|

7.C提示：设5秒后点P运动到点A,则方=所+厉=57=(20,—15),

.,.04=(20,-15)4-(-10,10)=(10,-5).

8.c提示：由|£一八|》I£一"I得I£一八|£一"「，展开并整理得

/一2ae/+2ae-l»0,由/e火,得=(-2i/e)2+4-Sae<0,得e(a-e)-0,即

aA.(a-e).

9.D提示：由西•丽=丽•记得莎・丽一丽•正=0.

即丽•(西-定)=0,即丽CA^O,则尸8J,C4同理均1BC,PC1AB

所以P为A48C的垂心.

10.B提示:Sa4+b4+c4=2c2(a2+b2)W：a'+b'+c'—2a2cJZtfV+Za'bJ2a2b;即(a'PcTuZab

a2+b2-c2=±V2ab,"十'-----—=±-=COSC

11.4

12.(3,-1)

13.-25提示：因AB_LBC,AffefiC=0,5C•C4=-CBG4