上海市徐汇区2022届高三上学期学习能力诊断数学模拟试题

2022学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1、函数的反函数的图象经过点，则实数=2、若全集，则3、从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）、、、、，则该样本方差4、已知，则的值为5、根据右图所示的程序框图，输出结果6、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，则复数（是虚数单位）为实数的概率为(结果用最简分数表示)7、若的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中项的系数为8、已知函数的定义域为，值域为，试确定这样的集合最多有个9、已知ΔABC的角A，B，C所对的边分别是，向量，，若⊥，边长，角C=，则ΔABC的面积是10、已知函数，当时，函数的零点，则11、已知各项为正数的等比数列若存在两项、使得，则的最小值为12、如图所示：中，点是中点。过点的直线分别交直线、于不同两点、。若，则的值为13、设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，。若函数在区间恰有3个不同的零点，则的取值范围是 14、如图所示：矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上（其中点的坐标为），矩形的面积记为，则= 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15、设为实数，则“”是“”的 （）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件16、已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式可以是（）（A）（B）（C）（D）17、正方体的棱长为1，线段上有两个动点，若，则下列结论中错误的是（）（A）（B）平面（C）三棱锥的体积为定值（D）直线与平面所成角为定值18、由9个互不相等的正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且、、成等比数列，下列四个判断正确的有……（）①第2列必成等比数列②第1列不一定成等比数列③④若9个数之和等于9，则（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知复数，（，是虚数单位）。（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.PCDE20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分PCDE如图，已知平面，，，,分别是的中点.（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）求绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积.21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品。已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元。（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？22、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分,第3小题满分6分.设把三阶行列式中第一行第二列元素的余子式记为，且关于的不等式的解集为。各项均为正数的数列的前项和为，点列在函数的图象上。（1）求函数的解析式；（2）若，求的值；（3）令，求数列的前项中满足的所有项数之和.23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分,第3小题满分7分.对定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意的都有，且对任意的都有恒成立，则称函数为区间上的“U型”函数。（1）求证：函数是上的“U型”函数；（2）设是（1）中的“U型”函数，若不等式对一切的恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数是区间上的“U型”函数，求实数和的值.2022学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷理科试卷参考答案及评分标准（）填空题：2、3、4、5、86、7、78、279、10、211、12、213、14、2二、选择题：15、D16、B17、D18、A三、解答题：19、解：（1）由条件得，……2分因为在复平面上对应点落在第一象限，故有…………4分…………6分（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根所以，即，…………8分把代入，则，…………10分所以…………12分PPCDEF20、（1）解法一：取中点，连接，则，所以就是异面直线与所成的角.…2分由已知，，.…………4分在中，，.所以异面直线与所成的角为（.………………6分解法二：如图所示建立空间直角坐标系，，PCDE，………2PCDE，…………………4分所以异面直线与所成的角为.………6分（2）绕直线旋转一周所构成的旋转体，是以为底面半径、为高的圆锥中挖去一个以为底面半径、为高的小圆锥，体积.……12分21、解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为……4分因为，…………6分当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低。………8分（2）设该单位每月获利为S（元），则………10分即……………12分由题意可知，所以当时，该单位每月不亏损……………14分22、解：（1）由条件可知，……………2分因为关于的不等式的解集为，所以……………3分即函数的解析式为……………4分（2）因为点列在函数的图象上，所以代入，，即因为，所以；……………6分当时，，化简得：……………7分因为所以，即数列为等差数列，且。……………9分则，所以。……………12分（3）在数列的前项中为奇数时，，所以……………14分为偶数时，要满足，则……………16分所以，满足的所有项数之和为……………18分23、解：（1）当时，当时，故存在闭区间和常数C=2符合条件，…………4分所以函数是上的“U型”函数…………5分（2）因为不等式对一切的恒成立，所以…………7分由（1）可知…8分所